正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)(教師教學(xué)案)

1、 1.4.2 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)【教材分析】正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì) 是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材必修中的內(nèi)容， 是正弦函數(shù) 和余弦函數(shù)圖像的繼續(xù)， 本課是根據(jù)正弦曲線余弦曲線這兩種曲線的特點(diǎn)得出正弦函數(shù)和余 弦函數(shù)的性質(zhì)。 矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴(lài)。【教學(xué)目標(biāo)】會(huì)根據(jù)圖象觀察得出正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的性質(zhì)； 會(huì)求含有 sin x, cos x 的三角式的性質(zhì)；會(huì)應(yīng)用正、余弦的值域來(lái)求函數(shù) y asinx b(a 0)和函數(shù) 聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈。2y acos x bcosx c (a 0)的值域在探究正切函數(shù)基本性質(zhì)和圖像的過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，形成發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn) 題、解決問(wèn)題的能力

2、，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣 殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)克服困難取得成功的喜悅【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】 教學(xué)重點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正、余弦的定義域、值域來(lái)求含有sin x, cos x 的函數(shù)的值域【學(xué)情分析】 知識(shí)結(jié)構(gòu)：在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，對(duì)于正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖像的學(xué)習(xí)使學(xué) 生已經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類(lèi)比推理畫(huà)出圖象，并通過(guò)觀察圖象，總結(jié)性質(zhì)的能力。 釅 錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。心理特征：高一普通班學(xué)生已掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并了解了三角函數(shù)的周期性， 但學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力還不強(qiáng)； 能夠通過(guò)討論、 合作交流、 辯論得到正確 的知識(shí)。

3、 但在處理問(wèn)題時(shí)學(xué)生考慮問(wèn)題不深入， 往往會(huì)造成錯(cuò)誤的結(jié)果。 彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡?！窘虒W(xué)方法】1學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見(jiàn)后面的學(xué)案。2新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)合作探究、精 講點(diǎn)撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測(cè)發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí) 謀蕎摶篋飆鐸懟類(lèi)蔣薔?！菊n前準(zhǔn)備】1學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)“正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)”，初步把握性質(zhì)的推導(dǎo)。2教師的教學(xué)準(zhǔn)備：課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。【課時(shí)安排】 1 課時(shí)【教學(xué)過(guò)程】一、預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑 檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)具有了針對(duì)性。二、復(fù) 習(xí)導(dǎo)入、展示目標(biāo)。(一)問(wèn)題情境復(fù)習(xí)：如何作出正弦函數(shù)、余弦函

4、數(shù)的圖象？ 生：描點(diǎn)法(幾何法、五點(diǎn)法) ，圖象變換法。并要求學(xué)生回憶哪五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 引入：研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)從哪幾個(gè)方面考慮？生：定義域、值域、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱(chēng)性等提出本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)定義域與值域(二)探索研究定義域正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R (或( , ).值域值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度不大于單位圓的半徑的長(zhǎng)度 ,所以 |sin x| 1,|cosx| 1,即 1 sin x 1, 1 cosx 1也就是說(shuō) ,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是 1,1 .最值正弦函數(shù) y sin x,x R當(dāng)且僅當(dāng) x 2k ,k Z 時(shí), 取得最大值 12當(dāng)且僅當(dāng) x 2k ,k Z 時(shí),取得最

5、小值 12余弦函數(shù) y cosx,x R當(dāng)且僅當(dāng) x 2k ,k Z 時(shí), 取得最大值 1當(dāng)且僅當(dāng) x 2k ,k Z 時(shí), 取得最小值 1周期性由 sin(x 2k ) sin x,cos(x 2k ) cosx,(k Z) 知: 正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的 .定義：對(duì)于函數(shù) f(x) , 如果存在一個(gè)非零常數(shù) T , 使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí) 都有 f (x T) f (x) ,那么函數(shù) f (x) 就叫做周期函數(shù) ,非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的周期 . 由此可知 , 2 ,4 , , 2 , 4 , ,2k (k Z,k 0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期 .對(duì)

6、于一個(gè)周期函數(shù) f (x) , 如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù), 那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做 f (x) 的最小正周期 .根據(jù)上述定義 , 可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù) , 2k k Z,k 0 都是它的 周期 , 最小正周期是 2 .奇偶性 3 由 sin( x) sin x, cos( x) cosx可知: y sin x( x R)為奇函數(shù) ,其圖象關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)y cosx( x R )為偶函數(shù) , 其圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)性正弦函數(shù) y sin x(x R) 的對(duì)稱(chēng)中心是 k ,0 k Z ,對(duì)稱(chēng)軸是直線 x k k Z ;2余弦函數(shù) y cos x( x R) 的對(duì)稱(chēng)

7、中心是 k ,0 k Z ,對(duì)稱(chēng)軸是直線 x k k Z( 正 ( 余 ) 弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x 軸的直線， 對(duì)稱(chēng)中心為圖象與x軸 ( 中軸線 ) 的交點(diǎn) ).單調(diào)性從 y sin x,x , 的圖象上可看出 :22當(dāng) x , 時(shí) , 曲線逐漸上升 , sinx 的值由 1 增大到 122當(dāng) x , 時(shí),曲線逐漸下降 , sinx的值由 1減小到 1 22結(jié)合上述周期性可知 :正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 2k , 2k (k Z) 上都是增函數(shù) , 其值從 1增大 22到1;在每一個(gè)閉區(qū)間 2k , 2k (k Z)上都是減函數(shù) ,其值從 1減小到 1.22余弦函數(shù)在每一個(gè)

8、閉區(qū)間 2k ,2k (k Z)上都是增函數(shù) ,其值從 1增加到 1;余 弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 2k ,2k (k Z )上都是減函數(shù) , 其值從 1減小到 1.三、例題分析例 1、求函數(shù) y=sin(2x+ ) 的單調(diào)增區(qū)間解析：求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間時(shí)，應(yīng)把三角函數(shù)符號(hào)后面的角看成一個(gè)整體，采用換元的方法，化歸到正、余弦函數(shù)的單調(diào)性 廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。解：令 z=2x+ ，函數(shù) y=sinz 的單調(diào)增區(qū)間為 2k ， 2k 3 2 22k 2x+ 2k 得2 3 25k xk12 125故函數(shù) y=sinz 的單調(diào)增區(qū)間為 k ， k ()12 12 點(diǎn)評(píng)：“整體思想”解題3 2 2k ，

9、 32 2k 變式訓(xùn)練 1.求函數(shù) y=sin(-2x+ 3 )的單調(diào)增區(qū)間解：令 z=-2x+ ，函數(shù) y=sinz 的單調(diào)減區(qū)間為故函數(shù) sin(-2x+ )的單調(diào)增區(qū)間為 7 k ， k ()3 12 1233例 2：判斷函數(shù) f (x) sin( x ) 的奇偶性42解析：判斷函數(shù)的奇偶性， 首先要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， 然后再看煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。的關(guān)系，對(duì) (1) 用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，更便于判斷 TOC o 1-5 h z 3 33x解： f (x) sin( x ) = cos ，424 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document f(

10、 x) cos( 3x)cos3x44 33 所以函數(shù) f (x) sin( x ) 為偶函數(shù)點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，判斷“定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”是必須的步驟 變式訓(xùn)練 2. f (x) lg(sin x 1 sin2 x ) 解：函數(shù)的定義域?yàn)?R，f ( x) lgsin( x) 1 sin2 x =lg( sinx 1 sin2 x)= lg(sin x 1 sin2 x) 1 = lg(sin x 1 sin2 x) = f(x)所以函數(shù) f (x) lg(sin x 1 sin2 x )為奇函數(shù)例 3. 比較 sin2500、sin2600 的大小 解析：通過(guò)誘導(dǎo)公式把角度化為同

11、一單調(diào)區(qū)間，利用正弦函數(shù)單調(diào)性比較大小3解： y=sinx 在 2k ， 2k (k Z)，上是單調(diào)減函數(shù)，22又 2500sin2600 點(diǎn)評(píng)：比較同名的三角函數(shù)值的大小， 找到單 調(diào)區(qū)間， 運(yùn)用單調(diào)性即可， 先化間；比較不同名的三角函數(shù)值的大小，應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)值，再進(jìn)行比較 變式訓(xùn)練 3.cos 15 、cos148915 14解： cos cos89 由學(xué)生分析，得到結(jié)論，其他學(xué)生幫助補(bǔ)充、糾正完成。五、反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)。 課堂小結(jié)：1、數(shù)學(xué)知識(shí)：正、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題2、數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合、整

12、體思想。達(dá)標(biāo)檢測(cè)：一、選擇題f (x) 與 f ( x)若比較復(fù)雜，函數(shù) y 2sin 2x 的奇偶數(shù)性為(B. 偶函數(shù)奇函數(shù)C既奇又偶函數(shù)D. 非奇非偶函數(shù)下列函數(shù)在 , 上是增函數(shù)的是（A. y=sinxC. y=sin2x3.下列四個(gè)函數(shù)中，既是A. y sinxC. y cosx二、填空題y=cosxD. y=cos2x0, 上的增函數(shù)，又是以 為周期的偶函數(shù)的是（ 2B. y sin2xD. y cos2x把下列各等式成立的序號(hào)寫(xiě)在后面的橫線上 cosx 2 2sin x 3 sin2 x 5sin x 6 0 cos2 x 0.5鵝婭盡損鵪 慘歷蘢鴛賴(lài)。不等式 sinx 2 的解集

13、是 2三、解答題2 ,2 的單調(diào)遞增區(qū)間 A4 、56、 53 ,2 31求出數(shù) y sin x x ,x參考答案： 1、A 32、2D3、55、 2k x 2k 45六、發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。x 對(duì)稱(chēng)，求 a 的值8如果函數(shù) y=sin2x+acos2x 的圖象關(guān)于直七、板書(shū)設(shè)計(jì) 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)一、正弦函數(shù)的性質(zhì)例 1二、余弦函數(shù)的性質(zhì)例 2 定義域、值域、單調(diào)、奇偶、周期對(duì)稱(chēng) 例 3八、教學(xué)反思（ 1）根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程， 在推導(dǎo)性質(zhì)的過(guò)程中讓學(xué)生自己先獨(dú)思考， 然后小 組交流，再來(lái)糾正學(xué)生錯(cuò)誤結(jié)論，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性，讓學(xué)生活起來(lái)。 籟叢媽羥為贍僨 蟶練淨(jìng)。（2）關(guān)注

14、學(xué)生的表達(dá)，表現(xiàn)，學(xué)生的情感需求，課堂明顯就活躍，學(xué)生的積極性完全被 調(diào)動(dòng)起來(lái)， 很多學(xué)生想表達(dá)自己的想法。 這對(duì)這些學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)的積極性是非常有幫助的。 預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。（3）判斷題、例題的選擇都是根據(jù)我們以往對(duì)學(xué)生的了解而設(shè)置的，幫助學(xué)生辨析，縮 短認(rèn)識(shí)這些知識(shí)的時(shí)間，減少再出現(xiàn)類(lèi)似錯(cuò)誤的人數(shù)，在學(xué)生學(xué)習(xí)困惑時(shí)給與幫助。 滲釤嗆 儼勻諤鱉調(diào)硯錦。九、學(xué)案設(shè)計(jì) （見(jiàn)下頁(yè) ） 1.4.2 正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性，周期，最小正周期；會(huì)比較三角函數(shù)值的大小 , 會(huì) 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 .二、預(yù)習(xí)內(nèi)容1. 叫做周期函數(shù)， 叫這個(gè)函數(shù)的周

15、期 .鐃誅臥瀉噦圣騁貺頂廡。2. 叫做函數(shù)的最小正周期 . 擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。正弦函數(shù)，余弦函數(shù)都是周期函數(shù)， 周期是 ，最小正周期是 .由誘導(dǎo)公式可知正弦函數(shù)是奇函數(shù). 由誘導(dǎo)公式可知，余弦函數(shù)是偶函數(shù) . 贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。正弦函數(shù)圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，正弦函數(shù)是 . 余弦函數(shù)圖象關(guān)于 對(duì)稱(chēng)，余弦函數(shù)是 . 壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是增函數(shù)， 其值從 1 增大到 1；在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是減函數(shù)，其值從 1 減少到 1. 蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅。余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是增函數(shù)， 其值從 1 增大到 1；在每一個(gè)閉區(qū)間 上都是減函數(shù)，其值從 1 減少到 1.

16、買(mǎi)鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x時(shí)，取得最大值 1, 當(dāng)且僅當(dāng) x=時(shí)取得最小值 1. 綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。 TOC o 1-5 h z 余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x 時(shí)取得最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=時(shí)取得最小值 1. 驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。10.正弦函數(shù) y 3sinx 的周期是 .余弦函數(shù) y cos2x 的周期是 .函數(shù) y=sinx +1 的最大值是 ,最小值是 ,y=-3cos2 x 的最大值是 ,最小值是 .貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。y=-3cos2 x取得最大值時(shí)的自變量 x的集合是 .把下列三角函數(shù)值從小到大排列起來(lái)為： 4，sin5三、提出疑惑5c，os4， 32，sin55

17、cos12同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 會(huì)根據(jù)圖象觀察得出正弦函數(shù)、 余弦函數(shù)的性質(zhì)； 會(huì)求含有 sin x, cos x的 三角式的性質(zhì)；會(huì) 應(yīng)用正 、余弦 的值域 來(lái)求函 數(shù) y asinx b(a 0) 和函 數(shù)y acos2 x bcosx c (a 0)的值域 鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)及簡(jiǎn)單應(yīng)用。二、學(xué)習(xí)過(guò)程例 1 、求函數(shù) y=sin(2x+ 3 )的單調(diào)增區(qū)間3解：變式訓(xùn)練 1.求函數(shù) y=sin(-2x+ 3 ) 的單調(diào)增區(qū)間3解：33例 2：判斷函數(shù) f (x) si

18、n( x ) 的奇偶性42解：變式訓(xùn)練 2. f (x) lg(sin x 1 sin2 x )解：例 3. 比較 sin2500、sin2600 的大小解：變式訓(xùn)練 3.cos 15 、cos1489解：三、反思總結(jié)1、數(shù)學(xué)知識(shí)：2、數(shù)學(xué)思想方法：四、當(dāng)堂檢測(cè)一、選擇題1.函數(shù) y2sin 2x 的奇偶數(shù)性為（）.A. 奇函數(shù) B. 偶函數(shù)C既奇又偶函數(shù)D. 非奇非偶函數(shù)2.下列函數(shù)在 , 上是增函數(shù)的是（ ）2A. y=sinxB. y=cosxy=sin2xD. y=cos2x下列四個(gè)函數(shù)中，既是0, 上的增函數(shù)，又是以 為周期的偶函數(shù)的是（ ）2A. y sinx B. y sin2xC. y cosx D. y cos2x二、填空題把下列各等式成立的序號(hào)寫(xiě)在后面的橫線上。 cosx 2 2sin x 3 sin2 x 5sin x 6 0 cos2 x 0.5構(gòu) 氽頑 黌碩 飩 薺齦話騖。2不等式 sinx 2 的解集是 2三、解答題6.求出數(shù) y sinx 1 x ,x 2 ,2 的單調(diào)遞增區(qū)間32課后練習(xí)與提高 一、選擇題1y=sin（x-3 ）的單調(diào)增區(qū)間是（）A.5 k-6 ,k+6 (k Z)B.52k-6 ,2k+6 (kZ)輒嶧陽(yáng)檉籪癤網(wǎng)儂號(hào)澩。C.7 k- 6 , k-6 (k Z)