20屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(提高版)-專題2.16-定積分與微積分(解析版)doc

1、定積分與微積分【套路秘笈 】-始于足下始于足下一定積分的觀點(diǎn) 1定積分的觀點(diǎn) 普通地，假如函數(shù)在區(qū)間上延續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間平分 紅個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作跟 式此中 為小區(qū)間長度，事先，上述跟 式有限瀕臨 某個(gè)常數(shù)，那個(gè) 常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.這里，與分不叫做積分下限與積分下限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2定積分的多少 何意思 從多少 何上看，假如在區(qū)間上函數(shù)延續(xù)且恒有，那么定積分表現(xiàn) 由直線，跟 曲線所圍成的曲邊梯形的面積.這確實(shí)是定積分的多少 何意思 .3定積分的性子 由定積分的界說 ,能夠 失掉定積分的如下性子 ：；此中 .

2、二微積分根本定理普通地，假如是區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)，同時(shí)，那么.那個(gè) 論斷 叫做微積分根本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式.為了便利 ，咱們 經(jīng)常把記成，即.【修煉套路】-為君聊賦昔日詩，盡力 請(qǐng)從昔日始考向一 應(yīng)用定積分的多少 何意思 求曲線的面積【例1】1定積分011-x2的值即是 。2曾經(jīng)明白fx是偶函數(shù)，且05fxdx=6，那么-55fxdx=_.(3) xdx= 。(4)cos xdx= 。【謎底 】14 212(3)0; (4)0【剖析 】1由y=1-x2得x2+y2=1x0,1，依照定積分的意思 可知，扇形的面積S=1412=4 即為所求.2fx是偶函數(shù)-55fxdx205fxdx又0

3、5fxdx6，-55fxdx12故謎底 為：12(3)如圖，xdxA1A10.(4)如圖，cos xdxA1A2A30.【套路總結(jié)】應(yīng)用定積分的多少 何意思 求解時(shí)，罕見的破 體圖形的外形是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的破 體圖形.2.對(duì)于 龐雜 圖形的面積求解，咱們 能夠 直截了當(dāng) 應(yīng)用 定積分的多少 何意思 ，如今，1斷定 積分上、下限，普通為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).2斷定 被積函數(shù)，普通是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差.如此 所求的面積咨詢 題就轉(zhuǎn)化為應(yīng)用 微積分根本定理盤算 定積分了.3.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上延續(xù)，那么假設(shè) 是偶函數(shù)，那么；假設(shè) 是奇函數(shù)，那么.【觸類旁通】1定積分-aaa2-

4、x2dx即是 ?！局i底 】12a2 【剖析 】由題意可知定積分表現(xiàn) 半徑為a的半個(gè)圓的面積，因而 S=12(a2)=12a2.2曾經(jīng)明白函數(shù)f(x)求f(x)在區(qū)間1,3上的定積分【謎底 】【剖析 】由定積分的多少 何意思 知：f(x)x5是奇函數(shù)，故x5dx0；0(如圖(1)所示)；xdx (1)(1) (如圖(2)所示)f(x)dxx5dxxdxxdx應(yīng)用定積分的多少 何意思 求，此中 .【謎底 】見地析【剖析 】.為奇函數(shù)，.應(yīng)用定積分的多少 何意思 ，如圖，故.考向二 微積分定理的應(yīng)用 【例2】盤算 以下定積分：1； 2；3； 4.【剖析 】1.2.3.4.【觸類旁通】1-101-2x

5、1-3x2dx=_【謎底 】-12【剖析 】-101-2x1-3x2dx=-10(1-3x2-2x+6x3)dx=x-x3-x2+32x4|-10=-122-11（1-x2+x）dx=_【謎底 】2【剖析 】由定積分的多少 何意思 知-111-x2dx表現(xiàn) 以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的二分之一，即-111-x2dx=2，-111-x2+xdx=-111-x2dx+-11xdx=2+x22-11=23-11（x2+1-x2)dx= _.【謎底 】23+2【剖析 】原式化為-11x2dx+-111-x2dx ，-11x2=13x3|-11=23，依照定積分的多少 何意思 可知，-111-x

6、2即是 以原點(diǎn)為圓心，以1 為半徑的圓面積的一半，即-111-x2=2，因而 -11(x2+1-x2)dx=23+2 ，故謎底 為23+2.413(x-1x2)dx= _【謎底 】103【剖析 】13x-1x2dx=12x2+1x|13=129+13-12+1=103，故謎底 為：103.考點(diǎn)三 積分在多少 何中的應(yīng)用 【例3】求由曲線與，所圍成的破 體圖形的面積畫出圖形.【謎底 】1【剖析 】畫出曲線與，那么以下列圖中的暗影局部即為所請(qǐng)求 的破 體圖形.解方程組，可得.故破 體圖形的面積為=1.因而 所求圖形的面積為1【套路總結(jié)】定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱悖?體圖形的面積總長短 負(fù)的.2假設(shè)

7、 圖形比擬龐雜 ，能夠 求出曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分不求出響應(yīng) 區(qū)間上破 體圖形的面積再求跟 ，留意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下.【觸類旁通】1由直線x=-6，x=6，y=0與曲線y=cosx 所圍成的封鎖圖形的面積為 ?！局i底 】1 【剖析 】標(biāo)題所求封鎖圖形的面積為定積分-66cosxdx=sinx|-66=sin6-sin-6=12+12=1.2如圖，求曲線所圍成圖形的面積.【剖析 】由解得.由解得.因而 所求暗影局部的面積為.3曲線yx與直線y2x1及x軸所圍成的封鎖圖形的面積為 ?！局i底 】512 【剖析 】由剖析 式作出如下列圖簡圖：由圖像可知封鎖圖形面積為曲線與

8、x軸圍成曲邊三角形OCB的面積與ABC的面積之差.聯(lián)破 兩函數(shù)剖析 式，求出交點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(1,1)，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)為：(1,0)，求出直線與x軸交點(diǎn)A坐標(biāo)為：(0.5,0)，那么曲邊三角形的面積為：SOCB=01x12dx=23，ABC的面積為：SABC=12121=14，因而 兩線與x軸圍成圖形的面積為：512.考向四 定積分在物理中的使用【例4】設(shè)有一長25 cm的彈簧，假設(shè) 加以100 N的力，那么彈簧伸長到30 cm，又曾經(jīng)明白彈簧伸長所需求的拉力與彈簧的伸長量成反比，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功.【謎底 】見地析【剖析 】設(shè)x表現(xiàn) 彈簧伸長的量(單元 ：m)，表現(xiàn)

9、 加在彈簧上的力(單元 ：N).由題意，得，且事先，即，解得，那么.故將彈簧由25 cm伸長到40 cm時(shí)所做的功為.【套路總結(jié)】1曾經(jīng)明白變速直線活動(dòng) 的方程，求在某段時(shí)辰 內(nèi)物體活動(dòng) 的位移或許通過的行程 ，確實(shí)是求速率 方程的定積分.2應(yīng)用定積分求變力做功的咨詢 題，要害 是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)聯(lián) ，斷定 好積分區(qū)間，失掉積分表白 式，再應(yīng)用微積分根本定理盤算 即可.【觸類旁通】1曾經(jīng)明白甲、乙兩車由統(tǒng)一 同點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身 ，并沿統(tǒng)一 道路(假設(shè) 為直線)行駛.甲車、乙車的速率 曲線分不為跟 (如下列圖).那么對(duì)于 圖中給定的t0跟 t1，以下推斷 中必定 準(zhǔn)確 的選項(xiàng)是A在t1時(shí)辰，

10、甲車在乙車前面 Bt1時(shí)辰后，甲車在乙車前面C在t0時(shí)辰，兩車的地位一樣 Dt0時(shí)辰后，乙車在甲車前面【謎底 】A 【剖析 】由圖可知，曲線，直線跟 t軸所圍成圖形的面積年夜 于曲線，直線跟 t軸所圍成圖形的面積，那么在t0時(shí)辰，甲車在乙車前面，故C過錯(cuò) ；同理，在t1時(shí)辰，甲車在乙車前面，故A準(zhǔn)確 ，D過錯(cuò) ；t1時(shí)辰后，甲車會(huì)搶先乙車一小段時(shí)辰 ，但從兩曲線的趨向可猜測(cè) 總會(huì)有某時(shí)辰乙車會(huì)超越甲車，故B過錯(cuò) .【應(yīng)用 套路】-紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行10121-x2dx= 。【謎底 】2 【剖析 】函數(shù)y=1-x2表現(xiàn) 單元 圓位于x軸上方的局部，聯(lián)合 定積分的多少 何意思 跟 定積

11、分的運(yùn)算法那么可得：0121-x2dx=2011-x2dx=21412=2.2假設(shè) 函數(shù)fx=Asinx-6A0,0的圖象如下列圖，那么圖中的暗影局部的面積為 ?！局i底 】2-34 【剖析 】由圖可知，A=1，T2=3-(-6)=2，即T=.=2，那么f(x)=sin(2x-6).圖中的暗影局部面積為S=-012sin(2x-6)dx=12cos(2x-6)120=12cos(6-6)-cos(-6)=12(1-32)=2-343從圖示中的長方形地區(qū) 內(nèi)任取一點(diǎn)M，那么點(diǎn)M取自圖中暗影局部的概率為 ?！局i底 】13 【剖析 】圖中暗影局部的面積為013x2dx=x3|01=1，長方形地區(qū) 的面

12、積為133，因而，點(diǎn)M取自圖中暗影局部的概率為134假設(shè) ，那么的巨細(xì) 關(guān)聯(lián) 為 ?！局i底 】 【剖析 】，因而 .5.曾經(jīng)明白函數(shù)為偶函數(shù)，且，那么_.【謎底 】16 【剖析 】因?yàn)?函數(shù)為偶函數(shù)，因而 .6.假設(shè) ，那么實(shí)數(shù)即是 _.【謎底 】-1 【剖析 】取，那么，因而 ，解得.7物體以的速率 在不斷線上活動(dòng) ，物體在直線上，且在物體的正后方5m處，同時(shí)以的速率 與同向活動(dòng) ，動(dòng)身 后物體追上物體所用時(shí)辰 為 【謎底 】5s 【剖析 】物體A通過ts行駛的行程 為，物體B通過ts行駛的行程 為，那么有，解得t=5.10.曾經(jīng)明白函數(shù)，那么 .【謎底 】 【剖析 】，此中 ，由定積分的多

13、少 何意思 可知，其表現(xiàn) 半徑為的圓的面積的，即，故.故填.11如圖，在邊長為1的正方形內(nèi)，暗影局部是由兩曲線圍成，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，且此點(diǎn)取自暗影局部的概率是，那么函數(shù)的值域?yàn)開.【謎底 】 【剖析 】設(shè)暗影局部的面積為S，那么，又正方形的面積為1，因而 .故，那么的值域?yàn)?12曾經(jīng)明白函數(shù)f(x)=cosx,x-2,01-x2,x(0,1，假設(shè) -21f(x)dx=_【謎底 】1+4【剖析 】由曾經(jīng)明白得-20cosxdx+011-x2dx=sinx|-20+4=1+4.13定積分e1(x-1-x2)dx的值為_.【謎底 】12-4【剖析 】01x-1-x2dx=01xdx-011-x

14、2dx，此中 011-x2dx的多少 何意思 為函數(shù)y=1-x2與直線x=0,x=1及x軸所圍成的圖形的面積，即圓x2+y2=1在第一象限的局部的面積，其值為4.而01xdx=12x2|01=1212-1202=12.因而 原式=12-4.故謎底 為：12-4.14曾經(jīng)明白界說 在R上的函數(shù)fx與gx，假設(shè) 函數(shù)fx為偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，且0afxdx=6，那么-aafx+2gxdx=_【謎底 】12.【剖析 】函數(shù)fx為偶函數(shù)，函數(shù)gx為奇函數(shù)，函數(shù)fx的圖象對(duì)于 y軸對(duì)稱，函數(shù)gx的圖象對(duì)于 原點(diǎn)對(duì)稱-aafxdx=20afxdx=12，-aagxdx=0，-aafx+2gxdx=-

15、aafxdx+2-aagxdx=1215曾經(jīng)明白212(k+1)dx4，那么實(shí)數(shù)k的取值范疇 是_【謎底 】1,3【剖析 】依題意得12k+1dx=k+1x|12=k+1，即2k+14，解得1k3.故k的取值范疇 是1,3.16-4416-x2dx+-22x3dx=_【謎底 】8【剖析 】因?yàn)?y=16-x2表現(xiàn) 圓心在原點(diǎn)，半徑為4的圓的上半局部，故-4416-x2dx =1242=8.-22x3dx =x44|-22=0.故原式=8.17盤算 由直線y=x-4,曲線y=2x以及x軸所圍圖形的面積S 為 ?！局i底 】403【剖析 】做出草圖如下， 解方程組y=2xy=x-4 ，失掉交點(diǎn)為8,4，直線y=x-4與x軸的交點(diǎn)為4,0，因而，由y=2x與y=x-4，以及x軸所求圖形面積為：042xdx+482x-x+4dx=22x04+22x-12x2+4x48=40318求-22(x2sinx+ex)dx的值 。【謎底 】e2-1e2【剖析 】y=x2sinx為奇函數(shù)，-22(x2sinx)dx=0-22(x2sinx+ex)