143分牛人的重點及難點歸納輔導筆記

1、最新下載(NewD)中國最大、最專業(yè)的學習資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息數(shù)學重點、難點歸納輔導第一部分第一章 集合與映射1.集合2.映射與函數(shù) 本章教學要求：理解集合的概念與映射的概念，掌握實數(shù)集合的表示法，函數(shù)的表示法與函數(shù) 的一些基本性質(zhì)。第二章 數(shù)列極限1.實數(shù)系的連續(xù)性2.數(shù)列極限3.無窮大量4.收斂準則 本章教學要求：掌握數(shù)列極限的概念與定義，掌握并會應用數(shù)列的收斂準則，理解實數(shù)系具有 連續(xù)性的分析意義，并掌握實數(shù)系的一系列基本定理。第三章 函數(shù)極限與連續(xù)函數(shù)1.函數(shù)極限2.連續(xù)函數(shù)3.無窮小量與無窮大量的階4.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 本章教學要求：掌握函數(shù)極限的概念，函數(shù)極限與數(shù)列極限的

2、關(guān)系，無窮小量與無窮大量階的 估計，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。第四章 微 分1.微分和導數(shù)2.導數(shù)的意義和性質(zhì)3.導數(shù)四則運算和反函數(shù)求導法則4.復合函數(shù)求導法則及其應用5.高階導數(shù)和高階微分 本章教學要求：理解微分，導數(shù)，高階微分與高階導數(shù)的概念，性質(zhì)及相互關(guān)系，熟練掌握求 導與求微分的方法。第五章 微分中值定理及其應用1.微分中值定理2.LHospital 法則3.插值多項式和 Taylor 公式4.函數(shù)的 Taylor 公式及其應用5.應用舉例6.函數(shù)方程的近似求解本章教學要求：掌握微分中值定理與函數(shù)的Taylor公式，并應用于函數(shù)性質(zhì)的研究，熟練運 用 LHospital 法則計算極

3、限，熟練應用微分于求解函數(shù)的極值問題與函數(shù)作圖問題。第六章 不定積分1.不定積分的概念和運算法則2.換元積分法和分部積分法3.有理函數(shù)的不定積分及其應用本章教學要求：掌握不定積分的概念與運算法則，熟練應用換元法和分部積分法求解不定積分， 掌握求有理函數(shù)與部分無理函數(shù)不定積分的方法。第七章定積分(1 3)1.定積分的概念和可積條件2.定積分的基本性質(zhì)3.微積分基本定理第七章定積分(4 6)4.定積分在幾何中的應用5.微積分實際應用舉例6.定積分的數(shù)值計算本章教學要求：理解定積分的概念，牢固掌握微積分基本定理：牛頓萊布尼茲公式，熟練定積分的計算，熟練運用微元法解決幾何，物理與實際應用中的問題，初步

4、掌握定積分的數(shù)值計第八章 反常積分1.反常積分的概念和計算2.反常積分的收斂判別法本章教學要求：掌握反常積分的概念，熟練掌握反常積分的收斂判別法與反常積分的計第九章 數(shù)項級數(shù)1.數(shù)項級數(shù)的收斂性2.上級限與下極限3.正項級數(shù)4.任意項級數(shù)5.無窮乘積 本章教學要求：掌握數(shù)項級數(shù)斂散性的概念，理解數(shù)列上級限與下極限的概念，熟練運用各種 判別法判別正項級數(shù)，任意項級數(shù)與無窮乘積的斂散性。第十章 函數(shù)項級數(shù)1.函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性 2.一致收斂級數(shù)的判別與性質(zhì) 3.冪級數(shù)4.函數(shù)的冪級數(shù)展開5.用多項式逼近連續(xù)函數(shù) 本章教學要求：掌握函數(shù)項級數(shù)（函數(shù)序列）一致收斂性概念，一致收斂性的判別法與 一致

5、收斂級數(shù)的性質(zhì)，掌握冪級數(shù)的性質(zhì)，會熟練展開函數(shù)為冪級數(shù)，了解函數(shù)的冪級數(shù)展開 的重要應用。第十一章 Euclid 空間上的極限和連續(xù)1.Euclid 空間上的基本定理2.多元連續(xù)函數(shù)3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本章教學要求：了解Euclid空間的拓撲性質(zhì)，掌握多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，區(qū)分它 們與一元函數(shù)對應概念之間的區(qū)別，掌握緊集上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第十二章 多元函數(shù)的微分學（15）1.偏導數(shù)與全微分2. 多元復合函數(shù)的求導法則3.Taylor 公式4.隱函數(shù)5.偏導數(shù)在幾何中的應用第十二章 多元函數(shù)的微分學（67）6.無條件極值7.條件極值問題與 Lagrange 乘數(shù)法本章教學要求：掌握多元函

6、數(shù)的偏導數(shù)與微分的概念，區(qū)分它們與一元函數(shù)對應概念之間的區(qū) 別，熟練掌握多元函數(shù)與隱函數(shù)的求導方法，掌握偏導數(shù)在幾何上的應用，掌握求多元函數(shù)無 條件極值與條件極值的方法。第十三章 重積分1.有界閉區(qū)域上的重積分2.重積分的性質(zhì)與計算3.重積分的變量代換4.反常重積分5.微分形式 本章教學要求：理解重積分的概念，掌握重積分與反常重積分的計算方法，會熟練應用變量代 換法計算重積分，了解微分形式的引入在重積分變量代換的表示公式上的應用。第十四章 曲線積分與曲面積分1.第一類曲線積分與第一類曲面積分2.第二類曲線積分與第二類曲面積分3.Green 公式， Gauss 公式和 Stokes 公式4.微分

7、形式的外微分5.場論初步本章教學要求：掌握二類曲線積分與二類曲面積分的概念與計算方法，掌握Green公式，Gauss 公式和Stokes公式的意義與應用，理解外微分的引入在給出Green公式,Gauss公式和Stokes 公式統(tǒng)一形式上的意義，對場論知識有一個初步的了解。第十五章 含參變量積分1.含參變量的常義積分2.含參變量的反常積分3.Euler 積分 本章教學要求：掌握含參變量常義積分的性質(zhì)與計算，掌握含參變量反常積分一致收斂 的概念，一致收斂的判別法，一致收斂反常積分的性質(zhì)及其在積分計算中的應用，掌握Zuler 積分的計算。第十六章 Fourier 級數(shù)1.函數(shù)的 Fourier 級數(shù)

8、展開2. Fourier 級數(shù)的收斂判別法3. Fourier 級數(shù)的性質(zhì)4. Fourier 變換和 Fourier 積分5.快速 Fourier 變換本章教學要求：掌握周期函數(shù)的 Fourier 級數(shù)展開方法，掌握 Fourier 級數(shù)的收斂判別法與 Fourier級數(shù)的性質(zhì)，對Fourier變換與Fourier積分有一個初步的了解。試題一、解答下列各題求極限1、1. tan x - tan 2 lim2、求J (ex +1)3 exdx.xt2 sinln( x -1)3、求極限 limxT8100 x 2 + 10 x + 1x 3 + 01 x 2 + 0.01x + 0.001設y

9、 二 x2 J3xsin2 tdt， 求y4、 0 x2 一 x +1，x 1；亠卄亠設/(x) = 0.52x 一 x 2， x 16、求極限 limx T 1x 2 - 1ln| x|7、設 y 二(3x + 1)ln( 3x +1)，求y dx.8、9 設 y (x) = x 3e -2 x，求 dy|9、x=1求由方程x23 + y3 = a23 (常數(shù)a 0)確定的隱函數(shù)10、y = y(x)的微分dy.設y 二 y(x)由x 二(1 + s2)】2 和y 二(1 - s2)】2 所確定, dy試求上.11、dxx + y12、設y = y(x)由方程y = e x所確定,求y13、

10、若x 0,證明x2 + ln(l + x)2 2xdx求“14、i 4x +px求 j2_15、1 x*4 x 216、d x(x + 1)( x 2 + 1)二、解答下列各題、要做一個圓錐形漏斗其母線長20cm,要使其體積最大問其高應為多少?2、求曲線y = 2-x2與y = x|所圍成的平面圖形的面積.3、求曲線y = x2和y = x3在oi上所圍成的平面圖形的面積.三、解答下列各題證明方程x5 -7x = 4在區(qū)間(1, 2)內(nèi)至少有一個實根.四、解答下列各題判定曲線y = (x + 3)去在0, +8)上的凹凸性第二部分課程名稱：微分幾何基本內(nèi)容：三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的理論。主

11、要內(nèi)容有：曲線論，內(nèi)容包括：曲線的切向量與弧長；主法向量與從法向量;曲率與擾率；Frenet 標架與 Frenet 公式；曲線的局部結(jié)構(gòu)；曲線論的基本定理；平面曲線的一些整體性質(zhì),如切線的旋轉(zhuǎn)指標定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與Cauchy-Crofton公式；空間曲線的一些整體性質(zhì)，如球面的Crofton公式，F(xiàn)enchel定 理與 Fary-Milnor 定理。曲面的局部理論，內(nèi)容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋轉(zhuǎn)曲面、直紋面與可 展曲面；曲面的第一基本形式與內(nèi)蘊量；曲面的第二基本形式；曲面上的活動標架與 基本公式； Weingarten 變換與曲面的漸近線、共扼線；法

12、曲率；主方向、主曲率與曲 率線； Gauss 曲率和平均曲率；曲面的局部結(jié)構(gòu)； Gauss 映照與第三基本形式；全臍曲 面、極小曲面與常Gauss曲率曲面；曲面論的基本定理；測地曲率與測地線；向量的 平行移動。基本要求：通過本課程的學習，學生應掌握曲線論與曲面論中的一些基本幾何概念與研究微 分幾何的一些常用方法。以便為以后進一步學習、研究現(xiàn)代幾何學打好基礎；另一方面培養(yǎng)學 生理論聯(lián)系實際和分析問題解決問題的能力。、講授綱要第一章 三維歐氏空間的曲線論1 曲線 曲線的切向量 弧長 教學要求：理解曲線的基本概念、會求曲線的切向量與弧長、會用弧長參數(shù)表示曲 線。2 主法向量與從法向量 曲率與擾率 教

13、學要求：理解曲率與撓率、主法向量與從法向量、密切平面與從切平面等基本概 念，會計算曲率與撓率。3 Frenet 標架 Frenet 公式教學要求：掌握Frenet公式，能運用Frenet公式去解決實際問題。4 曲線在一點鄰近的性質(zhì) 教學要求：能表達曲線在一點領(lǐng)域內(nèi)的局部規(guī)范形式，理解擾率符號的集合意義。5 曲線論基本定理教學要求：掌握曲線論的基本定理，能求已知曲率與擾率的一些簡單的曲線。6 平面曲線的一些整體性質(zhì)61關(guān)于閉曲線的一些概念62切線的旋轉(zhuǎn)指標定理63凸曲線*64等周不等式*65四頂點定理*66Cauchy-Crofton 公式*教學要求：理解平面曲線的一些基本概念：閉曲線、簡單曲線

14、、切線像、相對全曲最新下載(NewD)中國最大、最專業(yè)的學習資料下載站 轉(zhuǎn)載請保留本信息率、旋轉(zhuǎn)指標、凸曲線。掌握平面曲線的一些整體性質(zhì)：簡單閉曲線切 線的旋轉(zhuǎn)指標定理，凸曲線的幾何性質(zhì)，等周不等式，四頂點定理與 Cauchy-Crofton 公式。7 空間曲線的整體性質(zhì)71球面的 Crofton 公式*72Fenchel 定理*73Fary-Milnor 定理*教學要求：理解全曲率的概念。掌握空間曲線的一些整體性質(zhì)：球面的Crofton公 式，F(xiàn)enchel 定理與 Fary-Milnor 定理。第二章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何1 曲面的表示 切向量 法向量1.1曲面的定義1.2切向量

15、切平面1.3法向量1.4曲面的參數(shù)表示1.5例1.6單參數(shù)曲面族 平面族的包絡面 可展曲面教學要求：掌握曲面的三種局部解析表示；會求曲面的切平面與法線；了解旋轉(zhuǎn)曲面與直紋面的表示；掌握可展曲面的特征。2 曲面的第一、第二基本形式21 曲面的第一基本形式22 曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)23 等距對應 曲面的內(nèi)蘊幾何24 共形對應25 曲面的第二基本形式教學要求：掌握曲面的第一基本形式及相關(guān)量曲面上曲線的弧長、兩相交曲線的交角與面積的計算，并理解其幾何意義；了解等距對應與共形對應；掌握 第二基本形式。3 曲面上的活動標架 曲面的基本公式31省略和式記號的約定32曲面上的活動標架 曲面的基本公式3. 3W

16、eingarten 變換 W34曲面的共軛方向 漸近方向 漸近線教學要求：掌握曲面上的活動標架與曲面的基本公式，能求正交參數(shù)曲線網(wǎng)的聯(lián)絡系 數(shù)；理解 Weingarten 變換與共軛方向、漸近方向，會求一些簡單曲線的 漸近曲線。4 曲面上的曲率41曲面上曲線的法曲率42主方向 主曲率43Dupin 標線44曲率線45主曲率及曲率線的計算 總曲率 平均曲率46曲率線網(wǎng)47曲面在一點的鄰近處的形狀48Gauss 映照及第三基本形式49總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面教學要求：理解法曲率、主方向與主曲率、曲率線、總曲率和平均曲率概念與幾何意 義，并會對它們進行計算；掌握 Gauss 映照及第三基本

17、形式；能對全臍曲 面與總曲率為零的曲面進行分類；掌握極小曲面的幾何意義并會求一些簡 單的極小曲面。5 曲面的基本方程及曲面論的基本定理51曲面的基本方程52曲面論的基本定理教學要求：掌握、理解曲面的基本方程與曲面論基本定理。6 測地曲率 測地線61測地曲率向量 測地曲率62計算測地曲率的 Liouville 公式63測地線64法坐標系 測地極坐標系 測地坐標系65應用66測地擾率67Gauss-Bonnet 公式教學要求：理解與掌握測地曲率和測地線、測地擾率、法坐標系、測地極坐標系與測 地坐標系的定義及其幾何意義；能用 Liouville 公式計算測地曲率與測地線；能用測地極坐標系對總曲率為常

18、數(shù)的曲面進行研究；理解(局部)Gauss-Bonnet 公式。7 曲面上的向量的平行移動71向量沿曲面上一條曲線的平行移動 絕對微分72絕對微分的性質(zhì)73自平行曲線74向量繞閉曲線一周的平行移動 總曲率的又一種表示75沿曲面上曲線的平行移動與歐氏平面中平行移動的關(guān)系教學要求：理解向量沿曲面上一條曲線的平行移動與絕對微分。習題：證明推論 2.3.11.2.設X，Y為Banach空間，x(t): a,b T X是連續(xù)抽象函數(shù)，對有界線性算子T : X T Y，證明：Tx 在a,b上 R 可積，并且fbTx(t)dt = Tbx(t)dt 0 aa3.設 Ca,b到 Ca,b中的算子T 由(Tx)(

19、t) = it (1 + s2)x(s)2ds 給出，T 在任 a是否F 可導？若答案肯定，求導算子T(x)。元素4.設f是Rn到R中的一個C1映射。證明：f在xo e Rn處沿方向h e Rn的G -微分df (x0；h)等于 gradf (x0) hT,),h 二(h. h2,hn )； TOC o 1-5 h z 這田 d f (吋吋吋 苗 這里 gradf =(,，ex ex exex123nx 和 h = (1,2,3,0,0,0,1), n-1 n HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 在 f (x ；，x )二 x x + x x H

20、F x1 3 1 2 e 3xo = (n,n 1,3,2,1)的情況下計算df (x;h)，又問：f在x e R處的F 導數(shù)是什么？ 當 f (x)二 x + x2 + x3 + + xn 時求 f(x)。123n5.設T : R2 T R3 由T(x,y)二(x2 - y2,xy2 + 3y,4x + 5y)定義，求T 在(一1，2)處沿方(Y1 A人-1丿-244-4-15(1 A-1(2-1(xA( 、( x2 - y2 A(xA(2 x-2 y、解： 寫 Txy2 + 3 y， 知 Ty22 xy + 3 y丿4 x + 5 y y丿I 45丿向( 1， 1)的 G 微分。故所求 G

21、 微分為6.設X、Y是賦范線性空間，T : X T Y由TX = Ax + y , Vx e X定義，其0y0 e Y，A eB(X, Y),證明T在Vx e X處F 可微，且求其F 導算子。解：Vx e X, Vh e X, T (x + h) T (x)二 A(x + h) + y (Ax + y )二 Ax + Ah + yo o oAx y = Ah +9，由于 A e b(X, Y)，且 |o|h|T = 0 T 0,(|h| T 0), T 在 x 處是 F 可微的,o且 T(x) = A。7.設 T : R3 t R2 由 T(x, y, z)= (3x2 2y, y2 + 2x

22、z) e R2, V(x, y, z) e R3 確定，求 T 在解：采用列向量表示，T將y變換成(1, 2,1)處的F 導數(shù)。Iy2 + 2xz丿故廠在歹處的F 導數(shù)應是變換T 的 Jacobi 矩陣(6x 2 z2 0、2 y 2x 丿，在(x, y, z) = (1, 2, 1)處，此矩陣為，在列向量表示下，(1, 2，1)處的F 導數(shù)作為線性算子就是此常數(shù)矩陣決定的變換:(h )1h2Ih丿3( h 、( h 、6 2 0、11h,Vh 2 4 2丿22hh3丿3T在e R3 , 右端即(6h 2h、-2h + 4h + 2h 丿123e R2 故 T 在(1, 2，1231)處的F

23、導數(shù)就是將V(h ,h ,h )變換為(6h 2h ,2h + 4h + 2h )的線性變換。23備注1：這一答案保持了原題用行向量敘述的方式。備注2：當T: R3 t R2表示為T y =e R2, V y e R3，我們可得T在y3，處的F 導數(shù)是:T(6x 2 z22y即T、h1h2丿八h3丿(6x 2 z22y、(h 、(h 、h1,Vh1丿h JLh丿eR3，02x(1 、(h 故T2I 1h1h32 丿3(6h 2h-2h + 4h、( h 、,Vh1丿h2L h 丿eR3+ 2 h123(1 、 、2(6 1)是C上一個n次多項式，a是 01n 0一個復數(shù)。則存在C上首項系數(shù)為a

24、的n -1次多項式q(x)，使得0f (x)二 q(x)(x a) + f (a)證明 對n作數(shù)學歸納法。推論 x為f (x)的零點，當且僅當(x x )為f (x)的因式(其中deg f (x) 1)。00命題(高等代數(shù)基本定理的等價命題) 設f (x)二a xn + a xn-1 + a 01n(a主0, n 1)為C上的n次多項式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在n個復數(shù) 0a ,a ,a，使1 2 nf (x)二 a (x a )(x a ) (x a ) TOC o 1-5 h z 012n證明利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3,對n作數(shù)學歸納法。2高等代數(shù)基本定理的另一種表述方

25、式定義設K是一個數(shù)域，x是一個未知量，則等式 HYPERLINK l bookmark82 o Current Document a xn + a xn1 +a x + a 二 0（1）01n 1n(其中a ,a ,a e K, a豐0 )稱為數(shù)域K上的一個n次代數(shù)方程;如果以x = a w K帶0 1 n0入(1)式后使它變成等式，則稱a為方程(1)在K中的一個根。定理(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)數(shù)域K上的n ( 1)次代數(shù)方程在復數(shù)域C內(nèi)必有一個根。命題 n次代數(shù)方程在復數(shù)域C內(nèi)有且恰有n個根(可以重復)。命題(高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式)給定C上兩個n次、m次多項式f (x

26、)二 a + a x + + a xn (a 豐 0)，01nng(x)二 b + b x + b xm (b 豐 0)，01mm如果存在整整數(shù)1 ,1二叫1二n，及1 + 1個不同的復數(shù)Pi，P2,，Pi，Pi+i，使得f(P ) = g(P )(i=1,2,1 +1)ii則 f (x)二 g (x)。1.2.2 韋達定理與實系數(shù)代數(shù)方程的根的特性設f (x) = axn+ a xn-1 + a ， 其中 a eK, a 豐 0。設f (x)=0的復根為01ni0a , a，,a12可能有重復)，則 TOC o 1-5 h z f (x) = 0 (x 一a ) = (x 一a )(x 一a

27、 ) (x 一a )ai12n0i =1=xn一(a + a + +a )xn1 + +aa a .12n1 2 na1a0所以=(1) i (a + a + + a )；12na2 = (1)2乙a a HYPERLINK l bookmark92 o Current Document ai1 i200i1i2 nan = (-1) n a a a .a12n0我們記g (a , a，,a ) = 1 ；012ng (a , a , , a ) = a + a + + a ；112n 12ng (a ,a，,a ) =0a a .ar 12ni i i1 2 r0i i .i n1 2 rg

28、 (a , a , , a ) = a a an 12n 1 2 n(g ,g，,g稱為a ,a，,a的初等對稱多項式)。于是有 TOC o 1-5 h z 12 n 12 n定理25 (韋達定理)設f (x) = a xn + axn-1 + + a，其中 a e K,a 豐 0。設f (x)=)01ni0的復根為a,a，,a。則12 na4 = (-1)1 g (a , a ,a )； a 1 1 2 n0a亠=(-1)2 g (a , a ,a )； a 2 1 2 n0a TOC o 1-5 h z n = (-1)ng (a ,a ,a ).an 12n0命題給定R上n次方程a xn

29、 + a xn-i +a x + a 二 0， a 豐 0， HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 01n -1n0如果a二a + b i是方程的一個根，則共軛復數(shù)礦二a - b i也是方程的根。證明 由已知，a a n + a a n-1 +a a + a = 0. HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 01n -1n兩邊取復共軛，又由于a ,a ,a eR,所以01na a n + a a n-1 +a a + a = 0. HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 01n-1n高等代數(shù)試題設g e L(V),g e V，并且a，g(a)，g (a)都不等于零，但g k (a)二0，證明：a ,g(a)，gk-1(a)線性無關(guān)答案：按線性無關(guān)的定義證明2、令 F x 表示一 切次 數(shù) 不 大于 n 的多項式連同零 多項式所 成的向量空間 ng : f (x) i f(x)，求g關(guān)于以