數(shù)字信號處理-鄭第六章

1、無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR） 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法通信與信息工程學(xué)院鄭文秀數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換方法內(nèi)容提要I 數(shù)字濾波器的基本概念0001w0-|H(ejw)|低通(LP)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|高通(HP)頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶通BP頻率響應(yīng)2-2w0-|H(ejw)|帶阻BS頻率響應(yīng)2-2 按功能分：LP、HP、BP、BS、全通濾波器 一、 數(shù)字濾波器的分類0101以LP為例按實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位抽樣響應(yīng)分：IIR濾波器（N階）FIR濾波器（N-1階）全極點(diǎn)系統(tǒng)或零、

2、極點(diǎn)系統(tǒng)全零點(diǎn)系統(tǒng)二、 數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)|H(ejw)|系統(tǒng)的幅頻特性：表示信號通過該濾波器后各頻率成分衰減情況。Q(w)系統(tǒng)的相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。0通帶截止頻率阻帶截止頻率過渡帶通帶阻帶 通帶容限 阻帶容限允許存在一定的誤差容限假定|H(ej0)|=1(已被歸一化)|H(ejc)|=0.707，則 =3 dB； 為3dB通帶截止頻率|H(ejs)|=0.001，則 =60 dB。 在具體技術(shù)指標(biāo)中往往使用通帶允許的最大衰減（波紋）和阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減描述，定義分別為： : 邊界頻率II 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程 1）按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求，制定技

3、術(shù)指標(biāo)； 2）用一個(gè)因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)，根據(jù)不同要求可以用IIR系統(tǒng)函數(shù)，也可以用FIR系統(tǒng)函數(shù)去逼近； 3）利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)(直接性、串聯(lián)型或并聯(lián)型等)、字長的選擇等。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法：1. 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器p , sp, sH(s)H(z)巴特沃思設(shè)計(jì)切比雪夫設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)不變雙線性變換法2. 直接設(shè)計(jì)法 零極點(diǎn)位置累試法 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法III 模擬低通濾波器設(shè)計(jì) 常用的模擬濾波器原型有: 巴特沃思（Butterworth）濾波器 切比雪夫（Chebyshev）濾波器 橢圓（Ellipse）濾波器 貝

4、塞爾（Bessel）濾波器 0一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)(模擬)指標(biāo)00.707邊界頻率3dB通帶截止頻率通帶最大衰減系數(shù)：如果 處幅度歸一化到1，即阻帶最小衰減系數(shù)：2、 逼近方法用頻率響應(yīng)的幅度平方函數(shù)逼近由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而Ha(j)滿足 穩(wěn)定的濾波器要求左半平面的極點(diǎn)一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點(diǎn)必屬于Ha(-s) ；將以虛軸為對稱軸的對稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸Ha(s) 。由|Ha(j)|2確定Ha(s)的方法： 由幅度平方函數(shù)得象限對稱的s平面函數(shù)|Ha(s)|2 ； 將Ha(s)Ha(-

5、s)因式分解，得到各自零極點(diǎn)； 對比Ha(j)和Ha(s)，確定增益常數(shù)； 由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得Ha(s)。|Ha(j)|2可采用的函數(shù)：Butterworth、Chebyshev、 Ellipse、Bessel二、 巴特沃思函數(shù)的低通逼近方法濾波器階數(shù)全極點(diǎn)系統(tǒng)k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上。 k=0,1, 2, , 2N-1 極點(diǎn):巴特沃思圓上選取濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s):k=0,1, 2, , N-1 歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化頻率歸一化復(fù)變量k=0,1, 2, , N-1 濾波器的設(shè)計(jì)步驟： （1）確定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo) ；

6、 （2）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù) N：取大于等于N的最小整數(shù)（3）求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)k=0,1, 2, , N-1 P157查表6.2.1（4）3dB截止帶寬的確定（5）去歸一化 通帶指標(biāo)剛好，阻帶指標(biāo)有富裕阻帶指標(biāo)剛好，通帶指標(biāo)有富裕P158 例6.2.1IV模擬高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計(jì)AF濾波器LP其他AF濾波器HP, BP, BS歸一化截止頻率歸一化拉氏變量p=jq=j歸一化傳輸函數(shù)G(p)H(q)各類模擬濾波器的設(shè)計(jì)過程圖 HPBPBS指標(biāo)LP指標(biāo)G(j)傳輸函數(shù)頻率變換設(shè)計(jì)頻率變換傳輸函數(shù)設(shè)：傳輸函數(shù)衰減系數(shù)0低通0高通高通濾波器設(shè)計(jì)0低通帶通濾波器設(shè)計(jì)帶通0：通帶帶寬

7、：中心頻率0低通帶阻濾波器設(shè)計(jì)：阻帶帶寬：中心頻率0帶阻V 模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換方法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法一、脈沖響應(yīng)不變法1. 變換原理 用數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足： Ha(s)H(z)全極點(diǎn)系統(tǒng)時(shí)域采樣極點(diǎn)映射：模數(shù)轉(zhuǎn)換過程中 系數(shù)不變：穩(wěn)定性不變：平面平面零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系。時(shí)域采樣離散化沿虛數(shù)軸延拓映射|jS/2-S/23S/2ImZReZ|脈沖響應(yīng)不變法僅適用于LP和BP濾波器2. 脈沖響應(yīng)不變法的改進(jìn)及運(yùn)算問題|數(shù)字濾波器可能具有太高的增益對

8、H（s）進(jìn)行因式分解：1或2階如果 具有共軛復(fù)數(shù)對極點(diǎn)如果 具有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)例 6-3 設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試?yán)妹}沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 解： 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 設(shè)T=1，則有 模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(j)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ej)分別為: P173 例6.3.1二、雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變法產(chǎn)生混疊的原因： jS/2-S/23S/2ImZReZ從S平面到平面是多值的映射關(guān)系1. 變換原理混疊失真克服方法：j1j1S/2-S/2ImZReZ第一步先將整個(gè)S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；(非線性頻率壓縮)第二步再通

9、過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系z=es1T將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。 將此關(guān)系解析延拓到整個(gè)S平面和S1平面，令j=S，j1=S1， 則得 為了將S平面的整個(gè)虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn) 當(dāng)1由-/T經(jīng)過0變化到/T時(shí)，由-經(jīng)過0變化到+， 也即映射了整個(gè)j軸。 S平面S1平面Z平面2. 模擬濾波器的數(shù)字化方法 雙線性變換法比起脈沖響應(yīng)不變法來，在設(shè)計(jì)和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，即 頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到 P178 例6.4.1及.2一階后向差分映射數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬高通、帶通、帶阻濾波器設(shè)計(jì)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換方法內(nèi)容提要利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的步驟: (1)確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s; (2)將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo); 如果采用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系分別為（若待設(shè)計(jì)的目標(biāo)濾波器不是低通的，則還要將該模擬技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化成