單向方差分析

1、單向方差分析第1頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二一、問題的提出先看一個例子：某醫(yī)生為研究一種降糖藥的療效，以統(tǒng)一的納入標(biāo)準和排除標(biāo)準選擇了39名II型糖尿病患者，隨機將其分為兩組進行雙盲臨床試驗。其中試驗組19人，對照組20人，對照組服用公認的降糖藥物。治療4周后測得其餐后2小時血糖的下降值(mmol/L)，結(jié)果如表1。問治療4周后餐后2小時血糖下降值的兩組總體水平是否不同？第2頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二表1 II型糖尿病患者治療4周后餐后2小時血糖的下降值(mmol/L) 試驗組對照組 0.612.45.70.912.87.04.13.9

2、 4.39.46.43.87.07.55.48.43.112.26.0第3頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二顯然，當(dāng)兩個樣本來自正態(tài)總體，且兩個總體方差相等時，我們可用兩樣本均數(shù)比較的t-檢驗來解決這個問題。其檢驗假設(shè)：為其檢驗統(tǒng)計量為：其中：第4頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二但在實際工作中，常常會遇到兩個以上的樣本均數(shù)的比較，如將上述問題改為：某醫(yī)生為研究一種降糖藥的療效，以統(tǒng)一的納入標(biāo)準和排除標(biāo)準選擇了60名II型糖尿病患者，隨機將其分為三組進行雙盲臨床試驗。其中高劑量組21人，低劑量組19人，對照組20人，對照組服用公認的降糖藥物。治療4周

3、后測得其餐后2小時血糖的下降值(mmol/L)，結(jié)果如表2。問治療4周后餐后2小時血糖下降值的三組總體水平是否不同？第5頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二表2II型糖尿病患者治療4周后餐后2小時血糖的下降值(mmol/L) 高劑量組低劑量組對照組5.6 0.6 12.49.5 5.7 0.96.0 12.8 7.08.7 4.1 3.9 4.9 4.3 9.48.1 6.4 3.83.8 7.0 7.56.1 5.4 8.413.2 3.1 12.216.5 6.0 9.2第6頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二如何解決這個問題呢？這里，先介紹幾個概念

4、：要考察的指標(biāo)稱為試驗指標(biāo)-本例即血糖的下降值；影響試驗指標(biāo)的條件稱為因素（處理因素）-本例即藥物；因素所處的狀態(tài)稱為該因素的水平-本例藥物有3個不同的水平(三個不同的處理組)。在一項試驗中，如果影響試驗指標(biāo)的因素只有一個，則稱該試驗為單因素試驗(本例)；如果影響試驗指標(biāo)的因素有多個，則稱該試驗為多因素試驗。第7頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二我們在因素(藥物)所處的每一水平下進行了獨立試驗，其結(jié)果是一隨機變量。如果將因素的每一水平分別視為一個總體，各總體的均值分別為，則表中數(shù)據(jù)可視為來自三個不同總體的樣本值。如果三個總體都服從正態(tài)分布，且三個總體方差都相等（方差齊性）

5、，則本例的問題即為如下的檢驗假設(shè)問題：下面，我們把這個問題推廣到更一般的情形。第8頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二一般地，對于單因素試驗，假設(shè)因素A有s個水平：A1，A2，As。在水平Aj(j=1,2,s)進行nj次獨立試驗，得到如下的試驗結(jié)果：水平A1A2As樣本觀測值樣本總和T1T2Ts樣本均值總體均值表3單因素方差分析的資料格式第9頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二 假定各水平Aj均為正態(tài)總體 ， j =1,2,s， 且各水平下的樣本之間相互獨立 . 在這個假定之下，方差分析的任務(wù)就是要檢驗如 下的假設(shè)：其備擇假設(shè)為：如何來檢驗這個假設(shè)呢？英

6、國統(tǒng)計學(xué)家從方差構(gòu)成的角度對這個問題進行了探討，并于1923年首次給出了如下的平方和分解定理。H0:1=2 = =s H1:1 ，2 ，s 不全相等第10頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二二、Fisher的平方和分解考慮總平方和 (total sum of squares)其中：是所有樣本觀測值的總平均；SS總又稱為總變差，它反映了全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異。記水平Aj下的樣本均值為第11頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二對總平方和SS總可作如下的分解：注意到于是總平方和SS總可分解為 第12頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二其中：

7、中的各項表示在水平Aj下，樣本觀測值與樣本均值之間的差異，這種差異是由抽樣所引起的，故SS組內(nèi) (Error sum of squares)稱為組內(nèi)離差平方和(又稱為誤差平方和)，且可以證明： SS組內(nèi)的自由度為ns。中的各項表示水平Aj下的樣本均值與全部觀測數(shù)據(jù)的總平均值之間的差異，這種差異是由水平Aj及隨機誤差所引起的，故稱SS組間 (Model sum of squares)為組間平方和，且可以證明： SS組間的自由度為s1。而第13頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二于是，F(xiàn)isher構(gòu)造了如下的統(tǒng)計量：并證明了這個F 統(tǒng)計量服從自由度為(s1，ns)的F 分布。由

8、于分子MS組間是由各水平組不同所引起的差異及隨機誤差所構(gòu)成的，而分母MS組內(nèi)僅由隨機誤差所構(gòu)成，故當(dāng)F 1，可以認為各水平組之間的差異不存在，即推斷H0成立；F1，則認為各水平組之間存在差異，即推斷H0不成立。注意：F 值非負。 其中： MS組間 SS組間/(s1)稱為組間均方(Model Mean Square)， MS組間 SS組內(nèi)/(ns)稱為組內(nèi)均方(Error Mean Square)。第14頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二 對于事先給定的檢驗水準若，則p ，拒絕H0若，則p ，不拒絕H0至于F 值究竟要大到何種程度才能拒絕原假設(shè)，可由F分布的臨界值來確定。通

9、?？梢酝ㄟ^查F 分布的界值表來決定。第15頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二三、方差分析的步驟1.建立檢驗假設(shè)，確定檢驗水準；2.按照表3的格式，整理并計算出相應(yīng)的統(tǒng)計量；3.計算出各平方和、自由度及相應(yīng)的均方；單因素試驗方差分析表方差來源平方和自由度均方F 值組間SS組間s1MS組間組內(nèi)SS組內(nèi)nsMS組內(nèi)總SS總n15.查F 界值表，確定 p 值，并作出統(tǒng)計學(xué)推斷。4.列出如下形式的方差分析表：H0:1=2 = =s H1:1 ，2 ，s 不全相等第16頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二在方差分析的計算中，上述第2、3步計算量較大，在實際應(yīng)用中，

10、通常是利用統(tǒng)計分析軟件來完成的。下面我們通過一個實例，介紹在SAS（Statistics Analysis System)軟件中進行方差分析的方法。第17頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二四、實例 考慮本章開頭的例子。 首先提出檢驗假設(shè)： 并取 為了進行方差分析，我們調(diào)用SAS系統(tǒng)，并執(zhí)行 如下的計算程序：第18頁，共21頁，2022年，5月20日，2點16分，星期二Data fcfx;Input x ;If _n_=20 then g=1;If 20_n_=39 then g=2;If 39 F Model 2 176.764976 88.382488 5.54 0.0063 Error 57 909.871524 15.962658 Corrected Total 59 1086.636500上述結(jié)果即是一個方差分析表。由此可作出如下的統(tǒng)計推斷：由于p0.00630.05，于是按0.05的水準，拒絕H0，即認為II型糖尿病患者經(jīng)藥物（新藥和標(biāo)準藥