小船過河 matlab實現(xiàn)講解

1、問題分析一只小船要渡過一條寬為d的河流，目標是起點A正對著的另一岸B點。已知 河水的流速v1與船在靜水中的速度v2之比為k。建立小船的航線模型，并求其解析解。設(shè)d=100m，v1=1m/s，v2=2m/s，用數(shù)值解法求渡河所需時間，任意時刻小 船的位置及航行曲線，作圖，并于解析解比較；若流速 v1=0，0.5，1.5，2(m/s),結(jié)果如何。這個問題涉及的主要變量有：船在靜水中的速度v2,河水的速度v1，v1與v2速 度之比為k，船的航行時間t，船在任意時刻的位置x，y。由于k未知，所以船 過河的具體航線有多種情況，但針對本題過河問題為了更好的解決問題，不妨做 以下假設(shè)：船的速度方向始終指向終

2、點B；船在航行的過程中任意時刻的總速度與航線相切。通過以上假設(shè)，小船過河問題就簡化為：速度求曲線軌跡問題，微分方程問題。建立數(shù)學模型建立直角坐標系，為方便起見，將B點設(shè)為坐標原點，河岸為x軸，垂直于河 岸方向為y軸，如圖所示。設(shè)在t時刻，小船的位置為(x,y),船頭指向與水平 方向的夾角為a。則此時水平方向的速度為 v1-v2*cos(a),豎直方向的速度為 v2*sin(a)。又由于水平方向的速度為dx/dt,豎直方向的速度為dy/dt。則可列出小 船航線的微分方程：dx/dt=v1-v2*cos(a)dy/dt v2*sin(a)又由于 cos(a)=x/sqrt(xA2+yA2),sin

3、(a)=-y/sqrt(xA2+yA2)0則微分方程為：dx/dt=v1-v2* x/sqrt(xA2+yA2)dy/dt=-v2* y/sqrt(xA2+yA2)初始條件為：x(0)=0,y(0)=-100;6以上就是小船航線的數(shù)學模型。求解模型的數(shù)學方法(解析解與數(shù)值解)解析解的得出，matlab算法的具體實現(xiàn)，以及解析解的圖形根據(jù)dx/dt=v1-v2* x/sqrt(xA2+yA2)dy/dt=-v2* y/sqrt(xA2+yA2)兩式相除得到 dy/dx=v2*y/(v1* sqrt(xA2+yA2)-v2)分離變量得到：dx/x=du/(-u*v1*sqrt(1+uA2)/(v1

4、*sqrt(1+uA2)-v2)其中u=y/x;然后利用微分方程得到x關(guān)于y的解析表達式：x=1/2*cA(-k)*yA(1-k)-1/2*cAk*yA(k+1)然后根據(jù)初始條件：x(0)=0,y(0)=-d,d=100;得到：c=-0.01.則小船航線的解析數(shù)學表達式為：x=1/2*(-0.01)A(-k)*yA(-k+1)-1/2*(-0.01)A(k)*yA(k+1).解析解的matlab程序：xiaochuan.mfunction x=xiaochuan(y) k=0.3;x=1/2*(-0.01).A(-k).*y.A(-k+1)-1/2.*(-0.01).A(k).*y.A(k+1

5、)； hangxing.my=0:-0.1:-100;for i=0:1:1000 x(:,i+1)=xiaochuan(-i/10);endplot(x,y);title(小船過河1)xlabel(x軸);ylabel(y軸); hangxing.m小船過河1 TOC o 1-5 h z -10 -20 -、-XI -40 -J-雪-50 -/ -60 -70 -80 -90 -10L! -11;-1-U.600.611.52-.2：633.5(2)數(shù)值解法的具體實現(xiàn)與matlab算法：根據(jù)此模型的微分方程：dx/dt=v1-v2* x/sqrt(xA2+yA2)dy/dt=-v2* y/s

6、qrt(xA2+yA2)并且初始條件：x(0)=0,y(0)=-d通過龍格一一庫塔方程求其數(shù)值解：由于該模型的參數(shù)為：河寬d，船在靜水中的速度v2,河水流速v1，船在任意 時刻的位置(x，y)，時間t，船在a點時t=0。則小船航線的微分方程的matlab 算法如下：xiaochuanl.m :function dx=xiaochuan1(t,x,v1,v2)s=(x(1)A2+x(2)A2)A0.5;%x(1),x(2)表示x,ydx=v1-v2*x(1)/s;-x(2)*v2/s; %以列向量的形式表示小船過河的微分方程在編寫運行程序時設(shè)定時間t的起終點和中間的等分點，終點時間根據(jù)船在靜水

7、中速度和水的流速設(shè)為150s，時間間隔為0.01s。Iv.mts=0:0.01:150;d=input（輸入河寬d=）;x0=0,-d;opt=odeset（reltol,1e-6,abstol,1e-9）;v1=input（輸入河水流速v1=）;v2=input（輸入船在靜水中速度v2=）;t,x=ode15s（xiaochuan1,ts,x0,opt,v1,v2）;t,xsubplot（1,2,1）,plot（t,x）,title（xt 圖）,gtext（t軸）,gtext（x軸）；grid;subplot（1,2,2）,plot（x（:,1）,x（:,2）,title（小船過河圖2）;g

8、text（x軸），gtext（y軸）；grid;（四）計算所得結(jié)果（1）當 v1=1m/s，v2=2m/s，d=100m 時 Iv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=1輸入船在靜水中速度v2=2t,x,y值如下：15.260012.6707-69.631315.270012.6771-69.611615.280012.6835-69.591915.290012.6899-69.572315.300012.6963-69.552666.57000.0970-0.000466.58000.0870-0.000366.59000.0770-0.000266.60000.0670-0.000266.6

9、1000.0570-0.000166.62000.0470-0.000166.63000.0370-0.000166.64000.0270-0.000066.65000.0170-0.000066.66000.0070-0.0000則當d=100m, v1=1m/s, v2=2m/s時t=66.64s時小船到達對岸b點，渡河所需時 間t=66.64s，小船任意時刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示(2) d=100m, v1=0, 0.5, 1.5, 2m/s;v2=2m/s 時所得結(jié)果當 d=100，v1=0，v2=2 時， Iv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=0輸入船在靜水

10、中速度v2=2t,x值如下：47.12000-5.760047.13000-5.740047.14000-5.720047.15000-5.700047.16000-5.680047.17000-5.660049.94000-0.120049.95000-0.100049.96000-0.080049.97000-0.060049.98000-0.040049.99000-0.020050.00000-0.0000此時由于t=100, v1=0, v2=2, t=100/2=50，小船過河時間t=50s,小船任意時刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合。當 d=1

11、00，v1=0.5，v2=2 時， lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=0.5輸入船在靜水中速度v2=2t,x 值如下:00 -100.00000.01000.0050-99.98000.02000.0100-99.96000.03000.0150-99.94000.04000.0200-99.92000.05000.0250-99.900053.26000.1071-0.028353.27000.0928-0.023353.28000.0783-0.018553.29000.0638-0.014153.30000.0493-0.009953.31000.0346-0.006253.320

12、00.0199-0.002953.33000.0050-0.0005小船過河圖2則根據(jù)t=53.33s時小船到達對岸，小船任意時刻的位置如xt圖所示，航線如 “小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合。當 d=100,v1=1.5,v2=2 時 lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=1.5輸入船在靜水中速度v2=2t,x值如下：62.250025.4391-7.250762.260025.4349-7.245262.270025.4307-7.239762.280025.4264-7.234262.290025.4222-7.228862.300025.4180-7.223362.310025

13、.4137-7.217862.320025.4095-7.2124111.57001.3581-0.0001111.58001.3531-0.0001111.59001.3481-0.0001111.60001.3431-0.0001111.61001.3381-0.0001111.62001.3331-0.0001111.63001.3281-0.0000111.64001.3231-0.0000111.65001.3181-0.0000111.66001.3131-0.0000此時由于d=100, v1=0, v2=1.5, t=111.63,小船任意時刻的位置如xt圖所示，航線如“小船過河圖2”所示，結(jié)果與解析解相符合當 d=100,v1=2,v2=2 時 lv輸入河寬d=100輸入河水流速v1=2輸入船在靜水中速度v2=2t,x 值如下:96.180049.9382-3.516196.190049.9383-3.514796.200049.9383-3.513396.210049.9384-3.511996.220049.9384-3.510596.230049.9385-3.509196.2400