全等三角形解題常用方法與綜合練習(xí)2

1、PAGE 全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等。例1. 如圖，四點(diǎn)共線，。求證：。例2. 如圖，在中，是ABC的平分線，垂足為。求證：。例3. 如圖，在中，。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接和。求證：。例4. 如圖，/，/，求證：。例5. 如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點(diǎn)。求證：為的平分線。例6. 如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，是的中線。求證：。例7. 如圖，在中，為上任意一點(diǎn)。求證：。全等三角形綜合復(fù)習(xí)7月22日作業(yè)一、選擇題：1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( )A. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等C. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等

2、D. 斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如圖，已知，增加下列條件：；。其中能使的條件有( )A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)4. 如圖，交于點(diǎn)，下列不正確的是( )A. B. C. 不全等于D. 是等腰三角形5. 如圖，已知，則等于( )A. B. C. D. 無(wú)法確定二、填空題：6. 如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到的距離等于_；7. 如圖，已知，是上的兩點(diǎn)，且，若，則_； 8. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_(kāi)；9. 如圖，在等腰中，平分交于，于，若，則的周長(zhǎng)等于_；10. 如圖，點(diǎn)在同一條直線上，/，

3、/，且，若，則_；三、解答題：11. 如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。 12. 如圖，為上一點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：。答案例1. 思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時(shí)減去得到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，可以證明，從而得到。解答過(guò)程：，在與中(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)?/p>

4、何去尋找全等三角形及其全等條件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2. 思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將延長(zhǎng)交于，則構(gòu)造了FBD，可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答過(guò)程：延長(zhǎng)交于在與中(ASA 又 。解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3. 思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程：

5、，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4. 思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過(guò)連接四邊形的對(duì)角線，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問(wèn)題。解答過(guò)程：連接/，/，在與中(ASA)。解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5. 思路分析：要證明“為的平分線”，可以利用點(diǎn)到的距離相等來(lái)證明，故應(yīng)過(guò)點(diǎn)向作垂線；另一方面，為了利

6、用已知條件“分別是和的平分線”，也需要作出點(diǎn)到兩外角兩邊的距離。解答過(guò)程：過(guò)作于，于，于平分，于，于平分，于，于，且于，于為的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來(lái)解答問(wèn)題。例6. 思路分析：要證明“”，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長(zhǎng)至，使。解答過(guò)程：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7. 思路分析：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系

7、來(lái)證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來(lái)證明，從而想到構(gòu)造線段。而構(gòu)造可以采用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過(guò)程：法一：在上截取，連接在與中(SAS)在中，即ABACPBPC。法二：延長(zhǎng)至，使，連接在與中(SAS)在中， 。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們

8、不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：1. A2. C3. B4. C5. C二、填空題：6. 47. 8. 9. 1010. 6三、解答題：11. 解：為等邊三角形，在與中(SAS)。12. 證明：，在與中(AAS)。略說(shuō)全等三角形解題方法證明三角形全等的基本思路在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時(shí)要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。如果選擇找到了一組對(duì)應(yīng)邊，再找第二組條件，若找到一組對(duì)應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對(duì)應(yīng)邊用“

9、SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個(gè)直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：證明三角形全等的方法、平移法構(gòu)造全等三角形例如圖所示，四邊形中，平分，若，求證：。分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，將轉(zhuǎn)移到，而與互補(bǔ)，從而證得。主要方法是：“線、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移”。證明：在上截取，在與中，（SAS）,，,.、翻折法構(gòu)造全等三角形例如圖所示，已知中，平分，求證：。證明：平分，將沿翻折后，點(diǎn)落在上的點(diǎn)，則有，在與中，（SAS）, 已知中，,。3、旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形例3如圖3所示，已知點(diǎn)、分別在正方形的邊與上，并且平分，求證

10、：。分析：本題要證的和不在同一條直線上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起?？蓪⒗@點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到，則，=，從而將轉(zhuǎn)化為線段，再進(jìn)一步證明即可。證明略。4、延長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形例4如圖4所示，在中，求證：。分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長(zhǎng)一條短線段使其等于長(zhǎng)線段，再證明延長(zhǎng)部分與另一短線段相等即可；或者在長(zhǎng)線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等于另一條短線段。本題可延長(zhǎng)至，使，構(gòu)造，然后證明，就可得。5、截取法構(gòu)造全等三角形例5如圖5所示，在中，邊上的高為，又，求證：。分析：欲證明，可以在上截取一線段等于，再證明另一線段等于。如果截取（如圖所示），則可認(rèn)為而沿翻折而來(lái)，從而只

11、需證明即可。證明略。構(gòu)造全等三角形解題的技巧全等三角形是初中幾何三角形中的一個(gè)重要內(nèi)容，是初中生必須掌握的三角形兩大知識(shí)點(diǎn)之一（全等和相似），在解決幾何問(wèn)題時(shí)，若能根據(jù)圖形特征添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出全等三角形，并利用全等圖形的性質(zhì)，可以使問(wèn)題化難為易，出奇制勝，現(xiàn)舉幾例供大家參考。友情提示：證明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt）。一、見(jiàn)角平分線試折疊，構(gòu)造全等三角形例1 如圖1，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC。求證：B：C=2：1。證法一：在線段AC上截取AE=AB，連接DE。在ABD和AED中，AE=AB，1=2，AD=AD，ABDAED。DE=D

12、B，B=AED。AB+BD=AC，AE+DE=AC。又AE+CE=AC，DE=CE。C=EDC。AED=C+EDC，AED=2C，即B=2C。B：C=2：1。圖1證法二：延長(zhǎng)AB到F，使BF=BD，連接DF。F=BDF。ABC=F+BDF，ABC=2F。AB+BD=AC，AB+BF=AC，即AF=AC。在ADF和ADC中，AF=AC，1=2，AD=AD，ADFADC。F=C。又ABC=2F，ABC=2C，即ABC：C=2：1。圖2點(diǎn)評(píng)：見(jiàn)到角平分線時(shí)，既可把ABD沿AD折疊變成AED，也可把ACD沿AD折疊變成AFD，利用全等三角形的性質(zhì)，可使問(wèn)題得以解決。練習(xí)：如圖3，ABC中，AN平分BA

13、C，CNAN于點(diǎn)N，M為BC中點(diǎn)，若AC=6，AB=10，求MN的長(zhǎng)。圖3提示：延長(zhǎng)CN交于AB于點(diǎn)D。則ACNADN，AD=AC=6。又AB=10，則BD=4。可證為BCD的中位線。點(diǎn)評(píng)：本題相當(dāng)于把ACN沿AN折疊成AND。二、見(jiàn)中點(diǎn)“倍長(zhǎng)”線段，構(gòu)造全等三角形例2 如圖4，AD為ABC中BC上的中線，BF分別交AC、AD于點(diǎn)F、E，且AF=EF，求證：BE=AC。圖4證明：延長(zhǎng)AD到G，使DG=AD，連接BG。AD為BC上的中線，BD=CD，在ACD和GBD中，AD=DG，ADC=BDG，BD=CD，ACDGBD。AC=BG，CAD=G。AF=EF，CAD=AEF。G=AEF=BEG，B

14、E=BG，AC=BG，BE=AC。點(diǎn)評(píng)：見(jiàn)中線AD，將其延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造GBD，則ACDGBD。例3 如圖5，兩個(gè)全等的含有、角的三角極ADE和ABC如圖放置，E、A、C三點(diǎn)在同一直線上，連接BD，取BD中點(diǎn)M，連接ME、MC圖5試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由。解析：EMC為等腰直角三角形。理由：分別延長(zhǎng)CM、ED，使其相交于點(diǎn)N，可證BCMDNM。則BC=DN，CM=NM。由于DEAACB，則DE=AC，AE=BC，DE+DN=AC+AE。即EN=EC，則ENC為等腰直角三角形。CM=NM，EMCN，則可知EMC為等腰直角三角形。注：本題也可取EC的中點(diǎn)N，連接MN，利用梯形中位線定理來(lái)證明。

15、亦可連接AM，利用角的度數(shù)來(lái)證明。練習(xí)1：如圖6，在平行四邊形ABCD中，E為AD中點(diǎn)，連接BE、CE，BEC=，圖6求證：（1）BE平分ABC。（2）若EC=4，且，求四邊形ABCE的面積。提示：見(jiàn)圖中所加輔助線，證ABEDFE。練習(xí)2：ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB的取值范圍為多少？注：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。則BDECDA。BE=AC=5，DE=AD=7。在ABE中，BE=5，AE=14。利用三角形三邊關(guān)系可求線段AB的取值范圍為：9AB19。三、構(gòu)造全等三角形，證線段的和差關(guān)系例4 如圖7，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且1=2。圖7求證：BE+DF=AE。證明：延長(zhǎng)CB到G，使BG=DF，連接AG。在ABG和ADF中，AB=AD，ABG=D=，BG=DF，ABGADF。G=AFD，4=1。1=2，4=