函數(shù)的概念精.選

1、word.“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計 南京師大附中 陶維林一、內(nèi)容和內(nèi)容解析函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)概念初中建立的函數(shù)概念是：一般地，在一個變化過程中， 如果有兩個變量 x 與 y，并且對 于 x 的每一個確定的值， y 都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么， 我們就說 y 是 x 的函數(shù)其中 x 稱為自變量這個定義從運動變化的觀點出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的 依賴關(guān)系從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，最初 的函數(shù)概念幾乎等同于解析式 后來， 人們逐漸意識到定義域與 值域的重要性，而要說清楚變量以及兩個變量間變化的依賴關(guān) 系，往往先要弄清各個變量的物理意義， 這就使研

2、究受到了一定 的限制 如果只根據(jù)變量觀點， 那么有些函數(shù)就很難進行深入研 究例如對這個函數(shù)，如果用變量觀點來解釋，會顯得十分勉強，也 說不出 x 的物理意義是什么但用集合、對應(yīng)的觀點來解釋，就 十分自然進入高中，學(xué)生需要建立的函數(shù)概念是：設(shè) A、 B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合 A中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f （x）和它對應(yīng)，那么就稱 f ：AB 為從集合 A到集合 B的一個 函數(shù)，記作yf （x）， xA其中，x 叫做自變量， x 的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f （x） A 叫 做

3、函數(shù)的值域這個概念與初中概念相比更具有一般性實際上，高中的函數(shù)概念與初中的函數(shù)概念本質(zhì)上是一致的不同點在于，表述方式不同高中明確了集合、對應(yīng)的方法初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在 的，也已經(jīng)滲透了集合與對應(yīng)的觀點與初中相比，高中引入了抽象的符號 f （x）f （x）指集合 B中與 x 對應(yīng)的那個數(shù)當(dāng) x確定時， f （x）也唯一確定另外，初中并沒有明確函數(shù)值域這個概念函數(shù)概念的核心是“對應(yīng)”，理解函數(shù)概念要注意：兩個數(shù)集間有一種確定的對應(yīng)關(guān)系 f ，即對于數(shù)集 A 中每 一個 x，數(shù)集 B中都有唯一確定的 y 和它對應(yīng)涉及兩個數(shù)集 A， B，而且這兩個數(shù)集都非空；這里的關(guān)鍵

4、詞是“每一個”“唯一確定”也就是，對于集 合 A 中的數(shù)，不能有的在集合 B中有數(shù)與之對應(yīng)，有的沒有，每 一個都要有而且，在集合 B 中只能有一個與其對應(yīng)，不能有兩 個或者兩個以上與其對應(yīng)函數(shù)概念中涉及的集合 A，B，對應(yīng)關(guān)系 f 是一個整體，是 集合 A 與集合 B 之間的一種對應(yīng)關(guān)系， 應(yīng)該從整體的角度來認(rèn)識 函數(shù)二、目標(biāo)和目標(biāo)解析（1）通過豐富實例，建立函數(shù)概念的背景，使學(xué)生體會函數(shù) 是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型 能用集合與對應(yīng)的 語言來刻畫函數(shù)，了解構(gòu)成函數(shù)的三個要素（2）會判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的 定義域和值域（3）通過從實例中抽象概括函數(shù)概念的活動，

5、培養(yǎng)學(xué)生的抽 象概括能力教學(xué)的重點是，在研究已有函數(shù)實例（學(xué)生舉出的例子）的 過程中，感受在兩個數(shù)集 A， B 之間所存在的對應(yīng)關(guān)系 f ，進而 用集合、對應(yīng)的語言刻畫這一關(guān)系，獲得函數(shù)概念然后再進一 步理解它三、教學(xué)問題診斷分析（1）對函數(shù)概念中的“每一個”、“唯一確定”等關(guān)鍵詞關(guān) 注不夠，領(lǐng)會不深教學(xué)中，可以通過反例讓學(xué)生加以認(rèn)識比 如有一位學(xué)生的考試情況是這樣的集合 A1，2，3，4，5，6，B90，93，98，92，f ：每 次考試成績就不能表示一個函數(shù)因為對于集合 A 中的元素“ 4”，在集 合 B 中就沒有元素與它對應(yīng)（2）忽視“數(shù)集”二字，把一般的映射關(guān)系理解為函數(shù)比 如高一（

6、2）班的同學(xué)組成集合 A，教室里的座椅組成集合 B， 每一位同學(xué)都有唯一的一個座椅， 班上還有空椅子 這能否算作 一個函數(shù)的例子，為什么？3）對為什么集合 B 不是函數(shù)的值域不理解 讓學(xué)生感受到，有時，為了研究方便或者確定一個函數(shù)的值域暫時有困難， 使得 Cf（x）A B更加合理（4）當(dāng)函數(shù)關(guān)系具有解析式表示時， f （x）當(dāng)然可以用 x 的 解析式表示出來 學(xué)生會因此而誤以為對應(yīng)關(guān)系 f 都可以用解析 式表示可以通過所舉實例的類型，引導(dǎo)學(xué)生，明確表示對應(yīng)關(guān)系 f 并非解析表達式不可 但這不是本節(jié)課的重點， 應(yīng)該放在下一節(jié) 課“函數(shù)的表示”中解決只要注意所列舉的例子不光是有解析 式的即可（5）

7、本課的難點是：對抽象符號 y f （ x）的理解可以通過具體函數(shù)讓學(xué)生理解抽象的 f （x）比如函數(shù)f （x） x2，A 2x2 f （ 1） 1，f （1.5） 2.25 ，f （ 2） 4，f （2）無定義 f（x） x2，xA最終，讓學(xué)生明白， f （x）是集合 B中的一個數(shù)，是與集合 A 中的 x 對應(yīng)的那個數(shù)當(dāng) x 取具體數(shù)字時， f （x）也是一個具體 的數(shù)四、教學(xué)基本流程五、教學(xué)過程設(shè)計1用集合、對應(yīng)定義函數(shù)問題 1 同學(xué)們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過“函數(shù)”，請你舉幾個函 數(shù)的具體例子設(shè)計意圖：通過具體例子，讓學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概 念，把握內(nèi)涵教師根據(jù)所舉例子的具體情況， 引導(dǎo)學(xué)生列

8、舉分別用解析式、 圖象、表格表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)如果學(xué)生所列舉的例子都是用解析式表示的， 教師則問：“函 數(shù)關(guān)系都是可以用解析式表示的嗎？” 引導(dǎo)學(xué)生開闊思路， 再列 舉些用圖象、表格表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)教師可以舉例（教科書第 15 頁的例 2）例 1 圖 1 的蘭色曲線記錄的是 2009 年 2月 20 日自上午 9：30 至下午 3：00 上海證券交易所的股票指數(shù)的情況股票指數(shù) 是時間的函數(shù)嗎？圖1例 2 國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的 高低，恩格爾系數(shù)越低，生活質(zhì)量越高下表中恩格爾系數(shù)隨時間的變化而變化的情況表明， “八五”計劃以來，我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化教師也

9、可以參與舉例（例 3，備用），以說明函數(shù)概念中的 x 的取值范圍構(gòu)成一個集合， 對應(yīng)關(guān)系、以及 y 的取值構(gòu)成的集合例 3 （教科書第 15頁例 1）一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過 26s 落到 地面擊中目標(biāo) 炮彈的射高為 845m，且炮彈距地面高度 h（單位： m）隨時間 t （單位： s）變化的規(guī)律是h 130t 5t 2（*）炮彈距地面高度 h 是時間 t 的函數(shù)嗎？為什么？教師利用教科書第 15頁例 1 中的函數(shù)圖象（圖 2）解釋：隨著點 P 位置的改變， 點 P 的橫坐標(biāo) x 與縱坐標(biāo) y 都在變化， 但無論點 P在哪個位置，點 P的橫坐標(biāo) x 總對應(yīng)唯一的縱坐標(biāo)y由此，使學(xué)生體會到，函數(shù)中的

10、函數(shù)值 y 的變化總是依賴于 自變量 x 的變化，而且由 x 的值唯一確定炮彈飛行時間 t 的變化范圍是數(shù)集 0t 26 ，炮彈距地面 的高度的變化范圍是數(shù)集 0 h845，從問題的實際意義可知， 對于數(shù)集 A中的任意一個時間 t ，按照對應(yīng)關(guān)系（ * ），在數(shù)集 B 中都有唯一確定的高度 h 和它對應(yīng)在學(xué)生舉例后，與學(xué)生共同研究問題 2問題 2 你憑什么說，你舉出的例子表示一個函數(shù)呢？請說 給我們大家聽聽大家也思考一下，他們所舉的是函數(shù)的例子 嗎？為什么？設(shè)計意圖：讓舉例的同學(xué)分別解釋他們所舉例子的含義，為 什么用這個例子來說明函數(shù) 挖掘背后的思維過程， 暴露學(xué)生對 函數(shù)本質(zhì)的理解狀況函數(shù)是

11、初中已有過的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用初中的定義解釋所列 舉的例子，可以了解學(xué)生對函數(shù)概念的掌握情況突出“兩個變 量 x， y”，對于變量 x 的“每一個”確定的值，另一個變量 y 有“唯一”確定的值與 x 對應(yīng)，“ y 是 x 的函數(shù)”并要求學(xué)生 指出對應(yīng)關(guān)系 f 是什么？ x 取哪些數(shù)？即取值范圍，感受數(shù)集 A 的存在， y 值的構(gòu)成情況，為引入兩個集合做準(zhǔn)備問題 3 前面我們學(xué)習(xí)了“集合”，你能用“集合”以及對應(yīng) 的語言刻畫函數(shù)概念嗎？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把初中學(xué)習(xí)過的函數(shù)概念與高一剛學(xué)習(xí) 的過的集合知識聯(lián)系起來， 用集合的觀點解釋過去的概念， 獲得 對函數(shù)概念的新認(rèn)識獲得新的函數(shù)定義方式：設(shè) A，

12、 B是兩個非空數(shù)集如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合 A 中的任意一個數(shù) x，在集合 B 中有唯一確定的數(shù) f （x）和它對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f ：A B為集合 A到集合 B 的一個函數(shù)，記作yf （x）， x A其中，x 叫做自變量， x 的取值范圍 A叫做函數(shù)的定義域；與 x 的值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f （x）| x A 叫做函數(shù)的值域若 Cf （x）| xA ，則 師生共同就每一個例子，找出集合 A，B 分別是什么，對應(yīng)關(guān) 系 f 指什么？突出“三要素”問題 4 在這個定義中，你認(rèn)為哪些是關(guān)鍵詞？怎樣理解這 個概念呢？設(shè)計意圖：促使學(xué)生抓住概念中的關(guān)鍵詞，多方

13、面理解概念， 抓住本質(zhì) 同時，指出函數(shù)的要素為定義域、 對應(yīng)關(guān)系、值域由 于對于一個函數(shù)，當(dāng)定義域確定、對應(yīng)關(guān)系確定后，值域也隨之 確定，因此，兩個函數(shù)相等的條件是定義域以及對應(yīng)關(guān)系相同2認(rèn)識函數(shù)的定義域，值域，對應(yīng)關(guān)系小練習(xí)：1）填寫下列表格：2）能否說 f（ x）x24x 是實數(shù)集 R 到實數(shù)集 R的函數(shù)？3）已知函數(shù) f （ x）求f （）；f （x4）的定義域；（ 4）下列函數(shù)中哪個是與 yx 相同的函數(shù)，為什么？ y （ ） 2 ； y （ ）3y（）；y你能否舉一個看起來相似，實質(zhì)是兩個不同的函數(shù)的例子設(shè)計意圖：感受定義域的重要性，體驗函數(shù)的三個要素兩函數(shù)相同，當(dāng)且僅當(dāng)三要素相同再問：你舉這個例子想說明什么？3介紹區(qū)間的概念在研究函數(shù)時，常常需要表示它的定義域、值域這些實數(shù)的集合我們把集合xb 寫成a，b ，即 xb a，b a， b 稱為左閉右開的區(qū)間以下教師問學(xué)生該如何表示，叫做什么區(qū)間（不是教師直接 告訴）：xb 寫成 a，b ，稱為閉區(qū)間xb 寫成（ a，b），稱為開區(qū)間a 可以用區(qū)間表 示為（ a，）；x a 可以用區(qū)間表示為（， a ， x a 可以用區(qū)間 表示為（， a）區(qū)間可以用數(shù)軸上的點表示問：若有人問“你區(qū)間什么？”你怎么回答？區(qū)間是實數(shù)的 集合4練習(xí)（1）教科書第 19 頁“練習(xí)”（2）教科書第 24