變分法第八章

1、變分法第八章第1頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二1 泛函的概念最速落徑問(wèn)題,如圖所示A、B兩點(diǎn)不在同一鉛垂線(xiàn)，也不在同一高度8.1泛函與泛函的極值A(chǔ)Bx(x,y,)我們知道，質(zhì)點(diǎn)下落速率與下落高度間的關(guān)系為一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下無(wú)磨擦沿某曲線(xiàn)從A滑到B，求下滑的最短時(shí)間?；蜓啬臈l曲線(xiàn)用時(shí)最短。所以第2頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二T稱(chēng)為y(x)的泛函y(x)可取的函數(shù)種類(lèi)，稱(chēng)泛函的定義域,泛函是函數(shù)的涵數(shù)（不指復(fù)合函數(shù)）一般地， C是函數(shù)的集合， B是實(shí)數(shù)（或復(fù)數(shù)）的集合，若對(duì)于C中的任一稱(chēng)元素y(x) ，在B中均有一元素J與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)J為y(x

2、) 的泛函是函數(shù)。記為與通常函數(shù)的定義不同，泛函的值決定于函數(shù)的取形。即如上例中，T的變化決定于 的變化，而非某一個(gè)自變量x的值進(jìn)而某一個(gè)函數(shù)y的值。而是決定于函數(shù)集合C中的函數(shù)關(guān)系，即決定于函數(shù)的取形。第3頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二通常，泛函多以積分形式出現(xiàn)，如稱(chēng)為泛函的核其中2 泛函的極值與變分在泛函的概念下，最速落徑問(wèn)題歸結(jié)為泛函的極值問(wèn)題，所謂變分法,就是求泛函的極值問(wèn)題。研究泛函極值問(wèn)題的方法歸為兩類(lèi)：直接法與間接法要討論間接法，先討論泛函的變分問(wèn)題。第4頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二設(shè)有連續(xù)函數(shù)即導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù),變分

3、微分運(yùn)算可交換次序。將其微小變形為其中t是一個(gè)小參數(shù)，稱(chēng)為 的變分，記為此時(shí)，函數(shù)相應(yīng)變形為第5頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二設(shè)對(duì)x, y, y二階可導(dǎo)，y連續(xù)中相對(duì)于y、y作Tayler展開(kāi)抵消t的0次項(xiàng)，保留t的1次項(xiàng)，略去t的高階項(xiàng)有變分dy 時(shí)，泛函J的變化為則函數(shù)可得第6頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二上式稱(chēng)泛函 J y（x）第一次變分，簡(jiǎn)稱(chēng)變分，記為3 泛函極值的必要條件歐拉方程設(shè)泛函 J y（x）的極值問(wèn)題有解，記為y = y(x)現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)此解y（x）滿(mǎn)足的常微分方程設(shè)y=y（x）有變分 ， 則可視為t 的函數(shù) 表示為 當(dāng)t=0

4、時(shí) 第7頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二亦即, F(t)函數(shù)取極值。即 取極值 這樣，就把原來(lái)的泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)變成F(t)這種普通函數(shù)的極值問(wèn)題。 令即將代入上式，得即第8頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二 泛函取極值的必要條件是其變分為0，或者說(shuō)，泛函J的極值函數(shù)y(x)必須是滿(mǎn)足泛函的變分dJ=0的函數(shù)類(lèi)所以泛函的極值問(wèn)題稱(chēng)為變分問(wèn)題在簡(jiǎn)單變分問(wèn)題中，端點(diǎn)是固定的同乘t 得即又因?yàn)椋ǚ植椒e分）第9頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二歐拉(Euler)方程，泛函有極值的必要條件。所以，得）單變量多函數(shù)的泛函以上為單變量單函數(shù)

5、泛函極值問(wèn)題的歐拉方程，較復(fù)雜的泛函歐拉方程可仿照上述方法導(dǎo)出。如與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相似，分別對(duì)多函數(shù)泛函之某一函數(shù)取變分，其余函數(shù)保持不變?？傻胕=1,2, n第10頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二）高階導(dǎo)數(shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為或?qū)懗桑┒嘣瘮?shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為第11頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二例1 最速落徑問(wèn)題，即求解變分問(wèn)題 代入得解：由于 歐拉方程變形為 不顯含x 第12頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二求出偏導(dǎo)數(shù)，有 通分并取平方取得 令代入上式擺線(xiàn)的參數(shù)方程常數(shù)c1 、c2由A、B位置決定第13頁(yè)

6、，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二4 泛函的條件極值問(wèn)題若變量函數(shù) y（x）受到附加條件的限制，則相應(yīng)的極值問(wèn)題，稱(chēng)為條件極值問(wèn)題。典型的也是最重的限制是用積分形式表示的,如即所謂等周問(wèn)題 均為常數(shù)，可仿照函數(shù)條件極值問(wèn)題的Lagrange乘子法，即 其中 第14頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二將附加條件乘以參數(shù),確定特解l，求其變分，有這是通過(guò)a和b兩點(diǎn)的y(x)在附加條件下,使泛函取極值的必要條件。則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的泛函變分問(wèn)題，相應(yīng)的歐拉方程為關(guān)于y(x)的二階常微分方程，一般含三個(gè)參數(shù)，即l和兩個(gè)積分常數(shù)，泛函取極值的必要條件。由來(lái)確定第15

7、頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二例2 求 的極值，其中y是歸一化的，即 得解：此泛函的條件極值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題 代入歐拉方程，有 這里且已知第16頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二的通解為代入歸一化條件，得所以而泛函的極值為使泛函取極小值 p2當(dāng)n=1時(shí)，泛函滿(mǎn)足條件第17頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二5 求泛函極值的直接方法(Ritz 方法)從泛函自身出發(fā)，不經(jīng)微分方程直接求出極值曲線(xiàn)，稱(chēng)為泛函極值問(wèn)題的直接方法。Ritz 方法典型的直接方法：要點(diǎn)是不將其放在它全部定義域來(lái)考慮，而是在定義域的某一部分來(lái)考慮。使J轉(zhuǎn)

8、化為 設(shè)某種完備的函數(shù)系 試償以其中的前幾項(xiàng)來(lái)表示變分問(wèn)題 dJ = 0 的解 其中 為待定系數(shù) 的n 元函數(shù)第18頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二所以按多元函數(shù)求極值的方法，令不過(guò)這樣得出的函數(shù)并非變分問(wèn)題dJ = 0的嚴(yán)格解 由于f的形式是我們預(yù)先選定的，比如即 由此解出 便確定出了函數(shù)y(x)而是近似解,記為yn(x)，嚴(yán)格解應(yīng)為 Ritz法中函數(shù)系ji的選取至關(guān)重要，如何選?。?第19頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二例3 用Ritz方法求例2。即求采用試探解項(xiàng)的選取是為了滿(mǎn)足解：以 作為選取的函數(shù)系 將其代入得下的變分問(wèn)題。在約束條件且已

9、知第20頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二由即結(jié)果是第21頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二把代入得顯而易見(jiàn)，在c1=0時(shí)，Jy(x)最小，最小值為10所以對(duì)比近似解，拋物線(xiàn)嚴(yán)格解，正弦曲線(xiàn) 且第22頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二1）把偏微分方程的本征值問(wèn)題或定解問(wèn)題，與泛函的極值問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，使原來(lái)的方程是泛函的歐拉方程；2）用直接方法求出泛函的極值函數(shù)，由于此函數(shù)一定滿(mǎn)足歐拉方程，所以，也一定滿(mǎn)足原方程，即一定是原方程的解。用變分法求數(shù)理方程的基本原理本節(jié)以Helmhotz方程的本征值問(wèn)題和Poisson方程的邊值問(wèn)題為

10、例，討論把上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為泛函極值問(wèn)題或變分法的基本方法，然后來(lái)求解極值問(wèn)題（用直接方法）。8.2用分法求解數(shù)理方程第23頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二（設(shè)u在區(qū)域t內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，l為參數(shù), s為t的邊界）取泛函令1 本征問(wèn)題與變分問(wèn)題的關(guān)系Helmhotz本征值問(wèn)題由第一格林公式則有或第24頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二其中對(duì)應(yīng)的歐拉方程為對(duì)于三元函數(shù)的泛函，其變分問(wèn)題為所以第25頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二即泛函中把代入歐拉方程，得歐拉方程變?yōu)闃O值問(wèn)題的歐拉方程就是Helmhotz方程在 邊界條件下本征值問(wèn)

11、題而且，此泛函變分問(wèn)題與泛函 在附加條件就是說(shuō)，Helmhotz方程的本征值問(wèn)題，可歸結(jié)為歸一條件下J1u的極值問(wèn)題。 下的變分問(wèn)題等價(jià)。第26頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二所對(duì)應(yīng)的泛函同樣為若為第二類(lèi)邊界條件 同樣亦有即本征值問(wèn)題若為第三類(lèi)邊界條件 類(lèi)似地有第27頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二則本征值問(wèn)題 記和邊界條件 下 的極值問(wèn)題可歸結(jié)為在附加條件 求泛函2 泛函極值與本征值問(wèn)題的關(guān)系仍以Helmhotz方程為例，先給出一重要結(jié)論：的最小值l0就是本征值問(wèn)題泛函的最小本征值,而使泛函J1u在邊界條件第28頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月2

12、0日，4點(diǎn)54分，星期二和附加條件u0就是該本征值問(wèn)題對(duì)應(yīng)本征值l0的本征函數(shù)。取得最小值的函數(shù)結(jié)論的證明：有最小值l0 的極值函數(shù)，則有設(shè)u0是使泛函由邊界條件知第29頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二的歐拉方程為 又，在附加條件下所以u(píng)0滿(mǎn)足 或代入J1u0,有u0是本征函數(shù)。再證明：即l0 是本征值，設(shè)l0是最小本征值。第30頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二相應(yīng)的本征函數(shù)為u1 則有這與是的最小值相矛盾結(jié)論得證。有次小值l1 的極值函數(shù)，類(lèi)似地還可證明，若設(shè)u1是使泛函且滿(mǎn)足邊界條件和附加條件除此之外，還同時(shí)滿(mǎn)足與u0正交的條件。即設(shè)第31頁(yè)

13、，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二相應(yīng)的本征函數(shù)為u1 滿(mǎn)足依此類(lèi)推，泛函取第i個(gè)極值的極值函數(shù)ui 滿(mǎn)足且滿(mǎn)足邊界條件和附加條件除此之外，還同時(shí)滿(mǎn)足正交條件即由此得到的泛函的次極小值就是本征值問(wèn)題的次極小值對(duì)于一系列本征值相應(yīng)的本征函數(shù)為第32頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二例 用變分法求邊界固定的圓膜橫振動(dòng)的本征振動(dòng)。 代入上式，得引入無(wú)量綱變量解：取平面極坐標(biāo)，定解問(wèn)題為 令 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng) 記得第33頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二這是一個(gè)二階常微分方程的本征值問(wèn)題，用變分法對(duì)于任意的二階常微分方程的本征值問(wèn)題，形如在歸一化

14、條件能夠證明，可轉(zhuǎn)化歸結(jié)為：及相應(yīng)邊界條件下求泛函的極值問(wèn)題第34頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二二方程對(duì)比在歸一化條件有下，求泛函的極值問(wèn)題所以方程的求解第35頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二采用直接方法（Ritz方法）求解 令 代入 歸一化條件和泛函，得（如此取形使x=0處不出現(xiàn)尖點(diǎn)）算出各積分，得I,J 兩個(gè)關(guān)于c1，c2的函數(shù)為第36頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二由Lagrange乘子法，取極值的條件為 其中:k=lb2c1 、c2 非零解存在的條件是：解出k的兩個(gè)解為， 第37頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二最小本征值為 因l=b2/k將其代入c的方程和歸一化條件解出本例的嚴(yán)格解可由分離變量法得出，結(jié)果為為最小本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)稱(chēng)為零階Bessel函數(shù)，稱(chēng)為零階Bessel函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)。第38頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二第一類(lèi)邊值問(wèn)題3 邊值問(wèn)題與變分問(wèn)題的關(guān)系以Poisson問(wèn)題為例來(lái)討論s為t的邊界取 對(duì)取變分，有第39頁(yè)，共42頁(yè)，2022年，5月20日，4點(diǎn)54分，星期二 但由泛函取極值的條件為，所以相應(yīng)的歐拉方程為（前式利用格林