初中數(shù)學人教九年級上冊第二十二章 二次函數(shù)二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題

1、二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題教學設計綿陽外國語實驗學校 劉麗瓊教學目標：1、能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，滲透“數(shù)形結合”的思想；2、探究二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題，培養(yǎng)學生“分類討論”的思想；3、能用距離公式求出兩點間的距離，提高學生分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習品質.教學重難點：探究出二次函數(shù)中等腰三角形存在性問題的一般解題方法；分類討論思想.教學過程：1、復習舊知師：如圖， 平面內有A，B兩點，請同學們在平面內找到一點P，使得PAB是等腰三角形，這樣的點P你可以找到幾個？生：無數(shù)個。師：這里沒有明確哪一條邊是底，哪一條邊是腰，因此我們要進行分類討論，那需要

2、分哪幾種情況來討論呢？生：三種。分A，B，P為頂角頂點進行討論。第一種情況：當A為頂角頂點時，AB=AP，點P在以A為圓心，AB為半徑的圓上；第二種情況：當B為頂角頂點時，BA=BP，點P在以點B為圓心，BA為半徑的圓上；第三種情況：當P為頂角頂點時，PA=PB，點P在線段AB的垂直平分線上。師：很好，也就是我們所說的“兩圓一線”。這“兩圓一線”上的點除了與直線AB的交點以外的任意一點都會與A，B兩點構成等腰三角形。2、引入新課師：我們學習了二次函數(shù)，經(jīng)常會遇見二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題，今天我們一起來探究這個問題。3、例題精講例1：如圖，直線與軸交于點A，與軸交于點C，拋物線經(jīng)過點A、

3、C，與軸交于另一點B，且.（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使ACM是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；師：請同學們做好第1小題，求拋物線的解析式。生：先由直線解析式得到A點，C點的坐標，再把A，B，C三點的坐標代入拋物線得到關于，的三元一次方程組，解方程組得到拋物線解析式為：。 師：第2小題，請同學們找到這樣的點M在哪里？并思考怎么去求點M的坐標。請同學們小組討論，得出結果。（討論）師：怎么找到這個點M？生：首先點M在“兩圓一線”上，點M又要在拋物線的對稱軸上，所以“兩圓一線”與拋物線對稱軸的交點就是點M，可以找到5個這樣的點。師：那點M的

4、坐標怎么求呢？生：因為拋物線的對稱軸是直線，所以可以設點M的坐標為，利用兩點間的距離公式，根據(jù)等腰三角形的腰長相等列出方程，求出m，從而得到點M的坐標。師：非常好！【解答】A，C，M， = 1 * GB3 當A為頂角頂點，即AC=AM時，解得： = 2 * GB3 當C為頂角頂點，即CA=CM時，解得： = 3 * GB3 當M為頂角頂點，即MA=MC時，解得：所以，點M的坐標為，?！就卣?】在上題中， 若點M是直線上的一動點，是否存在點M，使ACM是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。師：這樣的點M存在嗎？點M會在哪里呢？生：“兩圓一線”與直線的交點即為點M。師：怎樣求

5、出點M的坐標呢？生：設M，利用兩點間的距離公式，根據(jù)等腰三角形的腰長相等列出方程，求出m，從而得到點M的坐標。師：（總結）動點M只要是在一條確定的直線上，比如說在拋物線的對稱軸上，或者坐標軸上，或者一次函數(shù)的圖像上，我們都可以用這個方法來解決。即先設坐標，再用兩點間距離公式，根據(jù)腰長相等，列出方程求解?！就卣?】在上題中，若點P是y軸上一動點，Q是平面直角系內一點，是否存在點P，使得以點A，C，P，Q為頂點的四邊形菱形？若存在，求出點P的坐標。師：要解決這個問題，請同學們分小組討論，菱形與等腰三角形有怎樣的聯(lián)系？生：等腰三角形沿著底邊翻折可以得到菱形。 （等腰三角形沿著底邊翻折得到菱形）師：點

6、P的坐標怎么求？生：“兩圓一線與”y軸的交點就是點P，設P點坐標，利用兩點間的距離公式，根據(jù)等腰三角形的腰長相等列出方程，從而得到點P的坐標。師：如果還要求Q點的坐標呢？生：求出P點的坐標以后，利用對稱性或者平移的方法即可以求出Q點的坐標。師：非常好！菱形的存在性問題我們可以轉化為等腰三角形的存在性問題來解決。4、自主練習如圖，直線與軸、軸分別交于點B、C，對稱軸為的拋物線經(jīng)過B、C兩點，與軸的另一個交點為A，頂點為D、點P是該拋物線上的一個動點，過點P作PE軸于點E，分別交線段BD、BC于點F、G，設點P的橫坐標為t(1t3)（1）求該拋物線所對應的函數(shù)關系式及頂點D的坐標；（2）求證：FGGE； （3）當FCG為等腰三角形時，求t的值。師：請思考以下3個問題：1、點F，G與點P有何關系？2、如何得到F，G的坐標？3、這些邊的長度如何表示？請同學們帶著這幾個問題完成這道題。5