高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限

1、高等數(shù)學(xué)函數(shù)與極限第1頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四01初等數(shù)學(xué)預(yù)備知識03導(dǎo)數(shù)與微分05不定積分07多元函數(shù)微分學(xué)02極限與連續(xù)04導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用06定積分08微分方程C目錄ONTENTS第2頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限3數(shù)學(xué)既是對于自然界事實的總結(jié)和歸納，如英國的哲學(xué)家培根所說“一切多依賴于我們把眼睛緊盯在自然界的事實之上”；又是抽象思考的結(jié)果，如法國哲學(xué)家笛卡爾所說“我思故我在”。這兩個方法造就了目前絢麗多彩，美麗非凡的數(shù)學(xué)，非常值得欣賞。從事科學(xué)研究，最重要的是掌握思維方法。在這里，我舉兩個例子：牛頓是

2、偉大的物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他在自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中敘述了四條法則。其中“法則1：除那些真實而已足夠說明其現(xiàn)象者外，不必去尋找自然界事物的其他原因”。這條法則后來被人們稱作“簡單性原則”，正如愛因斯坦所說：“從希臘哲學(xué)到現(xiàn)代物理學(xué)的整個科學(xué)史中，不斷有人力圖把表面上極為復(fù)雜的自然現(xiàn)象歸結(jié)為幾個簡單的基本概念和關(guān)系。這就是整個自然哲學(xué)的基本原理?！睌?shù)學(xué)之美第3頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限4函數(shù)1234小結(jié)與練習(xí)反函數(shù)函數(shù)的特性函數(shù)基本概念第4頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、基本概念2022/9/8函數(shù)與極限51

3、.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第5頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限6數(shù)集分類:N-自然數(shù)集Z-整數(shù)集Q-有理數(shù)集R-實數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.第6頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限72.區(qū)間:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第7頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限8稱為半開區(qū)間

4、,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.第8頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限93.鄰域:第9頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限104.常量與變量: 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.通常用字母a, b, c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：用字母x, y, t等表示變量.第10頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限115.絕對值:

5、運算性質(zhì):絕對值不等式:第11頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限12因變量自變量數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域二、函數(shù)概念第12頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限13自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.第13頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限14定義:如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)第14頁，共261頁，

6、2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限15 (1) 符號函數(shù)幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyo第15頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限16(2) 取整函數(shù) y=xx表示不超過 的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線第16頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限17有理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)第17頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限18(4)

7、 取最值函數(shù)yxoyxo第18頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限19在自變量的不同變化范圍中, 對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).第19頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限20例1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時間 的函數(shù)關(guān)系式.解單三角脈沖信號的電壓第20頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限21第21頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限22例2解故第2

8、2頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、函數(shù)的特性2022/9/8函數(shù)與極限23M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1函數(shù)的有界性:第23頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限242函數(shù)的單調(diào)性:xyo第24頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限25xyo第25頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限263函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x第26頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/

9、8函數(shù)與極限27奇函數(shù)yxox-x第27頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限284函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.第28頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限29 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱.四、反函數(shù)第29頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四五、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限30基本概念集合, 區(qū)間, 鄰域, 常量與變量, 絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)第30頁，共261頁，2022年，5月20日，17

10、點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限31思考題第31頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限32思考題解答設(shè)則故第32頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限33練 習(xí) 題第33頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限34第34頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限35練習(xí)題答案第35頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限36初等函數(shù)1234小結(jié)與練習(xí)雙曲函

11、數(shù)和反雙曲函數(shù)復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)第36頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、基本初等函數(shù)2022/9/8函數(shù)與極限371.冪函數(shù)第37頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限382.指數(shù)函數(shù)第38頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限393.對數(shù)函數(shù)第39頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限404.三角函數(shù)正弦函數(shù)第40頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限41余弦函數(shù)第41頁

12、，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限42正切函數(shù)第42頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限43余切函數(shù)第43頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限44正割函數(shù)第44頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限45余割函數(shù)第45頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限465.反三角函數(shù)第46頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8

13、函數(shù)與極限47第47頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限48第48頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限49 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第49頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、復(fù)合函數(shù) 初等函數(shù)2022/9/8函數(shù)與極限501.復(fù)合函數(shù)定義:第50頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限51注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)

14、合構(gòu)成.2.初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).第51頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限52例1解第52頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限53綜上所述第53頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2022/9/8函數(shù)與極限54奇函數(shù).偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)第54頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限55奇函數(shù),有界函數(shù),第5

15、5頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限56雙曲函數(shù)常用公式第56頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限572.反雙曲函數(shù)奇函數(shù),第57頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限58第58頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限59奇函數(shù),第59頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限60函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項等函數(shù))代數(shù)函

16、數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))第60頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限61思考題第61頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限62思考題解答不能第62頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限63一、填空題:練 習(xí) 題第63頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限64第64頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限65練習(xí)題

17、答案第65頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限66第66頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限67數(shù)列的極限1234小結(jié)與練習(xí)數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的定義第67頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、概念的引入2022/9/8函數(shù)與極限68“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：播放劉徽第68頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限69正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積第6

18、9頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限702、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”第70頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、數(shù)列的定義2022/9/8函數(shù)與極限71例如第71頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限72注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第72頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限73播放三、數(shù)列的極限第73頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分

19、，星期四2022/9/8函數(shù)與極限74問題:當(dāng) 無限增大時, 是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第74頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限75第75頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限76如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：第76頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限77幾何解釋:其中第77頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四20

20、22/9/8函數(shù)與極限78數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：第78頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限79例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定 尋找N,但不必要求最小的N.第79頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限80例3證第80頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限81例4證第81頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、數(shù)列極限的性質(zhì)2022/9/8函數(shù)

21、與極限821.有界性例如,有界無界第82頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限83定理1 收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論 無界數(shù)列必定發(fā)散.第83頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限842.唯一性定理2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.第84頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限85例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).第85頁，共261頁，2022年，5月20日，

22、17點36分，星期四3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a2022/9/8函數(shù)與極限86第86頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四五.小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限87數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.第87頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限88思考題證明要使只要使從而由得取當(dāng) 時，必有 成立第88頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限89思考題解答（等價）證明

23、中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當(dāng)放大” 的值第89頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限90從而 時，僅有 成立，但不是 的充分條件反而縮小為第90頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限91練 習(xí) 題第91頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限92“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術(shù)：劉徽一、概念的引入第92頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、數(shù)列的極限2022/9

24、/8函數(shù)與極限93第93頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限94三、數(shù)列的極限第94頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限95三、數(shù)列的極限第95頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限96三、數(shù)列的極限第96頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限97三、數(shù)列的極限第97頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限98三、數(shù)列的極限第98頁，共261頁，2022年

25、，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限99三、數(shù)列的極限第99頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限100三、數(shù)列的極限第100頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限101三、數(shù)列的極限第101頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限102三、數(shù)列的極限第102頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限103三、數(shù)列的極限第103頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四

26、2022/9/8函數(shù)與極限104三、數(shù)列的極限第104頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限105三、數(shù)列的極限第105頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限106函數(shù)的極限1234小結(jié)與練習(xí)函數(shù)極限的性質(zhì)自變量趨向有限值時函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第106頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限2022/9/8函數(shù)與極限107播放第107頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限108通過上

27、面演示實驗的觀察:問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第108頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限109第109頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1102.另兩種情形:第110頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1113.幾何解釋:第111頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限112例1證第112頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限20

28、22/9/8函數(shù)與極限113第113頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限114第114頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1152.幾何解釋:注意：第115頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限116例2證例3證第116頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限117例4證函數(shù)在點x=1處沒有定義.第117頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限118例5證第

29、118頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1193.單側(cè)極限:例如,第119頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限120左極限右極限第120頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限121左右極限存在但不相等,例6證第121頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、函數(shù)極限的性質(zhì)2022/9/8函數(shù)與極限1221.有界性2.唯一性第122頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限123推論

30、3.不等式性質(zhì)定理(保序性)第123頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限124定理(保號性)推論第124頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1254.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第125頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限126證第126頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限127例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.第127頁，共

31、261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限128例7證第128頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限129二者不相等,第129頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限130函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)第130頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限131過 程時 刻從此時刻以后 過 程時 刻從此時刻以后 第131頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限132思考題第

32、132頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限133思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第133頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限134一、填空題:練 習(xí) 題第134頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限135第135頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限136練習(xí)題答案第136頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限137一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的

33、極限第137頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限138一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第138頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限139一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第139頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限140一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第140頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限141一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第141頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四

34、2022/9/8函數(shù)與極限142一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第142頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限143一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第143頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限144一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第144頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限145一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第145頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限146無窮大與無窮小1234小結(jié)與練習(xí)反函數(shù)無

35、窮大無窮小第146頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、無窮小2022/9/8函數(shù)與極限1471.定義:極限為零的變量稱為無窮小.第147頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限148例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第148頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限1492.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性第149頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限150意義1.將一般極限問

36、題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質(zhì):定理2 在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第150頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限151注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.第151頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限152定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第152頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限153推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3 有限個

37、無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小第153頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、無窮大2022/9/8函數(shù)與極限154絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第154頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限155特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第155頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限156不是無窮大無界，第156頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/

38、9/8函數(shù)與極限157證第157頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、無窮小與無窮大的關(guān)系2022/9/8函數(shù)與極限158定理4 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證第158頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限159意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.第159頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四四、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限1601、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮小（ 大）

39、是變量,不能與很小（大）的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3） 無界變量未必是無窮大.第160頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限161思考題第161頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限162思考題解答不能保證.例有第162頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限163一、填空題:練 習(xí) 題第163頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限164第164頁，

40、共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限165練習(xí)題答案第165頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第166頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、極限運算法則2022/9/8函數(shù)與極限167定理證由無窮小運算法則,得第167頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限168第168頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限169推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2有界，第169頁，共261頁，2022年，5月20

41、日，17點36分，星期四二、求極限方法舉例2022/9/8函數(shù)與極限170例1解第170頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限171小結(jié):第171頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限172解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2第172頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限173解例3(消去零因子法)第173頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限174例4解(無窮小因子分出法)第174頁，共261

42、頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限175小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第175頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限176例5解先變形再求極限.第176頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限177例6解第177頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限178例7解左右極限存在且相等,第178頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結(jié)20

43、22/9/8函數(shù)與極限1791.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第179頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限180思考題 在某個過程中，若 有極限， 無極限，那么 是否有極限？為什么？第180頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限181思考題解答沒有極限假設(shè) 有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤第181頁，共2

44、61頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限182一、填空題:練 習(xí) 題第182頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限183二、求下列各極限:第183頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限184第184頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限185練習(xí)題答案第185頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第186頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、無窮小的比較2022/9/

45、8函數(shù)與極限187例如,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限第187頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限188定義:第188頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限189例1解例2解第189頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限190常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如,第190頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、等價無窮小替換2022/9/8函數(shù)與極限191定理(等價無窮小替

46、換定理)證第191頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限192例3解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意第192頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限193例4解解錯第193頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限194例5解第194頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限1951.無窮小的比較:反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進行比較

47、.2.等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法, 注意適用條件.高(低)階無窮小; 等價無窮小; 無窮小的階.第195頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限196思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？第196頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限197思考題解答不能例當(dāng) 時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當(dāng) 時第197頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限198練 習(xí) 題第198頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8

48、函數(shù)與極限199第199頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限200第200頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限201練習(xí)題答案第201頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限202第202頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第203頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四一、函數(shù)的連續(xù)性2022/9/8函數(shù)與極限2041.函數(shù)的增量第204頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022

49、/9/8函數(shù)與極限2052.連續(xù)的定義第205頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限206第206頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限207例1證由定義2知第207頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限2083.單側(cè)連續(xù)定理第208頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限209例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,第209頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限2104.

50、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,第210頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限211例3證第211頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、函數(shù)的間斷點2022/9/8函數(shù)與極限212第212頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限2131.跳躍間斷點例4解第213頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限2142.可去間斷點

51、例5第214頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限215解注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第215頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限216如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點第216頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限2173.第二類間斷點例6解第217頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限218例7解注意 不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾

52、個點.第218頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限219狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續(xù), 其余各點處處間斷.第219頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限220在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷, 但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:第220頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限221例8解第221頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四三、小結(jié)2022/9/8函數(shù)與極限2221.函數(shù)在

53、一點連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點(見下圖)第222頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限223可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第223頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限224思考題第224頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限225思考題解答且第225頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分

54、，星期四2022/9/8函數(shù)與極限226但反之不成立.例但第226頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限227練 習(xí) 題第227頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限228第228頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限229練習(xí)題答案第229頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限230第230頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四第231頁，共261頁，2022年，5月20日，17點

55、36分，星期四一、四則運算的連續(xù)性2022/9/8函數(shù)與極限232定理1例如,第232頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性2022/9/8函數(shù)與極限233定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第233頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限234定理3證第234頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限235將上兩步合起來:第235頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限236意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;例1解第236頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四2022/9/8函數(shù)與極限237例2解同理可得第237頁，共261頁，2022年，5月20日，17點36分，星期四202