高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 第一章 空間向量與立體幾何-復(fù)習(xí)小結(jié)(（含答案）)

1、第一章 空間向量與立體幾何-復(fù)習(xí)小結(jié)一、選擇題1（2020江西省高二期中）在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（ ）ABCD【答案】B【解析】在四面體中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，所以，即.故選：B.2. （2020南昌市八一中學(xué)高二期末（理）設(shè)，向量且，則（ ）ABC3D4【答案】D【解析】,故選C.3（2020延安市第一中學(xué)高二月考（理）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M（2，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F(xiàn)（2，2，1

2、），（2，0，1），（0，2，0），（0，1），設(shè)平面D1EF的法向量（x，y，z），則 ，取x1，得（1，0，2），點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為 ，選D4（2020浙江省杭州第二中學(xué)高二）空間線段，且，設(shè)與所成的角為，與面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）ABCD【答案】A【解析】因?yàn)榭臻g線段，所以可將其放在矩形中進(jìn)行研究，如圖，繪出一個(gè)矩形，并以點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?，所以可設(shè)，則，故與所成的角的余弦值，因?yàn)楦鶕?jù)矩形的性質(zhì)易知平面平面，平面，所以二面角的平面角為，所以即與面所成的角，故，因?yàn)?，所以，故選：A.5（多選題）（2019山東省青

3、島二中高二期末）在四面體中，以上說法正確的有（ ）A若，則可知B若Q為的重心，則C若，則D若四面體各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別為，的中點(diǎn)，則【答案】ABC【解析】對(duì)于， ，即，故正確；對(duì)于，若Q為的重心，則，即，故正確；對(duì)于，若，則，故正確； 對(duì)于，故錯(cuò)誤.故選：6.（多選題）（2020江蘇省高二期中）如圖，在菱形中，將沿對(duì)角線翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）A與平面所成的最大角為B存在某個(gè)位置，使得C當(dāng)二面角的大小為時(shí)，D存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為【答案】BC【解析】如圖所示：對(duì)A，取BD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OC，則當(dāng)時(shí)，與平面所成的最大角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，

4、取CD的中點(diǎn)N，可得所以平面PBN，所以，故B正確；對(duì)C，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以如果到平面的距離為，則平面PCD，則，所以，顯然不可能，故D錯(cuò)誤；故選：BC.二、填空題7（2019浙江省高二月考）在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上移動(dòng)，則直線與所成角的大小是_，若，則_【答案】； 1 【解析】長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又，點(diǎn)在棱上移動(dòng)則D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），設(shè)E（1，m，0），0m2，則=（1，m，1），=（1，0，1）

5、，=1+0+1=0，直線D1E與A1D所成角的大小是90=（1，m，1），=（1，2m，0），D1EEC，=1+m（2m）+0=0，解得m=1，AE=1故答案為900，18（2019湖北省高二期中（理）已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直.若點(diǎn)到平面的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為_.【答案】【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.，所以直線與平面所成的角的余弦值為.9（2020駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室高二期末（理）在正方體中，E，F(xiàn)分別為線段，AB

6、的中點(diǎn)，O為四棱錐的外接球的球心，點(diǎn)M，N分別是直線，EF上的動(dòng)點(diǎn)，記直線OC與MN所成的角為，則當(dāng)最小時(shí)，_.【答案】【解析】如圖，設(shè)分別為棱和的中點(diǎn)，則四棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以其外接球球心O為上、下底面三角形外心和連線的中點(diǎn)，由題意，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，所以最小是直線OC與平面所成角，即問題轉(zhuǎn)化為求直線OC與平面所成角的正切值，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，,因?yàn)闉榈妊切危酝饨訄A的直徑為,則，從而，如圖，以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所?10（2020攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中

7、（理）如圖，四棱錐中，是矩形，平面，四棱錐外接球的球心為，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).給出如下命題：直線與直線所成的角中最小的角為；與一定不垂直；三棱錐的體積為定值；的最小值為.其中正確命題的序號(hào)是_.（將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）【答案】【解析】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故直線與直線所成的角中最小的角為，正確；，當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤；將四棱錐放入對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體中，則球心為體對(duì)角線交點(diǎn)，正確；如圖所示：將平面以為軸旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)形成平面，則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，正確.故答案為：.三、解答題11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量解答以下問題：（1）證明：直線；（2）求異面直線AB與MD所成角的大??； （3）求點(diǎn)B到平面OCD的距離. 【解析】作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1) 設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得 (2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為 (3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值,由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為 12.（2020江蘇省高考真題）在三棱錐ABCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點(diǎn)，AO平面BCD，AO=2，E為