四邊形的旋轉(zhuǎn)及翻折

1、- -一正三角形類型在正 ABC 中,P 為 ABC 一點(diǎn), 將 ABP 繞 A 點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60 0,使得 AB 與 AC 重合； 經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,將圖 1-1-a中的 PA、 PB、PC 三條線段集中于圖1-1-b中的一個(gè)PCP 中,此時(shí) PAP 也為正三角形；例 1. 如圖：1-1：設(shè) P 是等邊 ABC 的一點(diǎn), PA=3 , PB=4,PC=5, APB 的度數(shù)是 _.二正方形類型 在正方形 ABCD 中, P 為正方形 ABCD 一點(diǎn),將 ABP 繞 B 點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 0,使得 BA 與 BC 重合；經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化,將圖2-1-a中的 PA、PB、PC 三條線段集

2、中于圖2-1-b中的 CPP中,此時(shí) BPP為等腰 直角三角形；例 2.如圖 2-1：P 是正方形 ABCD 一點(diǎn),點(diǎn) P 到正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C 的距離分別為PA=1 ,PB=2,PC=3；求此正方形ABCD 面積； 8 - word.zl- - -三等腰直角三角形類型在等腰直角三角形ABC 中, C=Rt , P 為 ABC 一點(diǎn),將 APC 繞 C 點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 0,使得AC 與 BC 重合；經(jīng)過這樣旋轉(zhuǎn)變化,在圖3-1-b中的一個(gè) PCP 為等腰直角三角形；例 3如圖,在 ABC 中, ACB =90 0,BC=AC ,P 為 ABC 一點(diǎn),且 PA=3 ,PB=1 ,

3、PC=2；求 BPC 的度數(shù)；平移、 旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種根本變換；所謂幾何變換就是依據(jù)確定的法那么,對(duì)給定的圖形 或其一局部 施行某種位置變化,然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放,注重考察同學(xué)的推測(cè)、探究才能；便于與其它學(xué)問相聯(lián)系,解題敏捷多變,能夠考察同學(xué)分析問題和解決問題的才能在這一理念的引導(dǎo)下,近幾年中考加大了這方面的考察力度,特殊是 2022 年中考, 這一局部的分值比前兩年大幅度提高；- - word.zl- -為幫忙寬闊考生把握好平移,旋轉(zhuǎn)和翻折的特點(diǎn),奇妙利用平移,旋轉(zhuǎn)和翻折的學(xué)問來解決相關(guān)的問題,下面以近幾年中考題為例說明其解法,供大家參

4、考；一平移、旋轉(zhuǎn) 平移：在平面,將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)肯定的距離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移“ 肯定的方向稱為 平移方向,“ 肯定的距離稱為平移距離；平移特點(diǎn)：圖形平移時(shí),圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都一樣,平移距離都相等；旋轉(zhuǎn)：在平面,將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原先相等的圖形,這樣的圖形運(yùn)動(dòng) 叫做圖形的旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)特點(diǎn)：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí),圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等,都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角；例 1如圖,將 ABC 繞頂點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o后得到 AB C ,且C 為BC 的中點(diǎn),那么CD:DB =A1:2 B 1: C1: D1:3 點(diǎn)評(píng)：

5、 本例考察敏捷運(yùn)用旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)、等邊三角形的判定和含 30o角的直角三角形的性 質(zhì)的才能,解題的關(guān)鍵是發(fā)覺 AC C 是等邊三角形二、翻折翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某始終線翻折180o后所形成的新的圖形的變化；翻折特點(diǎn)：平面上的兩個(gè)圖形,將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過去,假如它能夠與另一個(gè)圖形重合,那 么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱,這條直線就是對(duì)稱軸；解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的,弄清翻折后不變的要素；翻折在三大圖形運(yùn)動(dòng)中是比擬重要的,考察得較多另外,從運(yùn)動(dòng)變化得圖形得特殊位置探究出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示,這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重

6、要的,值得大家留 意；例 2如圖,將矩形ABCD 沿 AE 折疊,假設(shè) BAD 30 ,那么 AED 等于- - word.zl- -A30B45C 60D 75點(diǎn)評(píng) ：本例考察敏捷運(yùn)用翻折前后兩個(gè)圖形是全等的性質(zhì)的才能,解題的關(guān)鍵是發(fā)覺EAD=EAD ,AED =AED 點(diǎn)評(píng) ：圖形沿某條線折疊,這條線就是對(duì)稱軸,利用軸對(duì)稱的性質(zhì)并借助方程的的學(xué)問就能較快得到計(jì) 算結(jié)果；由此看出, 近幾年中考, 重點(diǎn)突出, 試題貼近考生, 貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),圖形運(yùn)動(dòng)的思想圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動(dòng) 都一一考察到了 因此在平常抓住這三種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和根本解題思路來指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí),將是一種事半功倍的好方法；平

7、移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換,由于具有可操作性,因而是考察同學(xué)們動(dòng)手才能、觀看才能的好素 材,也就成了近幾年中考試題中頻繁顯現(xiàn)的容；題型多以填空題、運(yùn)算題出現(xiàn)；在解答此類問題時(shí),我們通 常將其轉(zhuǎn)換成全等求解；依據(jù)變換的特點(diǎn),找到對(duì)應(yīng)的全等形,通過線段、角的轉(zhuǎn)換到達(dá)求解的目的；例 1：如圖,直角梯形 ABCD 中, AD BC,ABBC,AD=2 ,BC=3,將腰 CD 以 D 為中心,逆時(shí)針旋 ADE 的面積是轉(zhuǎn) 90 至 ED ,連結(jié) AE、CE,那么- - word.zl- -A 1 B 2 C 3 D 不能確定點(diǎn)評(píng)：明確ADE 的邊 AD 上的高的概念不要誤寫成 DE ,作梯形高是常見的

8、解題方法之一；變式題 1：如圖,ABC 中 AB=AC , BAC =90 ,直角 EPF 的頂點(diǎn) P 是 BC 中點(diǎn),兩邊 PE,PF 分別交 AB、AC 于點(diǎn) E、F,給出以下五個(gè)結(jié)論：1AE=CF 2 APE= CPF3 EPF 是等腰直角三角形4EF=AP 5S 四邊形 AEPF =S ABC 2,當(dāng)EPF 在 ABC 繞頂點(diǎn) P 旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn) E 不與 A、B 重合上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有例 2 D 、E 為 AB 的中點(diǎn),將ABC 沿線段 DE 折疊,使點(diǎn) A 落在點(diǎn) F 處；假設(shè) B=50 ,那么 BDF= 點(diǎn)評(píng)：幾何變換沒有可套用的模式,關(guān)鍵是同學(xué)們要善于多角度、多層次、多側(cè)面地

9、摸索問題,觀看問題、分析問題；變式題 2：如圖,矩形紙片ABCD ,AB=2 , ADB=30 ,將它沿對(duì)角線BD 折疊使ABD 和 EBD 落在同一平面那么A、E 兩點(diǎn)間的距離為- word.zl- - -旋轉(zhuǎn)具有以下特點(diǎn)：1圖形中的每一點(diǎn)都圍著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；3對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；4圖形的外形和大小都不變；利用旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn),可奇妙解決許多數(shù)學(xué)問題,如 一.求線段長(zhǎng) .例：如圖,長(zhǎng)方形ABCD 的周長(zhǎng)為 20,AB=4 ,點(diǎn) E 在 BC 上,且AE EF,AE=EF ,求 CF 的長(zhǎng)；二.求角的大小例:如圖, 在等邊 ABC 中,點(diǎn) E、D 分別

10、為 AB、BC 上的兩點(diǎn), 且 BE=CD ,AD 與 CE 交于點(diǎn) M,求AME 的大??；三.進(jìn)展幾何推理例：如圖,點(diǎn)F 在正方形 ABCD 的邊 BC 上, AE 平分 DAF ,請(qǐng)說明 DE=AF-BF成立的理由；- - word.zl- -數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精華和重要的指導(dǎo)方法,在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛,一般可以歸結(jié)為兩 種思想對(duì)稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想,詳細(xì)的分析如下： 1 、對(duì)稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱這些概念中,對(duì)稱這一概念特別重要 .它包括軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中 心對(duì)稱 .對(duì)稱是一種種要的思想方法,在解題的應(yīng)用特別廣泛 . 例： 觀看圖中所給的圖案,它可以看成由哪個(gè)較根本

11、的圖形經(jīng)過哪些運(yùn)動(dòng)變換產(chǎn)生的？它是不是軸對(duì)稱圖 形？旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形？中心對(duì)稱圖形？分析：這是一個(gè)涉及軸對(duì)稱平移、旋轉(zhuǎn)的綜合性例子；解題思路主要通過直觀觀看取得；這個(gè)圖案較根本的圖形是正方形,一個(gè)小正方形沿對(duì)角線方向平移一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)、兩個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)后得一正方形串,然后在串的軸線上找一點(diǎn)O 為旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)三個(gè)90 后得到題目中給出的圖案,整個(gè)過程如下圖；這個(gè)圖形是軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱.中心對(duì)稱圖形；方法探究 ：這里的較根本圖形也可以看成線段；一線段經(jīng)平移、旋轉(zhuǎn)后得一正方形,然后重復(fù)上面的過程；2、旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種根本變換,通過圖形旋轉(zhuǎn)變換,從而將一些簡(jiǎn)潔的平面圖形按要求旋 轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢?

12、使問題獲得簡(jiǎn)潔的解決,它是一種要的解題方法；例：如圖,正方形 ABCD 一點(diǎn) P,PAD PDA15 ,連結(jié) PB、PC,請(qǐng)問： PBC 是等邊三角形嗎？為 什么？- - word.zl- -1如圖,ABC 是等腰直角三角形,BC 為斜邊,將ABP 繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,能與ACP 重合,假如AP=3 ,懇求出 PP 的長(zhǎng)A PP2如圖,在ABC 中, BAC=120 ,以 BC 為邊向形外作等邊三角形BCBCD , ABD 繞點(diǎn) D 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60 后得到ECD ,假設(shè) AB=3 , AC=2 ,求 BAD 的度數(shù)與 AD 的長(zhǎng)AC- word.zl-E- - -3如圖,點(diǎn)O 是等

13、邊ABC 一點(diǎn), AOB=110 , BOC=將 BOC 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得 ADC ,連接 OD 1試說明：COD 是等邊三角形；SAPB202 cm,SCDQ30 cm2,那么 S 陰2當(dāng)=150 時(shí),試判定AOD 的外形,并說明理由；3探究：當(dāng)為多少度時(shí),AOD 是等腰三角形？4. 如圖在 ABCD 中, E、F 分別是 AD 、BC 邊上的任意兩點(diǎn),影 = ；- BAFEQDPC- word.zl- -5.如圖,在 ABCD 中, E、F 是對(duì)角線 BD 上的兩點(diǎn), BEDF,點(diǎn) G、H 分別在 BA 和 DC 的延長(zhǎng)線上,且 AGCH,連接 GE、EH 、HF、FG求證

14、：四邊形GEHF 是平行四邊形EF 并延長(zhǎng),分別與BA、6.如圖,在四邊形ABCD 中, AB=CD ,點(diǎn) E、F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn),連接CD 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M、N,那 么 BME=E 不 需 證 明 小明的思路是：在圖 1 中,連接 BD,取 BD 的中點(diǎn) H,連接 HE、HF,依據(jù)三角形中位線定理,證明HE=HF ,從而1= 2,再利用平行線性質(zhì),可證得BME= E 1：如圖 2,在四邊形 ADBC 中,AB 與 CD 相交于點(diǎn) O,AB=CD ,E、F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn),連接 EF ,分別交 DC 、AB 于點(diǎn) M、N,判定OMN的外形,請(qǐng)直接寫出結(jié)論； 2：如圖

15、3,在ABC中, ACAB, D 點(diǎn)在 AC 上, AB=CD ,E、 F 分別是 BC、AD 的中點(diǎn),連接EF 并 延 長(zhǎng) , 與 BA 的 延 長(zhǎng) 線 交 于 點(diǎn) G , 假 設(shè) EFC=60, 連 接 GD , 判 斷 AGD 的 形 狀 并 證- - word.zl- -明7.如圖,在 ABC 中, AB=AC ,AD 是 ABC 的角平分線,點(diǎn)O 位 AB 的中點(diǎn),連接DO 并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,使OE=OD ,連接 AE、 BE 1求證：四邊形AEBD 是矩形；AEBD 是正方形,并說明理由- word.zl-2當(dāng)ABC滿意什么條件時(shí),矩形- - -8. 如圖,平行四邊形ABCD 中, A

16、BAC ,AB1,BC5對(duì)角線 AC,BD相交于點(diǎn) O ,將直線AC 繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn),分別交 BC,AD 于點(diǎn) E,F1證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 90 時(shí),四邊形 ABEF 是平行四邊形；2試說明在旋轉(zhuǎn)過程中,線段 AF 與 EC 總保持相等；3在旋轉(zhuǎn)過程中, 四邊形 BEDF 可能是菱形嗎？假如不能,請(qǐng)說明理由； 假如能,說明理由并求出此時(shí) AC繞點(diǎn) O 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)A F D O B E C BD；9.在 ABC 中, AB=AC ,BAC= 0 60 ,將線段 BC 繞點(diǎn) B 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60 得到線段- - word.zl- -1如圖 1,直接寫出ABD的大小用含 的式子表示 ；2如圖 2, BCE=150