數(shù)值模擬白矮星結(jié)構(gòu)

1、第一章引言11恒星和白矮星形成概述1.1.1恒星的形成一、形成恒星的星云銀河系星際物質(zhì)的密度約為10-24 10-23k/Cm3量級。其化學(xué)成分還不能完全確定， 一般認為和年輕恒星的成分相同，即氫、氦和其他元素的質(zhì)量組成的比例約為 0.71:0.27:0.02 ；其他元素按所占比例依次為：氧、碳、氮、氖、硅、鎂、鐵、硫、氬、 鋁、鈣、鈉等。星際物質(zhì)往往凝聚成團塊，稱作星云。星云質(zhì)量可從幾十個M娶（太陽 質(zhì)量）到一萬多個M娶，密度比星際物質(zhì)約高一個量級。分析表明，若星云的溫度在 100K左右，密度為10-23 10-22克/厘米3,即每立方厘米內(nèi)有1 0 1 02個氫原子，星 云的質(zhì)量至少需要達

2、到103 104M娶的量級才能收縮。由觀測得知，恒星質(zhì)量大多在 0.1 10M娶。星云形成恒星，除了凝聚之夕卜，還要經(jīng)歷一個碎裂的過程。從觀測得知， 存在著質(zhì)量在0.5 1 04M娶之間、密度在10 23 1010克/厘米3之間的各種星云，這些星云有不同程度的凝聚現(xiàn)象。因此 可以假定，恒星形成的時候，大自然中原存在著質(zhì)量為0.5 20M娶的球狀星云，這種星云具有一般中性氫云的溫度10 100K，并且有足夠高的密度（如不小于10_19克/厘米3）使星云收縮成為恒星 。二、星云的快收縮過程從星云凝聚為恒星，半徑縮小到約百萬分之一，平均密度增加1016倍以上，這是一個快收縮過程，屬于動態(tài)問題。目前認

3、為，在收縮過程中，由熱運動形成的向外壓 力遠遠抵不住向內(nèi)引力，物質(zhì)急速內(nèi)聚，中心密度增高更快。起初星云密度稀薄，物質(zhì) 是透明的，收縮所產(chǎn)生的熱量無阻擋地向外散逸。當(dāng)中心密度達到10-13克/厘米3時， 中心部分逐漸變得不透明，熱量就不易外逸，致使溫度增加。當(dāng)中心部分溫度達到2000K 24時，氫分子開始成為原子，吸收大量熱量，使壓力驟降，抵不住引力，因而中心崩陷 為體積更小、密度更大的內(nèi)核。對大質(zhì)量恒星來說，輻射壓的向外作用力或許更為重 要。這種作用力不僅足以阻止星云外圍物質(zhì)進一步落向中心，而且還會把它們驅(qū)散。 散逸可能是不對稱、不均勻的，因而來自中心的輻射就能穿過那些較稀薄的裂縫而形成一 些

4、亮條，這就是赫比格一阿羅天體即H-H天體的情況。全部的星周物質(zhì)大約在104 105 年9內(nèi)逐漸消失，恒星才漸漸露出面目，而為我們所見。其亮度自然是逐漸上升的。三、星云的慢收縮過程一一原恒星階段星云快收縮過程的終了，就是慢收縮過程的開 始。在慢收縮過程中，星云內(nèi)每小塊物質(zhì)所受到的向內(nèi)的引力幾乎和向外的壓力相等， 形成所謂準流體平衡狀態(tài)。收縮增加內(nèi)部熱量，其中部分熱量輻射到星云外部，部分熱量 使內(nèi)部、尤其是中心部分的溫度上升。等到中心溫度升到700萬度以熵7，氫聚變?yōu)楹?的熱核反應(yīng)所產(chǎn)生的熱量足以和向外輻射的熱量相當(dāng)時，星云便不再收縮，達到流體平 衡狀態(tài)，成為一顆正常的恒星，叫主序星。處于從星云過

5、渡到主序星前慢收縮階段的天 體叫原恒星。對原恒星的演化研究得較多，結(jié)果也較明確，而且易于用天文觀測來驗 證。觀測恒星可以測到它的亮度和顏色。如知道距離，還可以求得它的光度；經(jīng)過轉(zhuǎn) 換，從顏色也可求得恒星的表面溫度。根據(jù)這些資料可以確定恒星在赫羅圖的位置。 星團中的許多恒星起源于同一個巨大星云，大致在同一時期形成，具有相近的年齡。質(zhì) 量大的原恒星，光度大，演化快，到達主星序的時間較短；質(zhì)量小的原恒星，光度小，演 化慢，到達主星序需要較長的時間6。1. 1.2恒星的演化一、恒星演化的一般理論恒星停留在主星序階段的時間是可以計算的。在很短的時期內(nèi)，中心部分氦的質(zhì)量 就達到恒星總質(zhì)量的10%，因而停留

6、在主星序的時間比小質(zhì)量星遠為短促。所以高光 度、大質(zhì)量的O、B型星停留在主星序上只有幾百萬年、幾千萬年，而低光度、小質(zhì)量的 M、K型星停留在主星序上可以達幾千億年、幾萬億年之久。在赫羅圖上恒星脫離主星序 向右演化，因質(zhì)量不同而經(jīng)歷不同的演化程。恒星中心對流核的氫含量消耗到只有1 2%時，由于熱核反應(yīng)的能量供應(yīng)不足，恒星整體就開始收縮15收縮使溫度增高，終于使 緊貼對流核心外面的薄層開始氫聚變?yōu)楹さ臒岷朔磻?yīng)，供給能量；這時外層溫度增高，使 星體膨脹起來。質(zhì)量大于10M娶的恒星向右演化的過程中，中心溫度超過1億度，可以 引起三個氦核聚變成碳核的熱核反應(yīng)。質(zhì)量小于10M娶的恒星要演變到紅巨星頂端、光

7、 度最大、中心溫度達1億度時，才能發(fā)生這種反應(yīng)。質(zhì)量小于1.5M娶的恒星在赫羅圖上的演化程表現(xiàn)出截然不同的情形。質(zhì)量小的恒 星，中心溫度低，密度大，電子成為簡并態(tài)，足以抵御外部壓力，因而中心部分的收縮不 象大質(zhì)量恒星那樣厲害no】。再者，由于中心溫度只有一千幾百萬度，在氫聚變成氦的熱 核反應(yīng)中，質(zhì)子-質(zhì)子反應(yīng)取代碳氮循環(huán)，成為恒星能量的主要來源。此外，小質(zhì)量恒星 的另一特征是：表面溫度低，鄰近表面區(qū)的不透明度大，溫度梯度增大，使對流層厚度往 往超過半徑的一半。對流層傳熱快，使恒星光度逐漸增大。這一系列內(nèi)部結(jié)構(gòu)的變化， 表現(xiàn)在恒星的光度和表面溫度上。此時，產(chǎn)生大量熱量，溫度更加升高，終于使中心部

8、 分的電子簡并態(tài)回到非簡并態(tài)，然后內(nèi)部膨脹、吸熱，產(chǎn)生“熱逃逸”現(xiàn)象，光度驟減， 使星點在赫羅圖上很快從F向G下落，而中心氦核球開始穩(wěn)定地燃燒11】。二、星團赫羅圖和星場赫羅圖同演化理論的比較同一個星團內(nèi)的恒星離我們的距離可以認為都是相同的，因此它們的亮度差等于它 們本身的光度差。此外，還可以認為同一個星團內(nèi)的恒星差不多都是同時期形成的。小 質(zhì)量的恒星收縮時間長，到達主星序的時間遲；到達后，停留的時間長。所以年輕星團的 星，亮星已演化到主星序上，而暗星還未到達主星序，落在主星序的上方，NGC2264即 其一例13。年老的星團，恰恰相反，暗星還停留在主星序上，而主星序上段已找不到亮 星，即使找到

9、，也是已彎向右方成為脫離主星序的星了。星團年齡愈老，彎向右方愈 甚，剛剛彎離主星序那點的星的光度愈暗。把各種不同年齡星團的未偏離主星序的一段 聯(lián)接成一個完整主星序，其中最年輕的星團NGC2362在頂端，最年老的星團M67在最 下段。有了這幅完整的主星序赫羅圖作為標準，只要把任何依據(jù)新觀測到的星團資料編 成的赫羅圖同它作比較，確定哪點彎離主星序，就可以定出它的年齡和恒星的本身光 度。根據(jù)恒星本身的光度和視亮度就可以定出這個星團的距離。由此定出的距離誤差不 大，是測定星團距離的重要方法之一。1.1.3恒星演化的末態(tài)恒星演化到后期，星體結(jié)構(gòu)愈來愈復(fù)雜，變化愈來愈劇烈。隨著內(nèi)部溫度的升高， 氦、碳、氧

10、等核子先后參與熱核反應(yīng)，這些核子的熱核反應(yīng)屬于強作用，不象氫聚變?yōu)楹?（屬于弱作用）那樣緩慢進行，而是十分劇烈。這時，平衡態(tài)理論不再適用。在恒星演化 的不同時期，演變的快慢是非常懸殊的。計算剛剛離開主星序兩個相繼星型的時間間 隔，可以取近億年，而在紅巨星頂端F處，必須取時間間隔為2秒來進行計算。恒星 的末態(tài)，即它們的歸宿應(yīng)該是在赫羅圖上主星序的左面。從主星序極右方紅巨星或紅超 巨星演變到它們的末態(tài)，一般要拋失質(zhì)量，甚至要象新星、超新星那樣大爆發(fā)，然后才 演變?yōu)樾行菭钚窃频闹行男?、白矮星或中子星。由于星型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，所取參量和處理方 法不同，這類動態(tài)的演變過程還缺乏統(tǒng)一的推算結(jié)果。對于恒星末態(tài)，目

11、前并不是仔細 地一步一步地從演化的過程來尋求，而是從高密物質(zhì)的平衡態(tài)來探討，即假定恒星內(nèi)部 各種核能已經(jīng)完全耗盡，正在慢慢冷卻，然后根據(jù)這種情況計算流體平衡條件下的物質(zhì) 分布情況。理論分析表明，在恒星演化末期將出現(xiàn)三類天體：白矮星、中子星和黑洞， 具體是哪一類，則視質(zhì)量而定。質(zhì)量界限的具體值因所用的物態(tài)方程不同而異。一、白矮星恒星在核能耗盡后，如它的質(zhì)量小于1.44M娶就將成為白矮星。沒有核能后，它靠 引力收縮供能。等收縮到原來半徑的幾十分之一到百分之一時，中心密度已經(jīng)很高，電 子形成簡并態(tài)。當(dāng)電子氣體的壓力足以抵住引力收縮時，便達到新的平衡。這時恒星不 再收縮，只靠它的剩余熱量發(fā)光，這種星稱

12、為白矮星。隨著它的余熱逐漸消失，表面溫度 逐漸降低，慢慢成為紅矮星、黑矮星，就無法觀測到了。已觀測到并確認為白矮星的恒 星只有千余顆12-14。它們的光度很小，不容易觀測到，估計它們的數(shù)目應(yīng)相當(dāng)多，約 占恒星總數(shù)十分之一左右。二、中子星恒星在核能耗盡之后，如果它的質(zhì)量在L442M娶之間，就會成為中子星。按照平 衡態(tài)的理論，在形成中子星前，恒星內(nèi)部是由簡并態(tài)電子氣體和鐵核構(gòu)成的。鐵核是經(jīng) 過輕核逐級聚變形成的。隨著引力收縮，壓力和密度增加，電子的費密能量愈來愈大，終 于打進鐵核，在其中組成更多中子。等到電子的費密能量超過25兆電子伏時，中子就 脫離重核的束縛而放射出來，積累成為簡并態(tài)中子氣體。當(dāng)

13、密度接近核子密度4 1014克/ 厘米3時17，幾乎絕大部分是中子，電子和質(zhì)子僅占總數(shù)的百分之一、二。這時簡并態(tài) 中子氣體的運動頂住引力的壓縮，使恒星不再收縮，就成為穩(wěn)定態(tài)的中子星。三、黑洞恒星在核能耗盡后，如質(zhì)量超過2M娶，則平衡態(tài)不再存在，星體將無限制地收 縮。雖然目前還沒有密度大于1015克/厘米3的物質(zhì)的實驗數(shù)據(jù)，無法推測星體的具體結(jié) 構(gòu)，但根據(jù)理論可以推斷，星體的半徑將愈來愈小，密度將愈來愈大，終于達到臨界 點，這時它的引力之大足以使一切粒子，包括光子，都不能外逸，因而稱為“黑洞”。質(zhì) 量為2M娶的恒星，如形成黑洞，其半徑不超過5.2公里。近年來，有人提出質(zhì)量介于23.2M娶間的恒星

14、有可能成為反常中子星或?qū)幼有堑萯f恒星拋失質(zhì)量在演化中起著不可忽視的作用。除了新星、超新星的大量拋失質(zhì)量 外，實際上，恒星在不同程度上也不斷在拋失質(zhì)量。不過，一般而論，恒星在主星序階段 拋失的質(zhì)量是微不足道的，對演化沒有多大影響。但在紅巨星階段，它體積龐大，表面 引力較小，對流大氣中又有上升的氣流，質(zhì)量易于拋失。從觀測獲知存在不少質(zhì)量小于 1M娶的白矮星，就可以證明這點。因為質(zhì)量小于1M娶的恒星要經(jīng)歷紅巨星階段而后演 化成白矮星，所需時間要比銀河系的年齡（約2X1010年）還長。這些白矮星大概是從質(zhì) 量較大的恒星演變成的，也就是說它們原來質(zhì)量大，因而演化也快，經(jīng)過質(zhì)量拋失，終于 形成白矮星。在

15、雙星中，質(zhì)量拋失對恒星演化所起的作用較為明顯。天狼、南河三和波江 座02都是雙星系統(tǒng)，它們都含有一顆白矮星。經(jīng)長期研究表明，前兩個雙星中，光度亮 的主星的質(zhì)量比伴星（白矮星）大，且為主序星。因為俘獲另一顆恒星的可能性微不足 道，所以雙星系統(tǒng)中的兩顆星應(yīng)當(dāng)是同時形成的。質(zhì)量大的那顆子星，應(yīng)該演化快，但 實際情況恰相反?？赡艿慕忉屖前樾窃瓉碣|(zhì)量大，演化快，隨后拋失了質(zhì)量逐步演變成為 白矮星。密近雙星的兩顆星靠得近，它們的相互作用，更會大大影響兩星的演化過程。計算表 明，質(zhì)量較大的星若是中心部分氫已枯竭，膨脹成紅巨星，其質(zhì)量會流向質(zhì)量較小的 恒星，演化成質(zhì)量小于0.5M娶的白矮星。自1954年發(fā)現(xiàn)武

16、仙座DQ新星是雙星后，接 連發(fā)現(xiàn)了好些新星都是雙星19】。假定雙星中一個子星是白矮星，它的表面溫度高，會吸 積伴星流入的氫氣，到達一定程度時，就有可能發(fā)生熱核反應(yīng)，產(chǎn)生足夠的能量，產(chǎn)生 爆發(fā)而拋掉所吸積的外層物質(zhì)。然后，又重新吸積伴星的氣體，經(jīng)過同樣的過程再次爆發(fā)。這是再發(fā)新星能夠反復(fù)爆發(fā)的原因1-2文獻綜述 白矮星是一類低光度、高溫度、高密度的恒星。它光度低，不易發(fā) 現(xiàn)，已觀測到的有1000多個，估計白矮星占恒星總數(shù)的5%。白矮星的絕對目視星等在8 16等范圍內(nèi)；有效溫度大都介于5500 40000K之間，大多數(shù)呈白色，少數(shù)呈黃色甚 至紅色；質(zhì)量跟太陽差不多，而其大小跟地球相仿；平均密度1

17、051 08克/厘米3。光譜研究表明白矮星主要可以分為兩大類:DA型和非DA型。DA型白矮星的光譜中 只含有HI線，而沒有He等其他譜線，并且與主序星熵的A型星的光譜相似。非DA型 白矮星是光譜中含有He而沒有H線的白矮星，根據(jù)普賢中He線的強弱，他們可進一步 劃分為DB （富氦）、DC （富碳）、DF （富鈣）、DP （磁白矮星）等一些型5-10 o 白矮星是核反應(yīng)停止以后恒星的一種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。在它的內(nèi)部，高溫使原子失去電子，裸 原子核擠在一起造成了高密度。主要靠電子簡并壓的梯度跟引力相平衡，質(zhì)量越大，半徑 越小。在1844年，德國天文學(xué)家弗里德里希威廉貝塞爾從天狼星自行運動的變化中推斷出天狼

18、星還有一顆當(dāng)時未發(fā)現(xiàn)的伴星。將近20年之后，也就是在1862年1月31日，美國望遠鏡制作者和天文學(xué)家Alvan Graham Clark首次觀測到這顆暗淡的伴星。這伴星被稱為天狼星B，或親切地稱“小狼”。較亮并能 被肉眼觀測到的那一顆恒星現(xiàn)在有時候會被稱為天狼星A。根據(jù)對恒星數(shù)據(jù)的分析，這個伴星的質(zhì)量約一個太陽質(zhì)量，表面溫度大約25000K，但是其光 度大約是天狼星的萬分之一，所以根據(jù)光度和表面積的關(guān)系，推斷出其大小與地球相當(dāng)。 這樣的密度是地球上的物質(zhì)達不到的。1917年，Adriaa n.Van .Maa nen發(fā)現(xiàn)了目前已知離太陽最近的白矮星Van .Maa nen星。上世紀20年代，愛

19、丁頓在研究白矮星時發(fā)現(xiàn)：這種恒星已經(jīng)耗盡了它們的核能儲 備，正在發(fā)生坍縮，體積變得非常小，它們靠輻射殘存的熱能慢慢冷卻。在Fowler從理論 上研究了簡并物質(zhì)的性質(zhì)后，愛丁頓認為：電子的簡并壓和溫度無關(guān)，所以在此過程中， 這種恒星的大小不發(fā)生變化，其半徑保持不變。當(dāng)它慢慢失掉熱能時，會變得越來越紅， 越來越暗，最后這種恒星終于變成恒星余燼，只發(fā)出微弱的紅外線，會隱匿不見而變成一 顆黑矮星。這是寒冷的、死氣沉沉的、高度致密的、基本上簡并的物質(zhì)，除了其引力勢 能作用于一顆鄰近的伴星外，再也找不到關(guān)于它存在的痕跡。愛丁頓之后，天文學(xué)家開 始建立白矮星的理論模型。他們發(fā)現(xiàn)，白矮星應(yīng)遵從一種確定的質(zhì)量一

20、半徑關(guān)系0。在二十世紀初由Max Planck等人發(fā)展出量子理論之后，Ralph H.Fowler于1926年建立了一個基于費米-狄拉克統(tǒng)計的解釋白矮星的密度的理論。在費米和狄拉克提 出了電子氣的量子統(tǒng)計理論后，緊接著福勒于1926年指出：在白矮星內(nèi)部，簡并電子氣的壓力可以抗衡引力，這種壓力是量子力學(xué)中泡利不相容原理的 直接結(jié)果，該原理說，在同一個狀態(tài)只能由一個電子占有，而不允許兩個 或兩個以上的 電子(對于質(zhì)子和中子也同樣)，電子的狀態(tài)是由它的位置和動量來共同決定的，考慮一 個小體元并向它注入電子，先注入的電子首先占滿了動量最低的狀態(tài)，后注入的電子只 能占據(jù)動量越來越高的狀態(tài)，因此，當(dāng)電子的

21、密度很高時，必定有一些電子具有很高的 動量，它們的速度甚至可以接近光速，電子運動對周圍的粒子施加了壓力，正如在通 常的氣體中壓力是由分子事原子的熱運動產(chǎn)生的，但不同的是，在現(xiàn)在的情形中電子獲 得了很高的動量不是由足夠高的溫度激發(fā)的，而是泡利不相容原理對同一狀態(tài)上電子數(shù) 的限制所引起的，這種電子不再遵守理想氣體的規(guī)律，稱為簡并電子，它們的壓力稱為 簡并電子壓力。簡并電子壓力正是使白矮星維持平衡態(tài)的關(guān)鍵因素。在1935年，在英國倫敦皇室天文學(xué)會會議上，來自印度的青年學(xué)者錢德拉塞卡 (S.Chandrasekha，r 19101995)作了關(guān)于白矮星的新理論的報告，首次采用電子的 相對論性簡并圓滿地

22、解釋了令人困惑的白矮星之謎，他認為并非所有的恒星在它的晚期 都會塌縮成白矮星，只有那些質(zhì)量不超過太陽質(zhì)量1.44倍的恒星才會演變成白矮星。 太陽質(zhì)量的1.44倍，成為天體物理中著名的有關(guān)白矮星質(zhì)量的錢德拉塞卡極限。近幾十年中，隨著觀測手段的不斷發(fā)展和理論的逐步完善，人們對白矮星有了更加深入的了解。對于以及da型和非DA型白矮星確定質(zhì)量、半徑、密度的方法都有新的進展。 白矮星的質(zhì)量出了少數(shù)可以用動力學(xué)方法得到外，絕大多數(shù)都是通過光譜和測光方法得到 的。對于那些已知距離的白矮星，可以先測其有效溫度，然后用有效溫度估算半徑，在根 據(jù)質(zhì)量半徑關(guān)系的到主梁，通常質(zhì)量半徑關(guān)系是假設(shè)白矮星的零溫簡并碳星的條

23、件下得到 的實際上對于有限溫度和不同厚度的H、He殼層白矮星這個關(guān)系就需要修正的國。通常白矮星的距離是未知的，這時就需要用分光光度分析先測出其表面盈利，然后再利用 質(zhì)量和引力的廣西得到質(zhì)量，目前這種方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用到DA型白矮星中，因為DA型 白矮星有對引力敏感的Balmer線，且在理論上較為完善，而對于非DA型白矮星表面引 力的測量并不十分可靠，因此不常用這種方法來求質(zhì)量。當(dāng)半徑和質(zhì)量都可以測定時理 論上不用質(zhì)量半徑的關(guān)系來直接導(dǎo)出質(zhì)量，此時的質(zhì)量反過來又能檢驗質(zhì)量和半徑關(guān)系的 可靠性釧。另外還有一種研究白矮星所特有的方法，即通過白矮星的盈利紅移來求其質(zhì) 量。根據(jù)廣義相對論，引力紅移是質(zhì)量半

24、徑的函數(shù)，所以可以用質(zhì)量半徑的關(guān)系后的質(zhì) 量，當(dāng)然也可以直接由引力紅移河半徑的關(guān)系后者和引力的關(guān)系算出質(zhì)量。隨著現(xiàn)代化 探測器的出現(xiàn)，白矮星的引力紅移值的測量精度越來越高，從而也是由此得到的質(zhì)量 變得更為可靠，然而這種方法只適用于雙星系統(tǒng)中的DA型白矮星，或者一只視向速度的恒星系統(tǒng)對于DA型白矮星的質(zhì)量，第一種是由質(zhì)量計算半徑。已知視差的白矮星的質(zhì)量半 徑關(guān)系，在Hamada-Salpeter23假設(shè)的零溫簡并碳星條件下得到質(zhì)量，其中據(jù)算半徑時 是由紅外光度測量得到的有效溫度來計算的。第二種是由引力計算質(zhì)量。第三種是通過引 力紅移來計算DA型白矮星質(zhì)量。這種方法是由Trimble和Greens

25、Mni25首先提出來的。第四種方法就是利用DA型白矮星和質(zhì)量-半徑關(guān)系。非DA型白矮星的質(zhì)量是很不確定的，Weidemann?研究了 16顆冷的DC和DQ型白矮星，他們都有準確的視差和有效溫度，平均質(zhì)量為0.55娶。在允許誤差范圍內(nèi)，這些白矮星的平均質(zhì)量及其質(zhì)量分布的形狀與DA型白矮星相一致。DB型白矮星一般離我們較遠，由于他們的視差精度不高，或者根本沒法測 到，通常主要分析它的Hel線獲得質(zhì)量。目前人們一致認為在誤差范圍內(nèi)，DA型和非 DA型白矮星的質(zhì)量及其分布是相同的。這是十分重要的看法，它對兩大類白矮星存在問 題的解決尤為重要。在星體中，當(dāng)物質(zhì)密度大于一定值時，電子不再被個別原子核束縛，

26、形成正電荷背景上 自由運動的電子氣因為電子的自旋為，服從費米統(tǒng)計，故這種電子氣稱為費米氣體絕對 零度下的費米氣體，就是完全簡并的費米氣按照泡利原理，最多只能容納一個費米子， 于是費米子充滿從基態(tài)到某個最高能級的所有最子態(tài)，能級的最大值取決于費米子的數(shù) 目這種氣體可以產(chǎn)生很高的壓力，足以與一定質(zhì)量和半徑的星體的自引力平衡，從而構(gòu) 成穩(wěn)定存在的天體一白矮星。白矮星的質(zhì)量越 大，直徑越小，但是質(zhì)量的上限是太陽的1.4倍，因此它的直徑一般只有幾千千米，約像地球這么大，但是密度卻達到800千米/ 厘米3,比地球密度最高的金屬金和鉑高40000倍。法國科學(xué)家有個形象的比擬，白矮星 的密度相當(dāng)于把埃菲爾鐵塔

27、壓縮到30厘米3的體積內(nèi)。白矮星的高密度，小體積是很不 可思意的，對此論文主要對于其密度，質(zhì)量進行了系列計算研究。1.3本文的主要研究方法 通過計算求解白矮星的流體靜力方程和物態(tài)方程，在確定邊 界條件后進行數(shù)值求解，之后通過計算機模擬計算白矮星的質(zhì)量和半徑進而了解白矮星的 結(jié)構(gòu)。1.4本文主要工作和論文結(jié)構(gòu)論文開始之前收集了課題資料，學(xué)習(xí)了解了白矮星結(jié)構(gòu)的相關(guān)知識。求解白矮星 的物態(tài)方程，得到兩個耦合的一階微分方程組，在確定了初始條件或者邊界條件后進行 了求解，并且通過matlab模擬了計算了白矮星的質(zhì)量半徑。本文先總體介紹了白矮星恒星的相關(guān)知識，然后對白矮星的結(jié)構(gòu)進行了理論分析， 最后編程模

28、擬白矮星的質(zhì)量半徑關(guān)系。第二章白矮星結(jié)構(gòu)分析2.1物理描述白矮星可看作中等質(zhì)量恒星演化的終點，其在銀河系中到處都能見到。估計它們目前 的數(shù)量約100億顆，而這個數(shù)量只會隨時間增大。白矮星是一類冷星體，主要由重原子核 和相應(yīng)的電子組成，其質(zhì)量越大，半徑就越小。因為引力有利于簡并物質(zhì)的收縮和壓緊，在白矮星內(nèi)，原子結(jié)構(gòu)被破壞，電子脫離了原子核的束縛，自 由地在“簡并?！敝羞\動。盡管電子已極其密集，仍然有很大空間，原子核間的距離與其 本身大小相比，仍相互離得很遠。因此，白矮星的結(jié)構(gòu)主要應(yīng)是由引力和電子的簡并斥力之間的相互作用決定的，引力的作用使星體壓縮，而電子的簡并斥力的作用則反抗壓縮。2.1.1流體

29、靜力平衡方程假定白矮星是球?qū)ΨQ的，不計磁場所產(chǎn)生的效應(yīng)以及白矮星自轉(zhuǎn)的影響。選半徑r處 單位體積的白矮星物質(zhì)作為分析對象，則作用在其上的引力大小為Gm r一r(2-1)其中G是引力常數(shù)，r是質(zhì)量密度，mr是半徑r之內(nèi)白矮星的質(zhì)量。則/2其微分式為dmr (2-2)r 4 r drdP dr (負4 r dr而由于電子簡并壓P的變化，作用在單位體積的物質(zhì)上的力的大小為號表示隨半徑增大簡并壓減小)。由流體靜力平衡條件，有dP Gm r9dr r2其進一步可寫成:ddr：P 乎 r (2-3) d r我們知道物態(tài)方程是物質(zhì)的一種內(nèi)稟性質(zhì)，它給出在給定密度下為維持此密度所需的 壓力P，這樣整個描述就完

30、備了。因此對于一種給定的物態(tài)方程，式(2-2)和式(2-3)是兩 個耦合的一階微分方程，它們決定了星體的結(jié)構(gòu)。2.1.2物態(tài)方程在原子中，帶負電的電子被帶正電的核的引力所束縛，并不停地繞核旋轉(zhuǎn)。正如氣體 分子對容器壁的不斷撞擊造成壓力一樣，被核束縛的電子也能產(chǎn)生一種壓力以防止物質(zhì)的 收縮超過一定限度，這個限度是由泡利不相容原理來決定的。并不是任何種類的物質(zhì)都能成為簡并態(tài)。原子的基本組分電子、質(zhì)子和中子， 都是自旋為半整數(shù)的費米子，在原子里，一個電子的量子態(tài)是由其能量、線動量和自旋取 向來確定的。自旋只能取兩個方向之一，要么“朝上”，要么“朝下”，這取決于自旋是 與軌道同向還是反向。由泡利不相容

31、原理就可得出，一個能量已定的軌道至多只能被兩 個電子占據(jù)，它們的自旋方向相反，任何第三個電子在這個軌道上的存在是被禁止的。按 照量子力學(xué)，能量和動量也是量子化的物理量，只能取分離的值。因此，如果電子氣被 壓縮到越來越小的體積里，那么終將達到這樣一種可能性，即所有的能量和動量級都被 具有所有可能自旋取向的電子所占據(jù)。這時不相容原理起作用，阻止電子氣進一步變稠 密，電子產(chǎn)生出一種巨大的內(nèi)部“量子”壓力，稱為簡并壓，以反抗體積進一步縮小。簡并壓不像通常的氣體壓強那樣 與氣體溫度成正比，其特征是與溫度無關(guān)?，F(xiàn)在我們來討論適用于白矮星的物態(tài)方程。如上所述，白矮星的物理結(jié)構(gòu)主要決定于 電子海的情況，而熱結(jié)

32、構(gòu)則決定于原子核的運動。由于簡并電子是熱的優(yōu)良導(dǎo)體，整個 白矮星內(nèi)部就像一塊熾熱的金屬。新形成的白矮星內(nèi)部溫度達到開氏億度，老的白矮星 則降到幾百萬度。雖然溫度如此之高，熱能仍遠小于電子的靜止能量。這表明溫度對保持 白矮星平衡的作用是微不足道的。事實上，盡管白矮星的溫度比太陽還高，但我們感興趣的是遠遠超過通常物質(zhì)密度的高密度狀態(tài)，這時 電子不再束縛在單個原子核上，而是在物質(zhì)中自由運動。于是仍可正確地把它作為絕對 零度來處理，這時一個良好的模型就是零溫度下的自由Fermi電子氣體。另外要說明一 點，由于原子核很重，我們認為它們貢獻了全部質(zhì)量，但對壓力沒有貢獻（忽略它們的運 動）；而電子則相反，它

33、們貢獻了全部的壓力，而忽略其對質(zhì)量的貢獻。pf d3p N 2V F0 2 3式中PF是Fermi動量，假設(shè)體積V中包含N個電子，有3PF 3 2 3n2-4）1 3 式中電子數(shù)密度n NV，n a p mp （2-5）其中m是質(zhì)子的質(zhì)量，其可由上式得出對于給定質(zhì)量密度的物質(zhì)，其可用質(zhì)量密度表示為這里我們忽略了中子質(zhì)量和質(zhì)子質(zhì)量之間的差別，組成星體元素的電子數(shù)與其核子數(shù)之比。如對于原子核56 Fe（一般認為星體是由最穩(wěn)定的 核56Fe構(gòu)成的）26 56 0.464。對于原子核12 C，612 0.5。而電子的總能量密度EV02PF d & % p c23m2c412 (2-6)式中me為電子的

34、質(zhì)量PmeC，X PF/meC,貝 U X n%p po3巳巴?？紤]到d3p1 12 2dP2 *dp,式(2-6)可化簡成其中 n。E 3nmC2eV積分得E2 nomeCV(2-7a)其中：8X12x2 1 x 212 In x 1X2 1 2(2-7b)由熱力學(xué)關(guān)系，N固定時，壓力與能量隨體積的變化關(guān)系為J2-8)利用式(2-7a)求得P n0meC2 X3 .1X2x (2-9)式(2-9 )對x求導(dǎo)，得dPnomeC dX2x4(2-10)1 X2dX 1現(xiàn)在要計算dP d就十分容易了。利用關(guān)系dx，得o22XnomeC 式(2-3)，dP dP dX ddX d3G 02代入得兩個

35、耦合的一nomeC階微分方程ddrdmdr它們決定了白矮星的結(jié)構(gòu)，式中(12)X (2-11)2.2方程的標度為了計算方便，我們?nèi)onmeC4 R3 。并作替換mo.1x2 mdAd廠dmd廠這時X -132.3方程的求解對上述兩個耦合的一階微分方程組，如一種可行的初始條件為:r 0時，密度為零的點確定，白矮星的總質(zhì)量為白 矮星的質(zhì)量M和半徑R。(12)(2)在確定了初始條件或邊界條件后就可數(shù)值求解。 c(中心密度)，m 0。這樣，白矮星的半徑R由 M m R。對于給定不同的c,我們就可算得 c 在下列不同的c下，計算星體的密度剖面、總質(zhì)量M和半徑R表2-1不同的c下，計算星體的密度剖面、總

36、質(zhì)量M和半徑Rcj 01.0e-11.0e+ 01.0e+11.0e+21.0e+31.0e+41.0e+51.0e+6df.m 為計算微分方程組1的程序baiai計算給定中心密度，白矮星的質(zhì)量 M和半徑R對不同c，計算結(jié)果如下:表2-2不同的c下，計算星體的密度剖面、總質(zhì)量M和半徑Rc! 01.0e-11.0e+01.0e+11.0e+21.0e+31.0e+41.0e+51.0e+6R6.44704.31642.75451.65130.91390.47650.23430.1094M1.45573.67406.74439.016610.038310.364010.446310.4657 通過

37、上面的計算結(jié)果，我們看到c.0從1.0e-1逐漸升至1.0e+6的過程中半徑R越來越小,而 質(zhì)量M卻越來越大，當(dāng)/0趨于1.0e+5時，質(zhì)量M的變化變得及其平緩，當(dāng)說明隨著星體中 心密度的增大，它的質(zhì)量將趨于一個極限值，而星體將變得很小，這個極限值Mth10.47(3) 天狼 B:1.053 0.028，0.0074 0.0006波江座 40B:0.48 0.02， 0.0124 0.0005Stein2051:0.50 0.05/0.72 0.08， 0.0115 0.0012在下一章中我們將以太陽的質(zhì)量和半徑為單位，通過matlab驗證這些值同我們發(fā)展的模型是相容的，并對這些白矮星成分做出

38、分析。第三章白矮星結(jié)構(gòu)數(shù)值模擬3.1白矮星成分分析從上一章節(jié)中得到數(shù)據(jù)中可看出隨著質(zhì)量增加，半徑減小，與題中模型相符。為判斷成分首先將標度值算出來:56 _對于原子核 Fe于原子核12 C，212項，m4 R 31 g220（一般認為星體是由最穩(wěn)定的核nomeC 33 2 3，56Fe構(gòu)的)mpn。26 56 0.464 對612 5。對 0.5 , % =a4.457*106=2.2285*rir0 mo=a*1.0904*l0=0.2726*1&g。 對 0.464=0*4.457*106=2.0502*10 6mm0= 02*1.0904*1030=0.2307*1030 kg 太陽質(zhì)量

39、 Msun=1.9889*1030kg 太陽半徑 Rsunn=6.955*108m 天狼 B:M=(2.0943 0.0557)*1030 kg 天狼 B:R=(5.147 0.417)*106m將天狼B按兩種a下的標度寫出：a=0.5, Ra=R/R0=2.3096, M =M/m 0=7.6827 a=0.464, R=R/R0=2.5101, M =M/m0=9.0780圖3-1天狼星B成分模擬圖用表2-2中的數(shù)據(jù)可做上圖（程序aa.m），并將a=0.5 （用*表示）和a=0.464 （用 +表示）對應(yīng)的點標在圖上，易見天狼B的數(shù)據(jù)在a=0.5時與理論符合，所以天狼B的成 分以12C居多

40、。波江座 40B:M= （9.5467 0.3978） *1029 kg波江座 40B: R= （8.6242 0.3478） *106m將波江座40B按兩種a下的標度寫出：a=0.5, Ra=R/R0=3.8700, M =M/m 0=3.5021 a=0.464, R=R/R0=4.2065, M =M/m0=4.1381圖3-2波江座40B成分模擬圖（滬0.5用*表示，a=0.464用+表示） 可見波江座成分以56 Fe居多。Stein2051有兩種成分：（其質(zhì)量用/隔開）Stein2051:M=(9. 9445 0. 9945)* 1029kg/ ( 1.4320 0.1591)* 1

41、030kgStein2051:R=( 7.9983 0.8346)*106m將Stein2051按兩種a下的標度寫出:a=0.5, Ra=R/R0=3.5891, M =M/m 0=3.6480/5.2531 a=0.464, R=R/R0=3.9012, M =M/m0=4.3106/6.2072圖3-3 Stein2051成分模擬圖1可見第一種成分為56 Fe圖3-4 Stein2051成分模擬圖2第二種成分為12 c3.2 Run ge-Kutta法的算法實現(xiàn)本章對于白矮星數(shù)值結(jié)構(gòu)模擬的時候需要運用R-K算法進行求解，這節(jié)主要對于R-K算法做些介紹?？茖W(xué)和工程中常常需要求解常微分方程問題

42、。用到這類問題最為簡單的形式是一階常 微分方程的初值問題。y f x,y（ 3-1） y xov。設(shè)f X, y使連續(xù)函數(shù)，對y滿足Lipschitz條件，可以證明這樣初值問題的解是存在唯一 的，而且連續(xù)依賴于初始條件。雖然求解常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方 法只能用來求解一些特殊類型的方程，求解從實際問題當(dāng)中歸結(jié)出來的微分方程主要靠 數(shù)值解法。3.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想為了求得離散點上的函數(shù)值，將微分方程的連續(xù)問題（3-1）進行離散化。一般是引入點 列xn，這里xn xn 1 hn,n 1,2,.。稱hn位步長，經(jīng)?？紤]定長的情形，即hnh, xnxnh, n

43、0,1,.。記y xn為初始問題（3-1）的問題準確解y x在Xn處的用均差近似代替（3-1 ）的 導(dǎo)數(shù)得Xn Xn( 3-2)y X hy Xh令yn為y xn的近似值，將近似式寫成等式，整理后得Vn 1 Vn hf Xn, yn, n 0,1，頃 從x。處的初值y。開始，按（3-3）可逐步計算以后 各點上的值。稱（3-3）式為顯式Euler。顯式Euler方法是最簡單的單步法，它是一階的，它可以看作Talylor展開后取前兩項。因此，得到高階方法的一個直接想法是用Talylor展開，如果能計算y （x）的高階導(dǎo)數(shù)，則可寫出p階方法的計算公式h2.hpY Ynhy（3-4）其中y是yjxn的

44、近似值，j 0,1,2, p。若將f x,y,f / x, f / y,分別記成f, fX, fy,則對于二階和三階導(dǎo)數(shù)可表示為y fxfyf（ 3-5）yfxx2 fxyfhfy fyy這個方法并不實用，因為一般情況下，求f （x, y）的導(dǎo)數(shù)相當(dāng)麻煩。從計算高階導(dǎo)數(shù)的 公式知道，方法的截斷誤差提高一階，需要增加的計算量很大。但是由此啟發(fā)我們用區(qū)間 上若干個點的導(dǎo)數(shù)匕而不是高階導(dǎo)數(shù)，將它們作線性組合得到平均斜率，將其與解的 Taylor展開相比較，使前面若干項吻合，從而得到具有一定階的方法。這就是Runge-Kutta方法的基本思想，其一般形式為K.K.其中C.Yn1 YnhL Ki（ 3-

45、7） TOC o 1-5 h z f Xn，Yn（3-8）f Xnqh，YnCjh aAK.,i 21,3, , L. （3-9）Li L”L, j L,a.1。322經(jīng)典R-K算法描述經(jīng)典R-K方法的程序框圖可描述為圖3-5F始I*輸入求解區(qū)|間0上兀-*h.ini口 +刀二斗，/ （m兀）耳+以& + 2乜T卜2 耐+瓦）二義出6輸出a；）i二12/ +L = J結(jié)束圖3-5經(jīng)典R-K方法程序框圖基于程序框圖描述的算法，我們給出相應(yīng)的四級四階n步經(jīng)典R-K方法函數(shù)x,y=rk4 （f, tspan, yO, n）的 Matlab源代碼見附件（4）3.3白矮星結(jié)構(gòu)模擬331不同c下星體的總質(zhì)

46、量半徑用m文件bax1.m （見附件）計算可得下表表3-1白矮星質(zhì)量半徑模擬結(jié)果c / 0m/mR/R01.0e-11.4540103306.5151.0e+03.6740220224.3311.0e+16.74467320502.75711.0e+29.01809207481.65261.0e+310.04333979650.92451.0e+410.37455780990.48401.0e+510.461171270090.240381.0e+610.481355611980.11562其中R R0的有效位數(shù)依步長h而定，mm0的有效位數(shù)由最后兩個計算結(jié)果的差值確 定步長的選擇，對結(jié)果的精

47、確度以及運行時間都有影響，步長越小，結(jié)果越精確，運行時 間越長，以上結(jié)果選擇的步長為0.00001,當(dāng)中心密度繼續(xù)增大到1.0e7, 1.0e8, 1.0e9等等以后，結(jié)果誤差較大。當(dāng)步長選擇1.0e-8時，結(jié)果較精確，這時質(zhì)量有一個極限值為10.48,但此時運行時間較長，故這里沒有給出運行結(jié)果。從以上結(jié)果我們還可以看到，隨著中心密度的增大，半徑越來越小，質(zhì)量趨近一個常數(shù)。每次計算取的h并不一樣，R R0越大，所取h也越大，保證R R0始終有45位有效 數(shù)字，而計算時間和循環(huán)次數(shù)又不至于太多。密度剖面圖如下：圖 3-8 c. o =10 圖 3-9 / =100圖 3-10 c.0=1000 圖 3-11 0 =10000JGOB Di 012圖 3-12 J 0=100000 圖 3-13 J 0=100000繼續(xù)增大c0，計算結(jié)果如下:ci 0m m0Rr1.0e+710.485826766360.054621.0e+810.48679449671650.0255521.0e+910.48700471675030.011909可見隨著星體中心密度的增大，它的質(zhì)量將趨于一個極限值星Mth10.49m,而體將變得很小。332星體值的模擬計算本部