高中數(shù)學(xué)選擇性必修一 1.4 空間向量的運(yùn)用

1、1.4 空間向量的運(yùn)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用向量法判斷一些簡(jiǎn)單線線、線面、面面垂直關(guān)系.2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.3.能用向量方法證明空間線面垂直關(guān)系的有關(guān)定理4.理解直線與平面所成角的概念.5.能夠利用向量方法解決線線、線面、面面的夾角問(wèn)題.6.體會(huì)用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步曲必備知識(shí)平行垂直問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)平面，的法向量u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)線面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30(2)線面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3(3)面面平行：uvukva3ka4

2、，b3kb4，c3kc4(4)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面PAB；(2)求證：平面PAD平面PDC.證明以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以E，F(xiàn)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)因?yàn)?，所以，即EFAB.又AB平面PAB，EF平

3、面PAB，所以EF平面PAB.(2)因?yàn)?0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC.又APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以DC平面PAD.因?yàn)镈C平面PDC，所以平面PAD平面PDC. 使用空間向量方法證明線面平行時(shí)，既可以證明直線的方向向量和平面內(nèi)一條直線的方向向量平行，然后根據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進(jìn)行判定，也可以證明兩個(gè)平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且E

4、B11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.證明：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BAa，則A(a,0,0)，所以(a,0,0)，(0,2,2)，(0,2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(xiàn)(0,1,4)，則，(0,1,1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，因此B1D平面EGF.

5、結(jié)合(1)可知平面EGF平面ABD.利用空間向量求空間角基礎(chǔ)知識(shí)(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為，則cos |cosa，b|eq f(|ab|,|a|b|).(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為，則sin |cosn，a|eq f(|na|,|n|a|).(3)向量法求二面角：求出二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量n1，n2，若二面角l所成的角為銳角，則cos |cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|eq f(|n1n

6、2|,|n1|n2|).例1、如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0，0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因?yàn)閏os，所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0

7、且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個(gè)法向量取平面ABA1的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |eq blc|rc|(avs4alco1(f(n1n2,|n1|n2|)，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.(1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論(2)求空間角應(yīng)注意：兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.兩平面的法向量的夾角不一定是所

8、求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求例3、如圖，在四棱錐SABCD中，ABAD，ABCD，CD3AB3，平面SAD平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AEED，SEAD.(1)證明：平面SBE平面SEC；(2)若SE1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值【解析】(1)證明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SE平面SAD，SEAD，SE平面ABCD. BE平面ABCD，SEBE. ABAD，ABCD，CD3AB3，AEED，AEB30，CED60. BEC90，即BECE. 又SECEE，BE平面SEC. BE平面SBE，平面SBE平面SEC.(2)由(1)知，直線ES

9、，EB，EC兩兩垂直如圖，以E為原點(diǎn)，EB為x軸，EC為y軸，ES為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則E(0,0,0)，C(0,2，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以(0，2，0)，(2，2，0)，(0，2，1)設(shè)平面SBC的法向量為n(x，y，z)，則即令y1，得x，z2，則平面SBC的一個(gè)法向量為n(，1,2)設(shè)直線CE與平面SBC所成角的大小為，則sin |eq f(n,|n|)|，故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為.利用空間向量解決探索性問(wèn)題例1、如圖1，正ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如圖2)(1

10、)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求二面角EDFC的余弦值；(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)在ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點(diǎn)，得EFAB.又AB平面DEF，EF平面DEF，AB平面DEF.(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線DB，DC，DA分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2，0)，E(0，1)，F(xiàn)(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,0,2)平面CDF的法向量為(0,0,2)設(shè)平面EDF的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (a

11、vs4alco1(n0，, n0，)即取n(3，3)，cos，neq f(n,| |n|)，所以二面角EDFC的余弦值為.(3)存在設(shè)P(s，t,0)，有(s，t，2)，則t20，t，又(s2，t,0)，(s,2t,0)，(s2)(2t)st，st2. 把t代入上式得s，在線段BC上存在點(diǎn)P，使APDE. 此時(shí)，.1空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷.2解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問(wèn)題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法.

12、例2、.如圖所示，在直三棱柱ABCA1B 1C1中，ACB90，AA1BC2AC2.(1)若D為AA1中點(diǎn)，求證：平面B1CD平面B1C1D；(2)在AA1上是否存在一點(diǎn)D，使得二面角B1CDC1的大小為60？【解析】(1)證明：如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即(0,2,0)，(1,0,1)，(1,0,1)由(0,2,0)(1,0,1)0000，得，即C1B1CD.由(1,0,1)(1,0,1)1010，得，即DC1CD.又DC1C1B1C1，

13、CD平面B1C1D.又CD平面B1CD，平面B1CD平面B1C1D.(2)存在當(dāng)ADAA1時(shí)，二面角B1CDC1的大小為60.理由如下：設(shè)ADa，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的法向量為m(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(m0,m0)令z1，得m(a,1，1)又(0,2,0)為平面C1CD的一個(gè)法向量，則cos 60eq f(|m|,|m|)，解得a(負(fù)值舍去)，故ADAA1.在AA1上存在一點(diǎn)D滿足題意綜合訓(xùn)練一、單選題1（2020黑龍江省牡丹江一中高一月考）在正方體中，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，與垂直，則直線與直線AB所成角的正弦

14、值的最小值是（ ）ABCD【答案】B【解析】解法一：如圖，連接，易證得直線平面因?yàn)榕c垂直，且是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)又，所以直線與直線所成的角即連接，平面，平面，在直角三角形中，設(shè)，則，因此，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為解法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)榕c垂直，所以，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值；解法三：如圖，連接，易證得直線平面因?yàn)榕c垂直，且是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，于是，設(shè)，所

15、以，所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)取得最小值故選：B.2（2020江蘇省高二期末）若平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且，底面ABCD，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】A【解析】連交于，交于，連，則，底面ABCD，底面ABCD，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.3（2020邢臺(tái)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試）直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，E為BB的中點(diǎn)，異面直線CE與所成角的余弦值是（ ）ABC-D【答案】D【解析】直三棱柱中，為的中點(diǎn)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立

16、空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，2，0，0，2，0，設(shè)異面直線與所成角為，則異面直線與所成角的余弦值為故選：4（2020邢臺(tái)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試）在長(zhǎng)方體中，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）ABCD【答案】D【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,為平面的一個(gè)法向量直線與平面所成角的正弦值為.故選：D5（2020浙江省高三其他）如圖，三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，為線段的中點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，若平面與平面所成銳二面角的平面角為，則的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】底面與側(cè)面都是以為斜邊的等腰直角三角形，則，所以 設(shè)，由為

17、線段的中點(diǎn)，則，由，所以， 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，設(shè)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，令，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，解得，令，則， 所以，平面與平面所成銳二面角的平面角為，則，將分子、分母同除以，可得 令，當(dāng)時(shí)，則的最大值為：.故選：D6（2020廣西壯族自治區(qū)兩江中學(xué)高二月考（理）在正方體中，已知分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，設(shè)直線與所成角為，則.故選：B7（2020廣東省高三其他（文）已知直三棱柱，和的中點(diǎn)分別為、，則與夾角的余弦值為（ ）ABCD【答案】

18、B【解析】如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.故，故，.，即與夾角的余弦值為.故選：.8（2020綏德中學(xué)高三其他（理）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別為AA1、BC、C1D1的中點(diǎn)，現(xiàn)有下面三個(gè)結(jié)論：EFG為正三角形；異面直線A1G與C1F所成角為60；AC平面EFG.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）ABCD【答案】A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為：則，所以三角形是在三角形，正確.，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則，所以，錯(cuò)誤.，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以，由于，所以錯(cuò)誤.綜上所述，正確的命題序號(hào)為.故選：A二、填空題9（2020杭州市西湖高

19、級(jí)中學(xué)高二月考）正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與成角的大小為_【答案】【解析】如圖，且，側(cè)棱和底面垂直，且，異面直線與成角的大小為故答案為：10（2020上海高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，若，則異面直線與所成的角為_.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè),則,因?yàn)?所以,即有.因?yàn)?所以,即異面直線和所成角為.故答案為：.11（2020邢臺(tái)市第二中學(xué)高二開學(xué)考試）在正方體中，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，故，所以，設(shè)直線和直線所成角為，則，所以.

20、12（2020廣西壯族自治區(qū)兩江中學(xué)高二月考（理）已知正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱與底面所成角為60，M為PA中點(diǎn)，連接DM，則DM與平面PAC所成角的大小是_【答案】45【解析】設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為a，由已知可得正四棱錐的高為a，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則平面PAC的法向量為，D，P，M，所以，所以DM與平面PAC所成角為45.三、解答題13（2020湖北省高三其他（理）如圖所示，多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，該直四棱柱的底面為菱形，其中，(1)求的長(zhǎng)；(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值【答案】(1) ；(2)【解析】因?yàn)槎嗝骟w是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的，所

21、以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，連結(jié),交于，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以,所以的長(zhǎng)為.(2)根據(jù)題意可取平面的一個(gè)法向量為，由(1)知，設(shè)平面的法向量為，則由，得，即，令，則，所以，所以，所以平面與底面所成銳二面角的余弦值為.14（2020福建省福州第一中學(xué)高三其他（理）如圖，組合體由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐構(gòu)成，其中是圓錐底面圓心，是圓弧上一點(diǎn)，滿足是銳角，.（1）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作平面交于點(diǎn)，并寫出作圖步驟，但不要求證明；（2）在（1）中，若是中點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；連接；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).（2）若是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，又因?yàn)?，所以，所以，從?依題意，兩兩垂直，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，從而，設(shè)平面的法向量為，則即取，得.則，所以直線與平面所成角的正弦值為.15（