（文章）用勾股定解線路最短問題

1、 HYPERLINK HYPERLINK 彰顯數(shù)學(xué)魅力！演繹網(wǎng)站傳奇！學(xué)數(shù)學(xué) 用數(shù)學(xué)專頁報 第 PAGE 4 頁 共 NUMPAGES 4 頁 HYPERLINK 版權(quán)所有少智報數(shù)學(xué)專頁用勾股定解線路最短問題 勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個重要定理，它在現(xiàn)實世界中有著廣泛的應(yīng)用.利用勾股定理解決實際問題的基本思想是從實際問題中構(gòu)建直角三角形數(shù)學(xué)模型.下面介紹勾股定理在解決線路最短中的具體應(yīng)用.例1如圖1，一塊磚的寬AN=5cm，長DN=10cm，CD上的點B距地面的高BD=8cm，地面上的一只螞蟻想到B處吃食物，它爬行的最短路程是多少？ 圖1 圖2解析：本題以長方體位載體，問點A到點B

2、之間繞長方體的最短距離是多少，我們知道兩點之間線段最段，可此題不能穿過磚直接連接AB.為此，我們從實際問題中抽象出長方體，畫出長方體的表面展開圖，將相鄰的兩個面ANMF，NMCD展開成同一個平面，如圖2，此時連接AB交MN與點E，則ABD為直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB2=AD2+BD2，即AB2=152+82，所以AB=17，所以螞蟻爬行的最短路程是17cm.例2 如圖3是一塊長、寬、高分別是6cm,4cm和3cm的長方體木塊.一只螞蟻要從長方體木塊的一個頂點處，沿著長方體的表面到長方體上和相對的頂點處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（ ）. A（） B. C. D. 圖3解析：解決

3、本題仍需要將立體圖形展開得到平面圖形借助勾股定理解決.螞蟻爬行的路線可以分為3種情況：（1）經(jīng)過前面和右面或經(jīng)過左面和右面，這時，螞蟻爬行的最短線路是長為4+6=10（cm），寬為4cm的矩形對角線（圖4中的AB），由勾股定理得AB=cm；（2）經(jīng)過前面和上面或經(jīng)過下面和后面，這時螞蟻爬行的最短路線是長為4+3=7（cm），寬為4cm的矩形的對角線（圖5中的AB），由勾股定理得AB=（cm）；（3）經(jīng)過左面和上面或經(jīng)過下面和右面，這時螞蟻爬行的最短路線是長為4+3=7（cm），寬為6cm的矩形的對角線（圖6中的AB），由勾股定理得AB=（cm）.比較（1）、（2）、（3）的結(jié)果得到螞蟻爬行的最

4、短的路徑的長為cm.所以選（C）. 圖4 圖5 圖6例3 為籌備迎接新生晚會，同學(xué)們設(shè)計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖7，已知圓筒的高為108cm，其截面周長為36cm，如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)截剪多長油紙. 圖7 圖8解析：此題直接難以計算，可以將圓筒展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用勾股定理解決.如圖8，將圓筒展開后成為一個矩形，整個油紙也隨之分成相等的4段，只需求到AB的長即可解決問題.解：如圖4，在RtABC中，因為AC=36cm，BC=1084=27（cm），由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=362+272，所以AB=45，所以整個油紙的長為454=180（c

5、m）.例3我們古代數(shù)學(xué)中有這樣一道數(shù)學(xué)題：有一棵枯樹直立在地上，樹高2丈，粗3尺，有一根藤條從樹根處纏繞而上，纏繞7周到達(dá)樹頂，（如圖9）請問這根藤條有多長？（注：枯樹可以看成圓柱；樹粗3尺，指的是：圓柱底面周長為3尺，1丈=10尺）. 圖9 圖10解析：本題是一道古代數(shù)學(xué)題，由于樹可以近似看作圓柱，藤條繞樹纏繞，我們可以按圖10的方法，轉(zhuǎn)化為平面圖形來解決.如圖10，在RtABC中，由勾股定理得AB2=BC2+AC2，因為BC=20，AC=37=21，所以AB2=202+212=841，所以AB=29所以這根藤條有29尺.練習(xí):1.如圖11，正方體盒子的棱長為2，BC的中點為M，一只螞蟻從M

6、點沿正方體的表面爬到D1點，螞蟻爬行的最短距離是（ ）（A） （B）3 （C）5 （D） 圖112.如圖12，正方體的高為3，底面是正方形，邊長為2，現(xiàn)有繩子從A出發(fā)，沿長方體表面到達(dá)C處，問繩子最短是多少厘米？ 圖12 3.如圖13,有一個圓柱,它的高等于12cm,底面半徑等于3cm,在圓柱下底A點有一只螞蟻,它想吃到上底與A點相對的B點處的食物,需要爬行的最短路程是多少?(的值3). 圖134如圖14，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊結(jié)果，壁虎的