重慶工商大學(xué)數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件第01講 數(shù)學(xué)建模初步

1、第一章 數(shù)學(xué)建模初步1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型“航行問題”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速為20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲

2、逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x =20y =5求解航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號(hào)表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以 時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時(shí)為20千米/小時(shí)）。數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、

3、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模例1 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離 L。這就是說(shuō)，在離街口距離為 L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見左圖。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。 馬路的寬度 D是容易測(cè)得 的，問題的關(guān)鍵在 于L的確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：L1和L2，其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程 ，L2為剎車制

4、動(dòng)后車輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間 t1早有測(cè)算（反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái) 。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車順利穿過(guò)馬路，即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v。 DL例2 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長(zhǎng)度與重量均 為1，

5、其 重心在中點(diǎn)1/2磚長(zhǎng)處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第 n塊磚受到的兩個(gè)力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故Zn =1/(2n)，從而上面 n塊磚向右推出的總距離為 ，故磚塊向右可疊至 任意遠(yuǎn) ，這一結(jié)果多少有點(diǎn)出人意料。 例3 某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運(yùn)行，每隔 10分鐘A、B兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的 C點(diǎn)等車去B地，他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由 B去A的車，難道由 B去A的車次多些嗎？請(qǐng)你幫助他找一下原因AB發(fā)出車次顯然是一樣多的， 否則一處的車輛將會(huì)越積越多。 由于距離不同，考察一個(gè)

6、時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘的區(qū)間，例如，可以從A方向來(lái)的車駛離C站時(shí)開始，在其后的9分鐘內(nèi)到達(dá)的乘客見到先來(lái)的車均為 B開往A的，僅有最 后1分鐘到達(dá)的乘客才見到 由A來(lái)的車先到。由此可見，如果此人到C站等車的時(shí)間是隨機(jī)的，則他先遇上B方向來(lái)的車的概率為 90% 。1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計(jì) 預(yù)報(bào)與

7、決策 控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼案例1 數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)婚姻走向？ 你的婚姻是否會(huì)一直幸福？你會(huì)離婚嗎？美國(guó)科學(xué)家研究出的一個(gè)數(shù)學(xué)模型可能幫你回答這個(gè)問題。 2004-年在美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)上，兩位來(lái)自美國(guó)的婚姻研究者和應(yīng)用數(shù)學(xué)家向大家介紹了他們的這項(xiàng)研究。他們創(chuàng)造了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)哪些夫妻將不能白頭偕老。他們還表示，這套模型可以幫助夫妻克服那些可能使他們走上離婚之路的行為。 華盛頓大學(xué)心理學(xué)教授和人際關(guān)系研究所主任約翰戈特曼說(shuō)：“當(dāng)牛頓把數(shù)學(xué)方法引入科學(xué)，物理學(xué)才真正起飛，而心理學(xué)研究中，數(shù)學(xué)的方法往往被忽視?！?華盛頓大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授詹姆斯穆雷說(shuō)，我們

8、做的是提取婚姻中的關(guān)鍵因素到模型中，以使它具有解釋性和預(yù)測(cè)性，“雖然我們使用的數(shù)學(xué)方法非常普通，但是模型出奇地準(zhǔn)確”。 這個(gè)模型使用的數(shù)據(jù)來(lái)自戈特曼教授在他實(shí)驗(yàn)室里拍攝的數(shù)百位夫妻談話的錄影帶。生理學(xué)上的數(shù)據(jù)，例如談話停頓的時(shí)間，也被收集起來(lái)進(jìn)行分析。 因?yàn)閺慕徽勚心軌蝻@示出夫妻之間存在的根本性問題，這也是這個(gè)模型準(zhǔn)確性高的原因。模型的關(guān)鍵在于把夫妻談話過(guò)程中積極的和消極的相互影響的比例進(jìn)行量化，這個(gè)神奇的比例是51，如果比例小于它，婚姻就會(huì)遇到問題。研究者把它叫作婚姻談話的“道瓊斯工業(yè)指數(shù)”。截至目前，這套數(shù)學(xué)模型已經(jīng)對(duì)700多對(duì)夫婦的婚姻持久性進(jìn)行了檢驗(yàn)。這些夫婦最初登記結(jié)婚時(shí)，研究人員利

9、用這套數(shù)學(xué)模型判斷他們今后是否會(huì)離婚，判斷正確率高達(dá)94。這套數(shù)學(xué)模型不僅可以用來(lái)推測(cè)婚姻的持續(xù)性，還有助于夫妻雙方早日發(fā)現(xiàn)婚姻中存在的問題，改善婚姻質(zhì)量。案例2 男生怎樣才能追上女生？ 一、問題分析 男生追女生，對(duì)男生來(lái)說(shuō)最重要的是學(xué)習(xí)、愛情兩不誤。因此我們引進(jìn)男生的學(xué)業(yè)成績(jī)函數(shù) Y(t) 。 首先，我們不考慮男生的追求攻勢(shì)，則影響該函數(shù)的因素主要是兩個(gè)人的關(guān)系程度。為了便于分析，我們將兩人的關(guān)系簡(jiǎn)化為女生對(duì)該男生的疏遠(yuǎn)度，于是引入疏遠(yuǎn)度函數(shù) X(t) 。 問題就轉(zhuǎn)化為求解 Y(t) 和 X(t) 的相互作用關(guān)系。利用微分，很容易就可以求出兩者的關(guān)系。但現(xiàn)實(shí)中男生可能會(huì)對(duì)該女生發(fā)起一輪輪的追

10、求攻勢(shì)，因此還要考慮到追求攻勢(shì)對(duì)模型的影響。而追求攻勢(shì)又與女生的疏遠(yuǎn)度有關(guān)，可以簡(jiǎn)化地將兩者看成是正比關(guān)系。將追求攻勢(shì)加入到模型中，就可以找出攻勢(shì)與 Y(t) 和 X(t) 的關(guān)系了。 模型假設(shè) 1 、 t 時(shí)刻 A 君的學(xué)業(yè)成績(jī)?yōu)?Y(t) ； 2 、 t 時(shí)刻 B 女對(duì) A 君的疏遠(yuǎn)度為 X(t) ； 3 、當(dāng) A 君沒開始追求 B 女時(shí)， B 女對(duì) A 君的疏遠(yuǎn)度增長(zhǎng)（平時(shí)發(fā)現(xiàn)的 A 君的不良行為）符合 Malthus 模型，即 dX/dt=aX(t) 其中 a 為正常數(shù)。 4 、當(dāng) Y(t) 存在時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)減少 X(t) 的值與 X(t) 的值成正比，比例常數(shù)為 b ，從而 dX(

11、t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t) 。 5 、 A 君發(fā)起對(duì) B 女追求后，立即轉(zhuǎn)化為 B 女對(duì) A 君的好感，并設(shè)定轉(zhuǎn)化系數(shù)為 ，而隨著的 A 君發(fā)起對(duì) B 女的追求， A 君學(xué)業(yè)的自然下降率與學(xué)業(yè)成績(jī)成正比，比例系數(shù)為 e 。于是有 dY(t)/dt= bX(t)Y(t)-eY(t) 。 二、模型構(gòu)成 由假設(shè) 4 和5 ，就得到了學(xué)業(yè)與疏遠(yuǎn)度在無(wú)外界干擾的情況下互相作用的模型： dX(t)/dt=aX-bXY ； dY(t)/dt=cXY-eY， 其中 c= b. (1) 這是一個(gè)非線性自治系統(tǒng)，為了求兩個(gè)數(shù) X 與 Y 的變化規(guī)律，我們對(duì)它作定性分析。令 aX-bXY=0 ； c

12、XY-eY=0 解得系統(tǒng) (1) 的兩個(gè)平衡位置為： O(0,0) ， M (e/c,a/b) 。從 (1) 的兩方程中消去 dt ，分離變量可求得首次積分： F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2) 容易求出函數(shù) F(X,Y) 有唯一駐點(diǎn)為 M(e/c,a/b) 。再用極值的充分條件判斷條件可以判斷 M 是 F 的極小值點(diǎn)。同時(shí)易見，當(dāng) X （ B 女對(duì) A 君恨之入骨）或 Y （ A 君是一塊只會(huì)學(xué)習(xí)的木頭）時(shí)均有 F ；而 X 0 （ A 君作了變形手術(shù)， B 女對(duì)他毫無(wú)防備）或 Y 0 （ A 君不學(xué)無(wú)術(shù)，絲毫不學(xué)習(xí)）時(shí)也有 F 。由此不難看出，在第一象限內(nèi)部連續(xù)的函

13、數(shù) z=F(X,Y) 的圖形是以 M 為最小值點(diǎn)，且在第一卦限向上無(wú)限延伸的曲面，因而它與 z=k(k 0) 的交線在相平面 XOY 的投影 F(X,Y)=k (k 0) 是環(huán)繞點(diǎn) M 的閉曲線簇。這說(shuō)明學(xué)業(yè)成績(jī)和疏遠(yuǎn)度的指數(shù)成周期性變化。 三、 結(jié)果解釋 從生態(tài)意義上看這是容易理解的，當(dāng) A 君的學(xué)習(xí)成績(jī) Y(t) 下降時(shí)， B 女會(huì)疏遠(yuǎn) A 君，疏遠(yuǎn)度 X(t) 上升； 于是 A 君就又開始奮發(fā)圖強(qiáng)，學(xué)習(xí)成績(jī) Y(t) 又上升了。于是 B 女就又 和 A 君開始了來(lái)往，疏遠(yuǎn)度 X(t) 又下降了。與 B 女交往多了，當(dāng)然分散了學(xué)習(xí)時(shí)間， A 君的學(xué)習(xí)成績(jī) Y(t) 下降了。 然而我們可證明

14、，盡管閉軌線不同，但在其周期內(nèi)的 X 和 Y 的平均數(shù)量都分別是一常數(shù)，而且恰為平衡點(diǎn) M 的兩個(gè)坐標(biāo)。事實(shí)上，由 (1) 的第二個(gè)方程可得： dY/Ydt=cX- e, 兩端在一個(gè)周期時(shí)間 T 內(nèi)積分，得： (dy/Ydt)dt=c Xdt-dT (3) 注意到當(dāng) t 經(jīng)過(guò)一個(gè)周期 T 時(shí)，點(diǎn) (X,Y) 繞閉軌線運(yùn)行一圈又回到初始點(diǎn)，從而： (dY/Ydt)dt= dY/Y=0 。所以，由 (3) 式可得： ( Xdt)/T=e/c 。 同理，由 (1) 的第一個(gè)方程可得： ( Ydt)/T=a/b 。 模型優(yōu)化 考慮到追求攻勢(shì)對(duì)上述模型的影響。設(shè)追求攻勢(shì)與該時(shí)刻的疏遠(yuǎn)度成正比，比例系數(shù)為

15、 h ， h 反映了追求攻勢(shì)的作用力。在這種情況下，上述學(xué)業(yè)與疏遠(yuǎn)度的模型應(yīng)變?yōu)椋?dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY ； dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y (4) 將 (4) 式與 (1) 式比較，可見兩者形式完全相同，前者僅是把 (1) 中 X 與 Y 的系數(shù)分別換成了 a-h 與 e+h 。因此，對(duì) (4) 式有 x =( Xdt)/T=(e+h)/c ， y =( Ydt)/t=(a-h)/b (5) 利用 (5) 式我們可見：攻勢(shì)作用力 h 的增大使 X 增加， Y 減少。 結(jié)論 考試期間，由于功課繁忙，使得追求攻勢(shì)減少，即 h 減小，與平時(shí)相比

16、，將有利于學(xué)業(yè)成績(jī) Y 的增長(zhǎng)。這就是 Volterra 原理。 此原理對(duì)男生有著重要的指導(dǎo)意義：強(qiáng)大的愛情攻勢(shì)有時(shí)不一定能達(dá)到滿意的效果，反而不利于學(xué)業(yè)的成長(zhǎng)；有時(shí)通過(guò)慢慢接觸，慢慢了解，再加上適當(dāng)?shù)淖非笮袆?dòng)，女生的疏遠(yuǎn)度就會(huì)慢慢降低，學(xué)習(xí)成績(jī)也不會(huì)降低！ 1.3 數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎把四只腳的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而有人認(rèn)為只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了，對(duì)嗎？問題分析模型假設(shè)通常 三只腳著地放穩(wěn) 四只腳著地 四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面; 地面相對(duì)平坦，使

17、椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái) 椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對(duì)稱性xBADCODC B A 用(對(duì)角線與x軸的夾角)表示椅子位置 四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和 g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱性用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f() , g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意, f(), g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問題已知： f() , g()是連續(xù)函數(shù) ; 對(duì)任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0, f(0

18、)=g(/2), g(0)=f(/2).證明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線AC和BD互換。由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0.令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0.由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .因?yàn)閒() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵 考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和 f(), g()的確定1

19、.3.2 商人們?cè)鯓影踩^(guò)河問題(智力游戲) 3名商人 3名隨從隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們?cè)鯓硬拍馨踩^(guò)河?問題分析多步?jīng)Q策過(guò)程決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過(guò)河.河小船(至多2人)模型構(gòu)成xk第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過(guò)程的狀態(tài)S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態(tài)集合

20、uk第k次渡船上的商人數(shù)vk第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk , vk)決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達(dá) sn+1=(0,0).多步?jīng)Q策問題模型求解xy3322110 窮舉法 編程上機(jī) 圖解法狀態(tài)s=(x,y) 16個(gè)格點(diǎn) 10個(gè) 點(diǎn)允許決策 移動(dòng)1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方案評(píng)注和思考規(guī)格化方法,易于推廣考慮4名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態(tài)S=

21、(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.3 如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計(jì)算公式x(t) 時(shí)刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對(duì))增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)

22、今年人口 x0, 年增長(zhǎng)率 rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè) 不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律 不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(

23、t)S形曲線, x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù) r 或 r, xm 利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557, xm=392.1模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4 (百萬(wàn))模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic 模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通