【例31】每箱產(chǎn)品有10件其次品數(shù)從0到2是等可能的

1、PAGE PAGE 6北京領(lǐng)航航考研名名師鐵軍軍20006年考考研數(shù)學(xué)學(xué)預(yù)測(cè)338題331-338【例311】每箱產(chǎn)產(chǎn)品有110件，其次品品數(shù)從00到2是是等可能能的。開(kāi)開(kāi)箱檢驗(yàn)驗(yàn)時(shí)，從從中任取取一件，如果檢檢驗(yàn)為次次品，則則認(rèn)為該該箱產(chǎn)品品不合格格而拒收收。由于于檢驗(yàn)誤誤差，假假設(shè)一件件正品被被誤判為為次品的的概率為為2%，一件次次品被漏漏查誤判判為正品品的概率率為100%。求：（11）檢驗(yàn)驗(yàn)一箱產(chǎn)產(chǎn)品能通通過(guò)驗(yàn)收收的概率率；（22）檢驗(yàn)驗(yàn)10箱箱產(chǎn)品通通過(guò)率不不低于990%的的概率【詳解】（1）設(shè)= “一箱內(nèi)內(nèi)有i件次品品”，i=0，1，22。則AA0,A1,A2兩兩不不相容，其和為為，構(gòu)

2、成成一個(gè)完完備事件件組。設(shè)事件BB=“一箱產(chǎn)產(chǎn)品通過(guò)過(guò)驗(yàn)收”，B1=“抽到一一件正品品”。依題意，有；應(yīng)用全概概公式，得又由于BB1與為對(duì)立立事件，再次應(yīng)應(yīng)用全概概公式有有（2）由由于各箱箱產(chǎn)品是是否通過(guò)過(guò)驗(yàn)收互互不影響響，則設(shè)設(shè)10箱箱產(chǎn)品中中通過(guò)驗(yàn)驗(yàn)收的箱箱數(shù)為XX，X服服從參數(shù)數(shù)為n=10，P=PP(B)=0.8922的二項(xiàng)項(xiàng)分布?！纠?22】設(shè)隨機(jī)機(jī)變量XX的密度度函數(shù)為為求隨機(jī)機(jī)變量的的分布函函數(shù)與密密度函數(shù)數(shù)?！驹斀狻苛?，取非零值值的范圍圍為11，2。當(dāng)時(shí)時(shí)，有的分布函函數(shù) Y的密度度函數(shù)為為 注意：本本題中不不是單調(diào)調(diào)函數(shù)，不能直直接用公公式求解解。此例例表明，先考慮慮隨機(jī)變變量

3、的取取非零值值的范圍圍，然后后在此范范圍內(nèi)求求分布函函數(shù)值可可以簡(jiǎn)化化運(yùn)算。至于取取非零值值范圍之之外的分分布函數(shù)數(shù)值，可可以由分分布函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)決定其其為0或或1?！纠?33】袋中有有只黑球球，每次次從中隨隨意取出出一球，并換入入一個(gè)白白球，如如此交換換共進(jìn)行行次。已已知袋中中白球數(shù)數(shù)的數(shù)學(xué)學(xué)期望為為a，則第第n+11次從袋袋中任取取一球?yàn)闉榘浊虻牡母怕适鞘恰驹斀狻恳李}意意，袋中中白球數(shù)數(shù)是一個(gè)個(gè)隨機(jī)變變量，XX可取00，1，2，n，且若記B=“第n+11次從袋袋中任取取一球?yàn)闉榘浊颉保?“第n次交換換后袋中中有個(gè)白白球”=XX=k。則由全概概率公式式，得【例344】設(shè)一臺(tái)臺(tái)機(jī)器上上有3個(gè)

4、個(gè)部件，在某一一時(shí)刻需需要對(duì)部部件進(jìn)行行調(diào)整，3個(gè)部部件需要要調(diào)整的的概率分分別為且且相互獨(dú)獨(dú)立，任任一部件件需要調(diào)調(diào)整即為為機(jī)器需需要調(diào)整整。（1）求求機(jī)器需需要調(diào)整整的概率率；（22）記為為需要調(diào)調(diào)整的部部件數(shù)，求期望望、方差差?！驹斀狻吭O(shè)事件件為機(jī)器器要調(diào)整整，記為為第個(gè)部部件需要要調(diào)整，.（1）顯顯然，則則（根據(jù)據(jù)事件的的獨(dú)立性性知）.（2）求求期望、方差有有兩種解解法：解法一：先求的分分布律，根據(jù)分分布律再再求數(shù)學(xué)學(xué)期望和和方差。根據(jù)的意意義，顯顯然有事事件的記記法如（1），并注意意到事件件之間的的獨(dú)立性性，有 =；.所以，解法二：可以不不求的分分布律，引進(jìn)新新的隨機(jī)機(jī)變量，利用期期

5、望、方方差的性性質(zhì)求出出期望、方差?，F(xiàn)引進(jìn)新新的隨機(jī)機(jī)變量定定義如下下：因此我們們有 而服從分分布，所以，又因?yàn)?，且之間間相互獨(dú)獨(dú)立，所以 .【評(píng)注】本題中中解法二二比解法法一簡(jiǎn)單單得多，這就是是引進(jìn)新新的隨機(jī)機(jī)變量的的好處，但如何何引進(jìn)新新的隨機(jī)機(jī)變量是是一個(gè)難難點(diǎn)。一一般在考考研試題題中，總總是引進(jìn)進(jìn)服從分布布，用獨(dú)獨(dú)立性和和來(lái)簡(jiǎn)化化計(jì)算?！纠?55】假設(shè)一一批共1100件件產(chǎn)品，其中一一、二、三等品品分別為為80，10，10件件。現(xiàn)在在從中任任抽取一一件，記記試求：（1）隨隨機(jī)變量量的聯(lián)合合分布；（2）隨機(jī)變變量的相相關(guān)系數(shù)數(shù)?！驹斀狻恳M(jìn)事事件由條件，知易見(jiàn)見(jiàn)，有四四個(gè)可能能值：（0，

6、00），（0，11），（1，00），（1，11）又又；【例366】生產(chǎn)線線上源源源不斷地地生產(chǎn)成成箱的零零件，假假設(shè)每箱箱平均重重50千克克，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差為55千克，若若用最大大載重量量為5噸的汽汽車(chē)承運(yùn)運(yùn)，試?yán)弥行男臉O限定定理說(shuō)明明每輛車(chē)車(chē)最多可可以裝多多少箱，才能保保證不超超載的概概率大于于0.9977？（）?！驹斀狻恳员硎臼狙b運(yùn)的的第i箱產(chǎn)品品的實(shí)際際重量，n為所求求箱數(shù)。由條件件是獨(dú)立立同分布布隨機(jī)變變量（但但具體分分布未知知），因因而總重重量為T(mén)T=。由條件知知. 千克克。又隨機(jī)機(jī)變量獨(dú)獨(dú)立同分分布且數(shù)數(shù)學(xué)期望望和方差差都存在在，故根根據(jù)列維維一林德德伯格中中心極限限定理，只要nn充

7、分大大，隨機(jī)機(jī)變量TT就近似似服從正正態(tài)分布布N(550n,25nn)。由由題意知知，所求求n應(yīng)滿足足條件：當(dāng)n充分分大時(shí)變變量近似似服從NN（0，1），可見(jiàn)，從而有. 即即最多只只能裝998箱?！纠?77】設(shè)總體體X為連續(xù)續(xù)型隨機(jī)機(jī)變量，概率密密度函數(shù)數(shù)為，從從該總體體抽取容容量為的的簡(jiǎn)單隨隨機(jī)樣本本。試求求在曲線線下方，統(tǒng)計(jì)量量對(duì)應(yīng)的的統(tǒng)計(jì)值值的右方方的（曲曲邊形）面積SS的數(shù)學(xué)學(xué)期望?！驹斀狻吭O(shè)為總總體X的的分布函函數(shù)，則則先求的分分布函數(shù)數(shù)G（mm）的概概率密度度g(mm)。M的分布布函數(shù)的概率密密度因此，計(jì)計(jì)算S的的數(shù)學(xué)期期望：【例388】已知某某種材料料的抗壓壓強(qiáng)度，現(xiàn)隨機(jī)機(jī)地抽取取10個(gè)個(gè)樣品進(jìn)進(jìn)行抗壓壓試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)數(shù)據(jù)如下下（單位位：）：樣本均均值，樣樣本方差差.（1）求求平均抗抗壓強(qiáng)度度的矩估估計(jì)值；（2）求求平均抗抗壓強(qiáng)度度的955%的置置信區(qū)間間；（3）若若已知，求的995%的的置信區(qū)區(qū)間.【詳解】（1）（2）