數(shù)形結(jié)合思想在初中教學(xué)中的應(yīng)用

1、PAGE 第 PAGE 6 頁 共 NUMPAGES 6 頁數(shù)形結(jié)合思想在初中教學(xué)中的應(yīng)用內(nèi)容摘要：數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)中很重要的一種思想方法，它主要是通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題。將數(shù)與形靈活地轉(zhuǎn)換，運用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想 初中數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用 “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)是數(shù)量關(guān)系的體現(xiàn)，形是空間形式的體現(xiàn)，兩者是對立統(tǒng)一的，我們在探討數(shù)量關(guān)系時常常借助于圖形直觀地去研究；而在研究圖形時，又常借助于圖形間隱含的數(shù)量關(guān)系去求解。即將數(shù)

2、與形靈活地轉(zhuǎn)換，運用彼此間的相互聯(lián)系和作用，去有效地探求問題的解答，我認為這就是數(shù)形結(jié)合的思想方法。華羅庚教授曾精彩地詮釋：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！庇纱丝梢?，數(shù)形結(jié)合的巧與妙，數(shù)形結(jié)合的思想方法能揚數(shù)之長，取形之優(yōu)，使得數(shù)量關(guān)系與空間形式珠聯(lián)壁合，相映生輝。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重滲透這一思想，引導(dǎo)學(xué)生要善于將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來分析問題，讓學(xué)生在不斷地感悟中開闊和發(fā)展思維，為有效地解決問題奠定良好的基礎(chǔ)一、實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系是數(shù)與形的最初碰撞數(shù)軸的引入為數(shù)與形的結(jié)合打開了一扇大門，它是實數(shù)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的有力證明?！皵?shù)”與“形”是對立統(tǒng)一

3、的，借助于數(shù)軸，可以把抽象的實數(shù)直觀地表示出來，達到“以形啟數(shù)”、“以數(shù)助形”的目的。例1、實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡 = 。分析：利用數(shù)軸的直觀性可知，結(jié)合實數(shù)絕對值的幾何意義易得，此題很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的直觀性與簡明性，同時也彰顯了了數(shù)軸的工具作用，充分體現(xiàn)了實數(shù)與數(shù)軸的完美結(jié)合。二、方程與數(shù)軸的有機結(jié)合是數(shù)與形的再次碰撞數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點的運動要結(jié)合圖形進行分析，點在數(shù)軸上運動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例2、已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x。若點P到點A、點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)；數(shù)軸

4、上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為5？若存在，請求出x的值。若不存在，請說明理由？當(dāng)點P以每分鐘一個單位長度的速度從O點向左運動時，點A以每分鐘5個單位長度向左運動，點B一每分鐘20個單位長度向左運動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P點到點A、點B的距離相等？分析：如圖，若點P到點A、點B的距離相等，P為AB的中點，BP=PA。依題意，3x=x（1），解得x=1由AB=4，若存在點P到點A、點B的距離之和為5，P不可能在線段AB上，只能在A點左側(cè)，或B點右側(cè)。P在點A左側(cè)，PA=1x，PB=3x依題意，（1x）+（3x）=5，解得 x=1.5P在點B右側(cè)，PA=x（1）=x+1，PB=x

5、3依題意，（x+1）+（x3）=5，解得 x=3.5點P、點A、點B同時向左運動，點B的運動速度最快，點P的運動速度最慢。故P點總位于A點右側(cè)，B可能追上并超過A。P到A、B的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運動t分鐘，此時P對應(yīng)的數(shù)為t，B對應(yīng)的數(shù)為320t，A對應(yīng)的數(shù)為15t。B未追上A時，PA=PA，則P為AB中點。B在P的右側(cè)，A在P的左側(cè)。PA=t（15t）=1+4t，PB=320t（t）=319t依題意有，1+4t=319t，解得 t=B追上A時，A、B重合，此時PA=PB。A、B表示同一個數(shù)。依題意有，15t=320t，解得 t=即運動或分鐘時，P到A、B的距離相等。方程與數(shù)軸的有

6、機結(jié)合數(shù)與形的再次碰撞，讓我們再次感受到數(shù)軸的優(yōu)越性。三、不等式（組）的解集蘊含數(shù)與形的結(jié)合例3、已知關(guān)于的不等式組的整數(shù)解只有3和4，求和的取值范圍分析：由，得；由，得因為原不等式組有解，所以其解集應(yīng)為又因為它只有3和4兩個整數(shù)解，所以借助如圖所示的數(shù)軸分析，可知只能在2和3之間取值，只能在4與5之間取值又由于解集中不含等號，所以的值可以取2，但不能取3，而的值可以取5，但不能取4，否則整數(shù)解就不是只有3和4了，所以，所以 2 5由此可見，利用數(shù)軸將不等式（組）的解集在數(shù)軸上直觀地表示出來，使學(xué)生形象地看到整數(shù)解的個數(shù)有多少個，數(shù)形結(jié)合更能深刻地反映不等式（組）解集的幾何意義。四、應(yīng)用題的解

7、答借助數(shù)與形的結(jié)合例4、甲、乙兩地相距23千米，A從甲地到乙地，在乙地停留20分鐘后，又從乙地回到甲地；B從乙地到甲地，在甲地停留30分鐘后，又從甲地返回到乙地，若A、B同時從甲、乙兩地出發(fā)，經(jīng)過5小時后，在他們各自返回的路上相遇，如果A的速度比B的速度快3千米/小時，求兩人的速度。分析：這是一道已知條件相對復(fù)雜的應(yīng)用題，將數(shù)與形結(jié)合起來，借助圖形進行分析，就會變得直觀、清楚多了。A、B所走的路程可用下圖表示：從圖中可清楚地看到，A、B兩人從出發(fā)到最后相遇正好共走完了甲、乙兩地間距離的3倍，即等量關(guān)系為：A走的路程 + B走的路程 =233。如果設(shè)B每小時走千米，則A每小時走千米，由于兩人途中

8、都停留了一段時間，A實際走小時，B實際走小時，由此就不難列出方程：，得出，由此可見，數(shù)與形的有機結(jié)合，確實能為解題帶來方便，它能使抽象的問題形象化、直觀化，復(fù)雜的問題簡單化，兩者之間的互助與聯(lián)通能開辟出解題捷徑，是一種有效的解題策略。五、函數(shù)詮釋數(shù)與形的完美結(jié)合例5、若方程 （0）的兩根滿足：1，13，求的取值范圍。分析：畫出與方程對應(yīng)的二次函數(shù) （0）的草圖： 由圖可知：當(dāng)=1時，0； 當(dāng)=3時，0.即 0 ； 0.解得：1.例6、若關(guān)于的不等式 的解只有一個，求的值。解：如圖：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，作出與的圖象。題設(shè)條件等價于拋物線在直線與之間的帶狀區(qū)域僅有一個交點，且拋物線開口向上。由圖形的直

9、觀性質(zhì)可知：這個交點只能在直線上，故方程組 僅有一組解。 即 對于含參方程（不等式），可將其與對應(yīng)的函數(shù)（圖象）聯(lián)系起來，運用數(shù)形結(jié)合思想，去揭示問題中所蘊含的幾何背景，往往能為解題提供清晰的思路。六、構(gòu)造幾何圖形求代數(shù)式的最值問題“以形助數(shù)”例7、已知、均為正數(shù)，且。求的最小值。在本題中由求解式子的特點可以聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形利用勾股定理進行處理。如圖作線段，在上截取，過點作,且使得,過點作,且使得。這種構(gòu)圖后可以得到兩個直角三角形，所以可以使用勾股定理得到,，所以本題中求解的問題實質(zhì)上就是求這兩個直角三角形的斜邊長之和最小。在圖形中延長至點，使得,連接 ，由三角形兩邊之和大于第三邊可知當(dāng)三點共線時，最短。所以最小值就是線段的長度。下面求解，延長至點，使得且，連接，此時構(gòu)出一個直角三角形即，在這個直角三角形中,所以的最小值為?？梢?挖掘代數(shù)式的幾何意義,數(shù)形結(jié)合起到了鬼斧神工的妙用。因此在教學(xué)中要有意識地去體現(xiàn)和解釋數(shù)學(xué)知識中抽象概念和形象事物之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生對概念的認識從感性上升到理性