2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（大綱版）（含解析版）

1、2011年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）復數(shù)z=1+i， 為z 的共軛復數(shù)，則zz1=（）A2iBiCiD2i2（5分）函數(shù)y=（x0）的反函數(shù)為（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）3（5分）下面四個條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b34（5分）設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，則k=（）A8B7C6D55（5分）設函數(shù)f（x）=cosx（0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重

2、合，則的最小值等于（）AB3C6D96（5分）已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（）ABCD17（5分）某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A4種B10種C18種D20種8（5分）曲線y=e2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）ABCD19（5分）設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0 x1時，f（x）=2x（1x），則=（）ABCD10（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x4與C交于A，B兩

3、點，則cosAFB=（）ABCD11（5分）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成60二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為（）A7B9C11D1312（5分）設向量，滿足|=|=1，=，=60，則|的最大值等于（）A2BCD1二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.（注意：在試題卷上作答無效）13（5分）的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為 14（5分）已知（，），sin=，則tan2= 15（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點AC，點M的坐標為（2，0），AM為F1AF2的平分線，則|AF2|=

4、16（5分）已知E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c已知AC=，a+c=b，求C18（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3設各車主購買保險相互獨立（）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)求X的期望19（12分）如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD

5、，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小20（12分）設數(shù)列an滿足a1=0且（）求an的通項公式；（）設，記，證明：Sn121（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點P在C上；（）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上22（12分）（）設函數(shù)，證明：當x0時，f（x）0（）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽到的20個號碼互不相同的概率為p，證明：2011年

6、全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）復數(shù)z=1+i， 為z 的共軛復數(shù)，則zz1=（）A2iBiCiD2i【考點】A5：復數(shù)的運算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】求出復數(shù)z的共軛復數(shù)，代入表達式，求解即可【解答】解：=1i，所以=（1+i）（1i）1i1=i故選：B【點評】本題是基礎題，考查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力，?？碱}型2（5分）函數(shù)y=（x0）的反函數(shù)為（）Ay=（xR）By=（x0）Cy=4x2（xR）Dy=4x2（x0）【考點】4R：反函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】由原

7、函數(shù)的解析式解出自變量x的解析式，再把x 和y交換位置，注明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域）【解答】解：y=（x0），x=，y0，故反函數(shù)為y=（x0）故選：B【點評】本題考查函數(shù)與反函數(shù)的定義，求反函數(shù)的方法和步驟，注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域3（5分）下面四個條件中，使ab成立的充分而不必要的條件是（）Aab+1Bab1Ca2b2Da3b3【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】5L：簡易邏輯【分析】利用不等式的性質(zhì)得到ab+1ab；反之，通過舉反例判斷出ab推不出ab+1；利用條件的定義判斷出選項【解答】解：ab+1ab；反之，例如a=2，b=1滿足ab，但a

8、=b+1即ab推不出ab+1，故ab+1是ab成立的充分而不必要的條件故選：A【點評】本題考查不等式的性質(zhì)、考查通過舉反例說明某命題不成立是常用方法4（5分）設Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a1=1，公差d=2，Sk+2Sk=24，則k=（）A8B7C6D5【考點】85：等差數(shù)列的前n項和菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】先由等差數(shù)列前n項和公式求得Sk+2，Sk，將Sk+2Sk=24轉化為關于k的方程求解【解答】解：根據(jù)題意：Sk+2=（k+2）2，Sk=k2Sk+2Sk=24轉化為：（k+2）2k2=24k=5故選：D【點評】本題主要考查等差數(shù)列的前n項和公式及其應用，同時還考查

9、了方程思想，屬中檔題5（5分）設函數(shù)f（x）=cosx（0），將y=f（x）的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于（）AB3C6D9【考點】HK：由y=Asin（x+）的部分圖象確定其解析式菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】56：三角函數(shù)的求值【分析】函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，容易得到結果【解答】解：f（x）的周期T=，函數(shù)圖象平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，說明函數(shù)平移整數(shù)個周期，所以，kZ令k=1，可得=6故選：C【點評】本題是基礎題，考查三角函數(shù)的圖象的平移，三角函數(shù)的周期定義的理解，考查技術能力，常考題型6（5分

10、）已知直二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于（）ABCD1【考點】MK：點、線、面間的距離計算菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；13：作圖題；35：轉化思想【分析】畫出圖形，由題意通過等體積法，求出三棱錐的體積，然后求出D到平面ABC的距離【解答】解：由題意畫出圖形如圖：直二面角l，點A，ACl，C為垂足，B，BDl，D為垂足，若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離轉化為三棱錐DABC的高為h，所以AD=，CD=，BC=由VBACD=VDABC可知所以，h=故選C【點評】本題是基礎題，考查點到平面的距離，考

11、查轉化思想的應用，等體積法是求解點到平面距離的基本方法之一，考查計算能力7（5分）某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有（）A4種B10種C18種D20種【考點】D3：計數(shù)原理的應用菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】本題是一個分類計數(shù)問題，一是3本集郵冊一本畫冊，讓一個人拿一本畫冊有4種，另一種情況是2本畫冊2本集郵冊，只要選兩個人拿畫冊C42種，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果【解答】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，一是3本集郵冊一本畫冊，從4位朋友選一個有4種，另一種情況是2本畫冊2本集郵冊，只要選兩個人拿畫冊C42=6

12、種，根據(jù)分類計數(shù)原理知共10種，故選：B【點評】本題考查分類計數(shù)問題，是一個基礎題，這種題目可以出現(xiàn)在選擇或填空中，也可以出現(xiàn)在解答題目的一部分中8（5分）曲線y=e2x+1在點（0，2）處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為（）ABCD1【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=0處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式，然后求出與y軸和直線y=x的交點，根據(jù)三角形的面積公式求出所求即可【解答】解：y=e2x+1y=（2）e2xy|x=0=（2）e2x|x=0=2曲線y=e2

13、x+1在點（0，2）處的切線方程為y2=2（x0）即2x+y2=0令y=0解得x=1，令y=x解得x=y=切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為1=故選：A【點評】本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及兩直線垂直的應用等有關問題，屬于基礎題9（5分）設f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0 x1時，f（x）=2x（1x），則=（）ABCD【考點】3I：奇函數(shù)、偶函數(shù)；3Q：函數(shù)的周期性菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】由題意得 =f（ ）=f（），代入已知條件進行運算【解答】解：f（x）是周期為2的奇函數(shù)，當0 x1時，f（x）=2x（1x），=f（ ）=f（）=2 （1

14、）=，故選：A【點評】本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應用，以及求函數(shù)的值10（5分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x4與C交于A，B兩點，則cosAFB=（）ABCD【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】根據(jù)已知中拋物線C：y2=4x的焦點為F，直線y=2x4與C交于A，B兩點，我們可求出點A，B，F(xiàn)的坐標，進而求出向量，的坐標，進而利用求向量夾角余弦值的方法，即可得到答案【解答】解：拋物線C：y2=4x的焦點為F，F(xiàn)點的坐標為（1，0）又直線y=2x4與C交于A，B兩點，則A，B兩點坐標分別為（1，2）（4，4），則=（0，2），=（3，

15、4），則cosAFB=，故選：D【點評】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，其中構造向量然后利用向量法處理是解答本題的重要技巧11（5分）已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成60二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為（）A7B9C11D13【考點】MJ：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】先求出圓M的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON的長，最后利用垂徑定理即可求出圓N的半徑，從而求出面積【解答】解：圓M的面積為4圓M的半徑為2根據(jù)勾股定理可知OM=過圓心M且與成60二面角的

16、平面截該球面得圓NOMN=30，在直角三角形OMN中，ON=圓N的半徑為則圓的面積為13故選：D【點評】本題主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知識，同時考查空間想象能力，分析問題解決問題的能力，屬于基礎題12（5分）設向量，滿足|=|=1，=，=60，則|的最大值等于（）A2BCD1【考點】9P：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】利用向量的數(shù)量積求出的夾角；利用向量的運算法則作出圖；結合圖，判斷出四點共圓；利用正弦定理求出外接圓的直徑，求出最大值【解答】解：，的夾角為120，設，則；=如圖所示則AOB=120；ACB=60AOB+AC

17、B=180A，O，B，C四點共圓由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=當OC為直徑時，模最大，最大為2故選：A【點評】本題考查向量的數(shù)量積公式、向量的運算法則、四點共圓的判斷定理、三角形的正弦定理二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上.（注意：在試題卷上作答無效）13（5分）的二項展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為0【考點】DA：二項式定理菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】利用二項展開式的通項公式求出通項，令x的指數(shù)分別取1，9求出x的系數(shù)與x9的系數(shù)；求出值【解答】解：展開式的通項為令得r=2；令得r=18x的系數(shù)與x9的系數(shù)C202，C2018x的

18、系數(shù)與x9的系數(shù)之差為C202C2018=0故答案為：0【點評】本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題14（5分）已知（，），sin=，則tan2=【考點】GG：同角三角函數(shù)間的基本關系；GS：二倍角的三角函數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】利用題目提供的的范圍和正弦值，可求得余弦值從而求得正切值，然后利用二倍角的正切求得tan2【解答】解：由（，），sin=，得cos=，tan=tan2=故答案為：【點評】本題考查了二倍角的正切與同角三角函數(shù)間的基本關系，是個基礎題15（5分）已知F1、F2分別為雙曲線C：的左、右焦點，點AC，點M的坐標為（2，0），AM為F1

19、AF2的平分線，則|AF2|=6【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】16：壓軸題【分析】利用雙曲線的方程求出雙曲線的參數(shù)值；利用內(nèi)角平分線定理得到兩條焦半徑的關系，再利用雙曲線的定義得到兩條焦半徑的另一條關系，聯(lián)立求出焦半徑【解答】解：不妨設A在雙曲線的右支上AM為F1AF2的平分線=又|AF1|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案為6【點評】本題考查內(nèi)角平分線定理；考查雙曲線的定義：解有關焦半徑問題常用雙曲線的定義16（5分）已知E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于【考

20、點】MJ：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題；31：數(shù)形結合【分析】由題意畫出正方體的圖形，延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BPAS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是：BPE，求出BP與正方體的棱長的關系，然后求出面AEF與面ABC所成的二面角的正切值【解答】解：由題意畫出圖形如圖：因為E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E=2EB，CF=2FC1，延長CB、FE交點為S連接AS，過B作BPAS連接PE，所以面AEF與面ABC所成的二面角就是BPE，因為B1E=2EB，CF=2FC1，所以BE：CF=1：2

21、所以SB：SC=1：2，設正方體的棱長為：a，所以AS=a，BP=，BE=，在RTPBE中，tanEPB=，故答案為：【點評】本題是基礎題，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題的關鍵是能夠作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查計算能力，邏輯推理能力三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c已知AC=，a+c=b，求C【考點】HU：解三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】由AC等于得到A為鈍角，根據(jù)誘導公式可知sinA與cosC相等，然后利用正弦定理把a+c=b化簡后，把sinA換為cosC，利用特殊角的三角函數(shù)值和兩角和的正弦函數(shù)

22、公式把左邊變?yōu)橐粋€角的正弦函數(shù)，給方程的兩邊都除以后，根據(jù)C和B的范圍，得到C+=B或C+B=，根據(jù)A為鈍角，所以C+B=不成立舍去，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，列出關于C的方程，求出方程的解即可得到C的度數(shù)【解答】解：由AC=，得到A為鈍角且sinA=cosC，利用正弦定理，a+c=b可變?yōu)椋簊inA+sinC=sinB，即有sinA+sinC=cosC+sinC=sin（C+）=sinB，又A，B，C是ABC的內(nèi)角，故C+=B或C+B=（舍去），所以A+B+C=（C+）+（C+）+C=，解得C=【點評】此題考查學生靈活運用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值以及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，是一道中

23、檔題學生做題時應注意三角形的內(nèi)角和定理及角度范圍的運用18（12分）根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3設各車主購買保險相互獨立（）求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；（）X表示該地的100位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)求X的期望【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CH：離散型隨機變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題【分析】（）首先求出購買乙種保險的概率，再由獨立事件和對立事件的概率求出該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率，然后求該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率即可（

24、）每位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率均相等，故為獨立重復試驗，X服從二項分布，由二項分布的知識求概率即可【解答】解：（）設該車主購買乙種保險的概率為P，則P（10.5）=0.3，故P=0.6，該車主甲、乙兩種保險都不購買的概率為（10.5）（10.6）=0.2，由對立事件的概率該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率10.2=0.8（）甲、乙兩種保險都不購買的概率為0.2，XB（100，0.2）所以EX=1000.2=20【點評】本題考查對立事件獨立事件的概率、獨立重復試驗即二項分布的期望等知識，考查利用所學知識分析問題、解決問題的能力19（12分）如圖，四棱錐SABCD中，ABCD，BC

25、CD，側面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1（）證明：SD平面SAB；（）求AB與平面SBC所成的角的大小【考點】LW：直線與平面垂直；MI：直線與平面所成的角菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；14：證明題【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，即證明SD垂直于面SAB中兩條相交的直線SA，SB；在證明SD與SA，SB的過程中運用勾股定理即可（）求AB與平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，當為銳角時，所求的角即為它的余角；當為鈍角時，所求的角為【解答】（）證明：在直角梯形ABCD中，ABCD，BCCD，AB=BC=2，CD=1AD=側面SAB為等邊三角形，AB=2

26、SA=2SD=1AD2=SA2+SD2SDSA同理：SDSBSASB=S，SA，SB面SABSD平面SAB（）建立如圖所示的空間坐標系則A（2，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，則由四棱錐SABCD中，ABCD，BCCD，側面SAB為等邊三角形知，M點一定在x軸上，又AB=BC=2，CD=SD=1可解得MD=，從而解得SM=，故可得S（，0，）則設平面SBC的一個法向量為則，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一個法向量為=（0，1）又=（0，2，0）cos，=，=arccos即AB與平面SBC所成的角的大小為arcsin【點評】本題考查了直線與平面垂直的

27、判定，直線與平面所成的角以及空間向量的基本知識，屬于中檔題20（12分）設數(shù)列an滿足a1=0且（）求an的通項公式；（）設，記，證明：Sn1【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式；8K：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】（）由是公差為1的等差數(shù)列，知，由此能求出an的通項公式（）由=，能夠證明Sn1【解答】解：（）是公差為1的等差數(shù)列，（nN*）（）=，=11【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意裂項求和法的合理運用21（12分）已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足（）證明：點

28、P在C上；（）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角；KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】15：綜合題；16：壓軸題；35：轉化思想【分析】（1）要證明點P在C上，即證明P點的坐標滿足橢圓C的方程，根據(jù)已知中過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足，我們求出點P的坐標，代入驗證即可（2）若A、P、B、Q四點在同一圓上，則我們可以先求出任意三點確定的圓的方程，然后將第四點坐標代入驗證即可【解答】證明：（）設A（x1，y1），B（x2，y2）橢圓C：，則直線AB的方程為：y=x+1 聯(lián)立方程可得4x22x1=0，則x

29、1+x2=，x1x2=則y1+y2=（x1+x2）+2=1設P（p1，p2），則有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=（+）=（，1）p的坐標為（，1）代入方程成立，所以點P在C上（）設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上設線段AB的中點坐標為（，），即（，），則過線段AB的中點且垂直于AB的直線方程為：y=（x），即y=x+；P關于點O的對稱點為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點，則過線段PQ的中點且垂直于PQ的直線方程為：y=x；聯(lián)立方程組，解之得：x=，y=的交點就是圓心O1（，），r

30、2=|O1P|2=（）2+（1）2=故過P Q兩點圓的方程為：（x+）2+（y）2=，把y=x+1 代入，有x1+x2=，y1+y2=1A，B也是在圓上的A、P、B、Q四點在同一圓上【點評】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，向量在幾何中的應用，其中判斷點與曲線關系時，所使用的坐標代入驗證法是解答本題的關鍵22（12分）（）設函數(shù)，證明：當x0時，f（x）0（）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設抽到的20個號碼互不相同的概率為p，證明：【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】14：證明題；16：壓軸題【分析】（）欲證

31、明當x0時，f（x）0，由于f（0）=0利用函數(shù)的單調(diào)性，只須證明f（x）在0，+）上是單調(diào)增函數(shù)即可先對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案（）先計算概率P=，再證明，即證明999881（90）19，最后證明e2，即證e2，即證19ln2，即證ln，而這個結論由（1）所得結論可得【解答】（）證明：f（x）=，當x1，時f（x）0，f（x）在（1，+）上是單調(diào)增函數(shù)，當x0時，f（x）f（0）=0即當x0時，f（x）0（）從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，連續(xù)抽取20次，則抽得的20個號碼互不相同的概率為P=，要證P先證：P=，即證即證99988

32、1（90）19而9981=（90+9）（909）=902929029882=（90+8）（908）=902829029189=（90+1）（901）=90212902999881（90）19即P再證：e2，即證e2，即證19ln2，即證ln由（）f（x）=ln（1+x），當x0時，f（x）0令x=，則ln（1+）=ln（1+）0，即ln綜上有：P【點評】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系等，考查運算求解能力，函數(shù)、導數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力一.集合與函數(shù)1.進行集合的交、并、補運算時

33、，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數(shù)軸和文氏圖進行求解.2.在應用條件時，易A忽略是空集的情況3.你會用補集的思想解決有關問題嗎?4.簡單命題與復合命題有什么區(qū)別?四種命題之間的相互關系是什么?如何判斷充分與必要條件?5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.6.求解與函數(shù)有關的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.7.判斷函數(shù)奇偶性時，易忽略檢驗函數(shù)定義域是否關于原點對稱.8.求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略標注該函數(shù)的定義域.9.原函數(shù)在區(qū)間-a,a上單調(diào)遞增，則一定存在反函數(shù)，且反函數(shù)也單調(diào)遞增;但一個函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)不一定單調(diào).例如：.10.你熟練地掌握了函

34、數(shù)單調(diào)性的證明方法嗎?定義法(取值,作差,判正負)和導數(shù)法11.求函數(shù)單調(diào)性時，易錯誤地在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符號“”和“或”;單調(diào)區(qū)間不能用集合或不等式表示.12.求函數(shù)的值域必須先求函數(shù)的定義域。13.如何應用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解題?比較函數(shù)值的大小;解抽象函數(shù)不等式;求參數(shù)的范圍(恒成立問題).這幾種基本應用你掌握了嗎?14.解對數(shù)函數(shù)問題時，你注意到真數(shù)與底數(shù)的限制條件了嗎?(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)字母底數(shù)還需討論15.三個二次(哪三個二次?)的關系及應用掌握了嗎?如何利用二次函數(shù)求最值?16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數(shù)的范圍。17.“實系數(shù)一元二次

35、方程有實數(shù)解”轉化時，你是否注意到：當時，“方程有解”不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二次函數(shù)或二次不等式，你是否考慮到二次項系數(shù)可能為的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么?20.解分式不等式應注意什么問題?用“根軸法”解整式(分式)不等式的注意事項是什么?21.解含參數(shù)不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)的單調(diào)性為基礎，分類討論是關鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”.22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示;不能用不等式表示.23.兩個不等式相乘時

36、,必須注意同向同正時才能相乘,即同向同正可乘;同時要注意“同號可倒”即ab0，a0.三.數(shù)列24.解決一些等比數(shù)列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種情況進行討論了嗎?25.在“已知，求”的問題中,你在利用公式時注意到了嗎?(時，應有)需要驗證，有些題目通項是分段函數(shù)。26.你知道存在的條件嗎?(你理解數(shù)列、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列的概念嗎?你知道無窮數(shù)列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無窮等比數(shù)列的所有項的和必定存在?27.數(shù)列單調(diào)性問題能否等同于對應函數(shù)的單調(diào)性問題?(數(shù)列是特殊函數(shù)，但其定義域中的值不是連續(xù)的。)28.應用數(shù)學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，先假設時成立，再結

37、合一些數(shù)學方法用來證明時也成立。四. HYPERLINK /search.aspx t /content/19/1226/14/_blank 三角函數(shù)29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎?，若角的終邊在坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同的角和相等的角的區(qū)別嗎?30.三角函數(shù)的定義及單位圓內(nèi)的三角函數(shù)線(正弦線、余弦線、正切線)的定義你知道嗎?31.在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性了嗎?32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次

38、)33.反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是34.你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎?35.掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).你會寫三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數(shù)形結合與書寫規(guī)范,可別忘了)，你是否清楚函數(shù)的圖象可以由函數(shù)經(jīng)過怎樣的變換得到嗎?36.函數(shù)的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：(1)函數(shù)的圖象的平移為“左+右-，上+下-”;如函數(shù)的圖象左移2個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(2)方程表示的圖形的平移為“左+右-，上-下+”;如直線左移2個個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.(3)點的平移公式：點按向量

39、平移到點，則.37.在三角函數(shù)中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角的范圍)38.形如的周期都是，但的周期為。39.正弦定理時易忘比值還等于2R.五.平面向量40.數(shù)0有區(qū)別，的模為數(shù)0，它不是沒有方向，而是方向不定?？梢钥闯膳c任意向量平行，但與任意向量都不垂直。41.數(shù)量積與兩個實數(shù)乘積的區(qū)別：在實數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒有.在實數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因為左邊是與共線的向量，而右邊是與共線的向量.42.是向量與平行的充分而不必要條件，是向量和向量夾角為鈍角的必要

40、而不充分條件。六.解析幾何43.在用點斜式、斜截式求直線的方程時，你是否注意到不存在的情況?44.用到角公式時，易將直線l1、l2的斜率k1、k2的順序弄顛倒。45.直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是。46.定比分點的坐標公式是什么?(起點，中點，分點以及值可要搞清)，在利用定比分點解題時，你注意到了嗎?47.對不重合的兩條直線(建議在解題時，討論后利用斜率和截距)48.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當時，直線在兩坐標軸上的截距都是0，亦為截距相等。49.解決線性規(guī)劃問題的基本步驟是什么?請你注意解題格式和完整的文字表達.(設出變量，寫出目標函數(shù)寫出線性

41、約束條件畫出可行域作出目標函數(shù)對應的系列平行線，找到并求出最優(yōu)解應用題一定要有答。)50.三種圓錐曲線的定義、圖形、標準方程、幾何性質(zhì)，橢圓與雙曲線中的兩個特征三角形你掌握了嗎?51.圓、和橢圓的參數(shù)方程是怎樣的?常用參數(shù)方程的方法解決哪一些問題?52.利用圓錐曲線第二定義解題時，你是否注意到定義中的定比前后項的順序?如何利用第二定義推出圓錐曲線的焦半徑公式?如何應用焦半徑公式?53.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦.(想一想在雙曲線中的結論?)54.在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零?橢圓，雙曲線二次項系數(shù)為零時直線與其只有一個交點，判別式的限制.(求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行).55.解析幾何問題的求解中，平面幾何知識利用了嗎?題目中是否已經(jīng)有坐標系了，是否需要建立直角坐標系?七.立體幾何56.你掌握了空間圖形在平面上的直觀畫法嗎?(斜二測畫法)。57.線面平行和面面平行的定義、判定和性質(zhì)定理你掌握了嗎?線線平行、線面平行、面面平行這三者之間的聯(lián)系和轉化在解決立幾