論非平衡態(tài)統(tǒng)計物理基本方程

1、論非平衡態(tài)統(tǒng)計物理基本方程兼論非平衡熵演化方程和熵產生率公式100081)邢修三理論物理學家的雄心是要探獲單個基本方程去導出和預言多個次級方程和公式，以實現(xiàn)對自然規(guī)律的統(tǒng)一描述。1、引言（需要解決的問題）2、新的基本方程6N維相空間隨機速度型朗之萬方程3、BBGKYT散方程鏈4、流體力學方程5、非平衡熵演化方程6、熵產生率公式7、內部相互作用引起熵變化9、趨向平衡10、平衡態(tài)系綜熱力學退化和自組織進化的統(tǒng)一11、結論1、引言1.0需要解決的問題：A.為何經典力學、量子力學方程是可逆的而統(tǒng)計熱力學過程卻是不可逆的？是否兩種基本規(guī)律本質上有所不同？若是，兩者究竟有何差別？非平衡態(tài)統(tǒng)計物理是否有基本

2、方程？若有，它是什么形式？可否由它提供統(tǒng)一的（包括非平衡態(tài)和平衡態(tài)）理論框架？流體力學方程如何從微觀嚴格統(tǒng)一推導出?非平衡熵是否遵守什么演化方程？若是，它是什么形式？熵產生率即熵增加定律的微觀物理基礎是什么？可否由一個簡明公式描述之？孤立系統(tǒng)的熵是否永遠只增不減？自然界是否存在著抵抗熵增加定律的熵減少力量？若是，它的物理機理是什么？如何表述？熱力學退化和自組織進化可否統(tǒng)一？如何統(tǒng)一？H.趨向平衡過程是由什么機理引發(fā)完成的？如何定量描述？上述各問題可否從一個基本方程出發(fā)嚴格統(tǒng)一解答之？1.1理論物理主要領域都有基本方程經典力學：牛頓動力學方程mrR電動力學：麥克斯韋方程組EClH0量子力學：薛定

3、謂方程ihHt統(tǒng)計物理：劉維方程（?）一H,t基本方程有兩個共同特性A.基本性它們是本領域基本物理規(guī)律濃縮成的數(shù)學表述，是從實驗出發(fā)經過假設而得出的，不能從任何其他理論或方程推導出，也無法回答為何如此。B.主導性它們不需再增補任何基本假設，可推導出本領域幾乎全部有關定律、次級方程，研究解釋各類有關課題，甚至給出預言。基本方程是理論物理的靈魂、核心和框架。統(tǒng)計熱力學的基本特性（或基本規(guī)律）自然界所有實際統(tǒng)計熱力學過程都是有方向的或不可逆的（簡稱熱力學時間方向性或不可逆性）。這是熱力學第二定律的普遍表述，是自然界基本規(guī)律，不太可能還原成動力學規(guī)律或從它推導出。劉維方程作為基本方程是不完滿的A與6N

4、維相空間哈密頓方程等價，把劉維方程作為統(tǒng)計物理基本方程也是一種假設B時間反演對稱的，不反映不可逆性C.得不出嫡增加定律，無法計算非平衡熵D不能嚴格推導出流體力學方程若不增補任何假設，從可逆的微觀動力學方程不可能嚴格推導出不可逆的宏觀運動方程。與其在基本方程上再增補各種假設，不如一開始就把假設建立在基本方程上、使其能統(tǒng)一解決各種問題。2、新的基本方程一6N維相空間隨機速度型朗之萬方程根據(jù)基本方程應反映統(tǒng)計熱力學基本特性一時間方向性的思路，假定下述6N維相空間隨機速度型朗之萬方程為統(tǒng)計物理基本方程qiPipiHi(q,t)qi H其中i(qi,t)0i(qi，t)j(qj,t)2Dqqi(qi)q

5、iqj(tt)()哈密頓函數(shù)HH(X)H(qi,q2,q3N；Pi,P2,P3N)3N維坐標空間擴散矩陣r、r、DDrrDr；(qi)D(qJrrqIqjqiqiqiqjqiqjDqiqi=4）=4）D（r2）L&）為三維坐標空間的擴散矩陣，其矩陣元素DijDji有6個方程(1)所以叫隨機速度型朗之萬方程，是因與通常的隨機力型朗之萬方程不同，朗之萬方程中的隨機項不是隨機力，而是隨機速度。與方程(1)等價的系綜幾率密度(白)的演化方程為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 o Current Document rr-T於Xdq(D)2(占D)xa)1H,qq

6、(D)2(qD)(3)其中國(pH,q,H),rX/q5H6dH0(4)X&X&2(qrD)d(D)(5)或7H,D：(當D為常數(shù))(6)方程(3)叫劉維擴散方程。由方程(1)(3)可見：統(tǒng)計熱力學系統(tǒng)內，作用于粒子的力是確定性的，其速度卻具有確定性漂移和隨機性擴散二重性，表明了統(tǒng)計熱力學運動規(guī)律是由動力學規(guī)律和隨機性速度疊加而成的。隨機擴散運動則是時間方向性的微觀物理基礎。根據(jù)基本方程應反映統(tǒng)計熱力學基本特性時間方向性的思路，把方程(1)或(3)當成基本方程，僅是一個基本假設。但它卻表明了大量粒子群體宏觀運動的統(tǒng)計熱力學規(guī)律和單個粒子個體運動動力學規(guī)律本質上有所不同。實例：醉漢沿城市街道行走

7、模型。以下所有結果都由方程(1)或(3)嚴格推導出的，未增補任何其他假設。對時間的總變化率為D)rX(D )由隨機理論，得d(X&1rdtt(2q(q)q代入(3)式,得d(q)q(D)qq：(D)dt在非平衡態(tài)，0,系綜幾率密度不穩(wěn)定,將在相空間的坐標子空間擴散，直至二03、BBGKYT散方程鏈由劉維方程可導出BBGK。程鏈，同樣,由劉維擴散方程(6)亦可導出約化動力學方程鏈。將方程(6)中的擴散項Dq2變成約化項加于BBGKT散方程鏈就成。本文自此后設qD0,即D為常數(shù)。fs(Xi,X2,LXs，t)L(X,t)dXsiLdxrN為S1,2,Ln)個粒子的約化幾率密度,xi(qi,Pi)為

8、第i個粒子的廣義坐標和動量Hsfs( Ns sSS) i 1qi i,S 1)p fs 1(Xi, X2,L Xs 1, t) dXs 1其中ikSD i 1H2 r rqi fs( Xi, X2,LS r(Fii 1Xs, t)Sr .) qi ikk 1rPi(9)r Pim(|qi q)為粒子相互作用位r qi臺匕 目匕)Fi為外力1 r (F2r Pimrqir P2mrr(Rr r r ) rq2iqi qi q2Pir q2r r ) qiq2)r r 、P2 f2(Xi, X2, t)N (D( r -2 t mr r r qi qiq3)2 r qi(r r r )Piq2 q

9、2q3)q2)f2(Xit)r rFPfi(x,t)N一，r r r ,、jP2f3(Xi,X2,X3，t)dX3(10),、,，r r 、，r(q qqi)pf2(x,x,t)dxidq2fi(X,t)(ii)其中fi(X,t)fi(q,p,t)o方程(9)(i0)(ii)比BBGKYT散方程鏈多了擴散項，是時間反演不對稱的，可叫BBGKYT散方程鏈。方程(ii)可變?yōu)殚]合的動理學方程。對于稀薄氣體，f2(Xi，X2，t)fi(Xi，t)fi(X2，t),方程(ii)變?yōu)閞rrr2rrqFPf(q,p,t)Dqf(q,p,t)tm,rr,rrg(g)f(q,p,t)f(q,Pi,t)(i2)

10、f(q,p,t)f(q,pi,t)dpid這可稱為玻爾茲曼碰撞擴散方程，碰撞在動量空間，擴散在坐標空間。對于均勻系統(tǒng)，r_f(q,p,t)f(p,t)與坐標q無關，(12)式還原為玻爾茲曼方程，其平衡態(tài)解為Maxwell分布。或一開始就假設稀薄氣體中擴散項為4、流體力學方程如何從微觀嚴格導出流體力學方程？迄今未解決，現(xiàn)從方程(10)(11)推導出。從BBGKYT散方程鏈已推導出流體質量、動量和內能方程如下：tr(C)t(u)tC) 0r r(CC P )(UC Jq)其中 (q,t), C C(q,t)(13)(14)c (15)u u(q,t)為流體密度、速度、內能密度，P為壓力張量。將方程

11、(10)(11)右邊的擴散項化成流體項加于相應的方程(13)(14)(15),即得:(16)當C 0 , (16)式變流體質量演化方程(C)D2或叫質量漂移擴散方程。為-D2(17)此為擴散方程。當D0,(16)式還原為(13)式。流體動量演化方程(C)tCC P )2( C)(18)(C)Cv 2C (2v其中粘滯系數(shù)v D /。ln )D(19)C (19)運動粘滯系數(shù) 式是廣義Navier-Stokes方程(F=0),比通常NS方程多了擴散項(2vln)C。流體內能演化方程u /、rt (C )urD( C):(1rir2JP:CD2uqrT“C)(2Dln)(u)(20)r (C)Tr

12、Jq2 D r r T2T( C):( C)T引入局域溫度TT(q,t),-tCv與uCvT,得流體局域溫度演化方程(2Dln)(T)(21)其中Cv為單位質量的定容比熱，CvD為熱導張量。從方程(16)(18)(20)可見：在流體力學方程中，質量、動量和內能既存在流動(漂移)項，亦存在擴散項。質量擴散、粘滯性和熱傳導，都是不可逆的耗散過程。它們的共同起源則是粒子的隨機擴散運動(D0)5、非平衡嫡演化方程嫡是物理學中的基本概念和物理量，嫡變化指明宏觀系統(tǒng)的演化方向。從統(tǒng)計物理角度看，迄今只有描述總嫡的Boltzmann嫡公式，沒有什么描述非平衡嫡變化的方程和公式。非平衡嫡6N維非平衡嫡6N維相

13、空間的非平衡嫡可定義為rSG(t)k(X,t)ln(Xrt)dSgoo(X)SXdSgo(22)其中0和Sgo各為平衡態(tài)的系綜幾率密度和(6a)嫡。0滿足:H,0非平衡嫡密度SXk ln 0(23)或Sgrrk (X, t)ln (X, t)dSXdX(22a)非平衡嫡密度rrSXk(X,t)ln(X,t)(23a)本文采用(22)式，原因后面交待6維非平衡嫡6維相空間的非平衡嫡可定義為SB(t)kfi(X,t)lnfdXSboSvpdXSbofl0(x)(24)其中fi(x,t)和fi0(x)為單粒子的非平衡態(tài)和平衡態(tài)概率密度，各為單粒子的BBGKYT散方程(11)的非平衡態(tài)和平衡態(tài)的解。6

14、維相空間的非平衡嫡密度Svpkfi(x,t)lnf(25)f10(x)Sbo為平衡態(tài)的嫡。或Sbkfi&t)lnfi&t)dxSvpdx(24a)非平衡嫡密度Svpkfi(x,t)infi(x,t)(25a)5.2非平衡嫡演化方程非平衡嫡密度既然隨時空變化，是否也遵守什么演化方程？若是，它是什么形式？下面給出非平衡嫡密度非線性演化方程。6N維非平衡嫡(密度)演化方程將6N維相空間非平衡嫡(22)式兩邊對時間t求偏導數(shù)并利用劉維擴散方程(3a)(3b),得6N維非平衡嫡密度演化方程SXtD k(其中可展開成:r()&sx)d qsxqln )SxqSX2(26)sxSX02k2k2 06維和3維

15、非平衡嫡密度演化方程將6維相空間非平衡嫡密度(24)式兩邊度時間t求偏導數(shù)并利用單粒子的BBGKYT散方程(11),得3維非平衡嫡密度演化方程2(CSvJv)D2Svy(lnf1)SvpSvp2dp(27)f1f1f10q, SSvpdp ,f1可展開成：Spk 2k2f10對應的6維非平衡嫡密度演化方程為Spt( kf1rSpD 2Splnfi)SvpSvp2(28)其中rp/為單粒子的速度,JJpdp為相互/m作用位能引起的嫡流密度。注意：（26）式中q的q（&,占21&n）是N個向量，而（27）式中q&的q僅是一個向量。非平衡嫡演化方程（26）（27）（28）形式相同：非平衡嫡密度隨時間

16、的變化率是由其在空間的漂移、擴散和產生三者共同引起的。嫡產生、嫡擴散都是耗散性的，兩者都來自粒子的隨機擴散運動，反應了統(tǒng)計熱力學過程的不可逆性。由于此方程是非線性的、非閉合的，難以嚴格求解。6、嫡產生率公式嫡增加定律是宏觀世界一個基本定律。它表明，能量總趨向耗散，有序系統(tǒng)總趨向無序。嫡產生率即嫡增加定律的物理基礎是什么?它是由哪幾個物理量決定的？可否由一個簡明公式描述之？這是非平衡態(tài)統(tǒng)計物理中待解決的一個中心課題。根據(jù)方程（26）（28）右邊第三項，非平衡系統(tǒng)在6N維和6維相空間的嫡產生率各為PgkD(qln)2d0PbkDf(q1lnf)2dxif0r,rrr、一其中q(qi，q2，qN)，

17、p(Pl，P2，,Pn)，fto此一，或00ln00(31)現(xiàn)定義非平衡系統(tǒng)一個新的參量、即非平衡系統(tǒng)在6N維和6維相空間的系統(tǒng)幾率密度或微觀狀態(tài)數(shù)密度的離開平衡率(百分比)各為 TOC o 1-5 h z blnf,或bln(32)f0f0bob0e和8b可簡稱系統(tǒng)的離開平衡率(百分比)，定量地描述一個系統(tǒng)離開平衡態(tài)的遠近程度。將(31)(32)式各代入(29)(30)式，得FGkD(q)20(33)PbkD(qb)20(34)當系統(tǒng)內粒子間統(tǒng)計獨立、即.r.r.r.r(X,t)f(Xi,t)f(x2,t)Lf(xN，t)時,則FGNkD(&b)2NPb0(35)F(q)2d為系統(tǒng)離開平衡率

18、的空間梯度平方的平均值。（33）（34）式就是6N維和6維相空間的嫡產生率、即嫡增加定律的簡明統(tǒng)計公式。嫡產生率P等于擴散系數(shù)D離開平衡率的空間梯度平方的平均值（q）2與Boltzmann常數(shù)k三者之乘積，指明非平衡系統(tǒng)的宏觀嫡產生是由其微觀狀態(tài)數(shù)密度在空間隨機地不均勻離開平衡引起的。具有隨機擴散運動（D#0）且在空間非均勻離開平衡（q0）的非平衡態(tài)（0）物理系統(tǒng)，嫡總是在產生（P0）。系統(tǒng)或處于平衡態(tài)（,0）、或雖處于非平衡態(tài)但卻是空間均勻的（q。）、或只有確定性而無隨機性運動時，都無嫡產生（P=0）。非平衡態(tài)嫡產生率（例題）若略去兩個粒子間的相互作用，單粒子的動理學方程（11）就變?yōu)闃藴实?/p>

19、Fokker-Planck方程。A理想氣體絕熱自由膨脹開始時氣體限制在圓柱體左半部（q0）是空的。迅速抽去隔板后，氣體向右膨脹擴散。由解一維擴散方程，得氣體濃度C(q,t)C01erf(q2Dt)2(36)氣體的非平衡態(tài)幾率密度f(q,t)1 exp 尤 ,Dt 4Dt弛豫時間fo(q)l2L時，平衡態(tài)幾率密度D常數(shù)C0為開始時氣體在左半部的濃度。嫡產生率PbkDf(2dq qV0(39)嫡產生iSt0 PB dtk InV。Vo(40)嫡產生的時間變化率(41)為常數(shù)。 TOC o 1-5 h z Pb2kV)為左(或右)半部圓柱體積，Tt(Vot)2當系統(tǒng)達到平衡時，N個粒子的嫡產生iSN

20、Nkln0-Nkln2V0-Nkln2(42)VoVo這是平衡態(tài)熱力學中熟知的結果（41）式是本題的最小嫡產生定理的表達式。B、布朗運動（略）C固體變形和斷裂根據(jù)（33）（34）式，微觀狀態(tài)數(shù)密度非均勻離開平衡（q0）,是非平衡不可逆過程嫡產生的微觀基礎。由此可推論：不可逆過程系統(tǒng)內相應的微觀結構變化是不均勻的。固體彈性變形是可逆的、均勻的，嫡不增加。范性變形過程是不可逆的，嫡增加，其微觀結構變化不均勻，表現(xiàn)為形成滑移帶。斷裂過程是不可逆的，其微觀結構變化不均勻，表現(xiàn)為微裂紋成核、長大、傳播都不均勻。生物個體在衰老過程中，各器官組織衰老速度快慢不等。定態(tài)嫡產生率定態(tài)存在宏觀流，平衡態(tài)則無。A定

21、態(tài)公式（特殊）由一維Fokker-Planck方程，ftq）-0,得q幾率流JK（q）f（q）Dfq常數(shù)）（43）q平衡態(tài)J=0,幾率密度f0(q) n0 exD(q)(44)其中i q(q) K(q)dqD 0定態(tài)Jw0,幾率密度fst(q) nexp (q) JJexpn q exp q定態(tài)嫡產生率公式(q)：exp (q)dq(45)_ L _ b 2Pb kD fst(q)32dq kJ0q(L) lnfst(0)fst(L)(46)J流過的空間長度為0,L。定態(tài)嫡產生率Pb正比于其幾率流J,當J=0,PB=0。B、原子定向擴散原子系統(tǒng)受常外力F作用時，產生定向擴散，其過程可由FP方程

22、描述。原子定向擴散速度KV告(47)幾率密度fst(nVJ)exp(V)V(48)其中V JLD/VL、.exp() 1DFLkT定向擴散原子系統(tǒng)的嫡產生率PbkJFLkT,fst(L)八In0fst (0)(49)其中InfsdL!fst(0)InkTFL 1expexpkT LFLkTkT【exp縣1 L kT這兒=1.61;入=0.38當F=0或D=0,則J=0,故R=0。C分子馬達(略)上述計算雖都是一維的，公式(33)(34)實際上可用于計算2維、3維、6維和6N維空間的嫡產生率，差別僅是其實際計算更為復雜。7、內部相互作用引起嫡變化孤立系統(tǒng)的嫡是否永遠只增不減？生命和宇宙為何都能抵

23、抗嫡增加定律而涌現(xiàn)自組織結構？是否因受某種未知的系統(tǒng)固有的嫡減少力量支配的結果？若是，它的動力學機理是什么？數(shù)學表達式又是什么？為了研究嫡減少的起因，將6維相空間的非平衡嫡演化方程(28)改寫成S ptDkfirSp D 2Sp(ln fi)SvpSvp2方程(28a)等式右邊第四項 ( 作用位能 引發(fā)的嫡密度變化率。 公式為。 r R(t) ( )dx(28a)rJvp為相互對應的嫡變化Nk(q)(p1)1e(21)(50)此式就是內部相互作用力使非平衡系統(tǒng)宏觀嫡發(fā)生變化的統(tǒng)計表達式。它表明，非平衡系統(tǒng)的宏觀嫡變化率R(t)等于相互作用力q、離開平衡率的動量空間梯度p1和系統(tǒng)在12維和6維兩

24、個相空間離開平衡率之差1e(21);21三者之積的平均值再乘以N倍Boltzmann常數(shù)k?？梢宰C明，當內部粒子間的相互作用力是排斥力（q0）時，則R（t）0,系統(tǒng)的熵就增加；反之，當內部粒子間的相互作用力是吸引力（q0）時，則R（t）為(1lnfQf(53)當擴散時間t時，Pd0l2-D(l很大，圓柱半長度)iS極大，系統(tǒng)達到平衡態(tài)。(54)B、布朗運動非平衡態(tài)幾率密度-1/2f(q,t)a(t)expq其中a(t)am(12Damb(t)2/a(t)2t)aeb(t)bet平衡態(tài)幾率密度f0(q)(1/2am)expq2am(55)(56)式，嫡密度擴散率PdkDf2(qb(t)21am1

25、一amaqb(t)2a2(t)2(t)a(t)2qqb(t)ama(t)(1lnf)耳amam2D(58)Pd0,iS極大，系統(tǒng)達到平衡態(tài)。(55)(56)(57)由上二例知，趨向平衡的時間正比于系統(tǒng)的線性尺度的平方、反比于擴散系數(shù)。10.平衡態(tài)系綜平衡態(tài)統(tǒng)計物理應是非平衡態(tài)統(tǒng)計物理的一個與時間無關的特殊部分。在平衡態(tài)統(tǒng)計物理中，等幾率原理是其基本假設，它表明，孤立平衡態(tài)系統(tǒng)處于同一能量曲面上的每個微觀狀態(tài)的幾率是相等的。根據(jù)這個基本假設，得到了微正則系綜00(H)(59)其中系統(tǒng)的總能量H和微觀狀態(tài)數(shù)Q都是常數(shù)。(59)式是劉維方程在平衡態(tài)時7H,00(60)t的一個解。根據(jù)等幾率原理，孤立

26、系統(tǒng)在平衡態(tài)時，0r、,一是常數(shù)，與空間坐標q無關，故的擴散項D200?？梢娺@種情況下，劉維擴散方程(6a)q還原為方程(60)的形式。這表明，微正則系綜(59)亦是劉維擴散方程(6a)的一個平衡態(tài)解。有了微正則系綜，同樣可得到正則系綜和巨正則系綜。11、結論非平衡態(tài)統(tǒng)計物理作為一個獨立的主要理論物理學科,能否像理論物理其它主要分支領域一樣,以探尋完滿的基本方程為核心來建立起嚴格、統(tǒng)一、系統(tǒng)的理論？這個發(fā)展方向，看來應是肯定的。提出時間反演不對稱的6N維相空間反常朗之萬方程或其等價的劉維擴散方程作為統(tǒng)計物理基本方程，僅是一種基本假設，表明統(tǒng)計熱力學系統(tǒng)內的粒子運動規(guī)律是由動力學規(guī)律和隨機性速度二者疊加而成的，因而本質上有別于動力學規(guī)律。粒子的隨