小學(xué)奧數(shù)小學(xué)五年級奧數(shù)講義之精講精練第38講最大最小問題含答案

1、第38講最大最小問題一、專題簡析: 在日常生活中，人們常常會遇到“路程最近”、“費用最省”、“面積最大”、 “損耗最少”等問題，這些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實現(xiàn)這些極端情形的問題, 最終都可以歸結(jié)成為：在一定范圍內(nèi)求最大值或最小值的問題，我們稱這些問 題為“最大最小問題”。解答最大最小問題通常要用下面的方法: 1、枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉 出再比較；2、著眼于極端情形，即充分運動已有知識和生活常識，一下子從“極端”情形 入手，縮短解題過程。二、精講精練例題1把1、2、3、16分別填進(jìn)圖中16個三角形里，使每邊上7個小三角形內(nèi)數(shù)的和相等。問這個和最大值是多

2、少?練習(xí)一 1、將5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使三角形每條邊上的和相等, 這個和最大是多少?2、把29分別填入下圖圓圈內(nèi)，使每個大圓上的五個數(shù)的和相等，并且最 大。例題2有8個西瓜，它們的重量分別是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？練習(xí)二1、一把鑰匙只能開一把鎖?，F(xiàn)有 9把鑰匙和9把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。最多要試開多少次才能配好全部鑰匙和鎖？2、如果四個人的平均年齡是25歲，其中沒有小于17歲的，且四人年齡都不相同。那么年齡最大的最多是幾歲？例題3 一次數(shù)學(xué)

3、考試滿分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不 相同，其中得分最少的同學(xué)僅得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？（分 數(shù)取整數(shù)）練習(xí)三1、一個三位數(shù)除以43,商a余數(shù)是b （a、b都是整數(shù)），求a+b的最大值2、如下圖，有兩條垂直相交的線段 AB CD交點為E。已知DE=2CE BE=3AE在AB和CD取3個點畫三角形，問：怎樣取三個點，畫出的三角形面積最大？D例題4 一個農(nóng)場里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運輸?，F(xiàn)由兩個小組分別承包這兩項工作，工時如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運輸），這兩組從開工到完工最少經(jīng)過多少小 時？大豆谷子高

4、梁小米割好、摑好73.55運完56過9練習(xí)四1、三個老師為7位不同的扮演者化妝，這7位同學(xué)化妝需要的時間分別為8、 12、14、17、18、23、30分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時間完成化妝任務(wù)？2、甲、乙、丙三位同學(xué)為7棵樹苗澆水，由于各棵樹路程的遠(yuǎn)近關(guān)系，需澆水 的時間分別為：4、5、6、6、8、9、9分鐘?，F(xiàn)三人各自同時開始，至少幾分鐘 全部澆完？例題5 A、B C是三個風(fēng)景點，從A出發(fā)經(jīng)過B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng) 過C到B要走16千米，從B經(jīng)過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個風(fēng) 景點？它們之間相距多少千米？練習(xí)五1.人民路兩側(cè)有三家大商店，從甲店經(jīng)過乙店到丙

5、店要走 300米，從乙店經(jīng)過 丙店到甲店要走350米，從丙店經(jīng)過甲店到乙店要走 250米。哪兩家店之間的 距離最近？相距多少米？2、在期中測試中，小華語文和數(shù)學(xué)平均成績是96分，數(shù)學(xué)和作文平均成績是88分，語文和作文平均成績是86分。求小華的這三門功課哪門得分最高，是多 少分？三、課后作業(yè):1、將19這九個自然數(shù)分別填進(jìn)九個小三角形中，使每 4個小三角形組成的三角形內(nèi)的4個數(shù)的和都等于20。2、五位同學(xué)捐款，他們捐的錢有 3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位同學(xué)捐款數(shù)各不相同，問：捐款最多的同學(xué)至少捐了多少元？3、一次考試滿分100分，5位同學(xué)平均分是90分，且各人得分是不

6、相同的整數(shù)。已知得分最少的人得了 75分，那么，第一名同學(xué)至少得了多少分？4、有五人來理發(fā)，按發(fā)型所用時間是 10、12、15、22和24分鐘。由兩位師傅同時為這五人理發(fā)，問怎樣安排，使五人理發(fā)和等候的時間總和最少，最少是多少分鐘？5、十個參賽者的平均得分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。那么第5個和第6個人的平均分是多少分？第38講最大最小問題專題簡析：在日常生活中，人們常常會遇到“路程最近”、“費用最省”、“面積最大”、“損耗最少”等問題，這 些尋求極端結(jié)果或討論怎樣實現(xiàn)這些極端情形的問題，最終都可以歸結(jié)成為：在一定范圍內(nèi)求最大值或最 小值的問題，我們稱這些問題為“

7、最大最小問題”。解答最大最小問題通常要用下面的方法：1,枚舉比較法。當(dāng)題中給定的范圍較小時，我們可以將可能出現(xiàn)的情形一一舉出再比較；2,著眼于極端情形，即充分運動已有知識和生活常識，一下子從“極端”情形入手，縮短解題過程。例題1把1、2、3、16分別填進(jìn)圖中16個三角形里，使每邊上 7個小三角形內(nèi)數(shù)的和相等。問這個和最大值是多少?D中填的數(shù)和三條邊上分析 為了方便描述，我們把圖中部分三角形注上字母，從圖中可以看出：中心處的和沒有關(guān)系，因此，應(yīng)填最小的數(shù)1。而三個角上的 a、b、c六個三角形中的數(shù)都被用過兩次，所以要盡可能填大數(shù)，即填1116。然后根據(jù)“三角形三邊上 7個小三角形內(nèi)數(shù)的和相等”這

8、一條件，就可以計算出這個和的最大值了。(2+3+4+ 16+11 + 12+13+14+15+16) +3=72練習(xí)一1,將5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入圓圈內(nèi)，使三角形每條邊上的和相等，這個和最大是多少?答案解:由題意知，三角形三個角上數(shù)為8、9、10.(5 + 6 + 7+8+ 9+10+8+9+ 10) -3=724 =24答：這個和最大是24.故答案為:三邊之和，三個角上的三個數(shù)都被用了兩次 .解析三個角上的三個數(shù)都被用了兩次，所以要盡可能填大數(shù)，即填 8、9、角形每條邊上的和相等”這一條件，就可以計算出這個和的最大值了 .10.然后根據(jù)三2,把29分別填入下圖圓圈內(nèi)，使每個大

9、圓上的五個數(shù)的和相等，并且最大。解：2+3+ 4 + 5 + 6+7+8+9=449+7= 16 (44 + 16) -2=60及 =30 3016=142+4+ 8=143+5+6=14.故答案為：2+3+ 4 + 5 + 6+7+8+9=44,那么公共部分兩個數(shù)字的和應(yīng)該是偶數(shù)，要使五個數(shù)的和最大，那么公共部分兩個數(shù)的和為最大偶數(shù)，由此進(jìn)行作答從數(shù)字和入手，判斷出公共部分?jǐn)?shù)字和為最大偶數(shù).3,將19這九個自然數(shù)分別填進(jìn)九個小三角形中，使每4個小三角形組成的三角形內(nèi)的 4個數(shù)的和都答案按順序先把1、2、3填入頂點位置的上、右、左 3個三角形中，接著把4、5、6依次填入左中，下中，右中3個三角

10、形中，再計算得出剩余三角形中的數(shù)字。結(jié)果如圖：例題2 有8個西瓜，它們的重量分別是 2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它們分成三堆，要使最重的一堆西瓜盡可能輕些，那么，最重的一堆應(yīng)是多少千克？分析3堆西瓜的總重量是 42.5千克，要使最重的一堆盡可能輕些，另兩堆就得盡可能重些。根據(jù)42.5 + 3=14千克0.5千克可知：最重的一堆是14 + 0.5=14.5千克，即由6千克和8。5千克組成，另外兩堆分別是14千克。練習(xí)二1, 一把鑰匙只能開一把鎖?，F(xiàn)有9把鑰匙和9把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖。最多要試開多少次才能配好全部鑰匙和鎖？ 答案最多試開36次就

11、能配好全部的鑰匙和鎖.因為這9把鑰匙是開這9把鎖的.這樣用第1把鑰匙最多拭開8次，如果8次都打不開鎖，那么就不必再試，肯定這把鑰匙就是第9把鎖的鑰匙.依次類推，第2把鑰匙最多試開7次第8把鑰匙最多試開1次，最后剩下的1把鑰匙和1把鎖時根本就不用試.這就是說，采用試開的辦法，在最壞的情況下，要把10鑰匙和10把鎖都配好，最多試開S + 7 4. + 2 + 1 = （8 + 1）x8 +2 = 36.（次）2,如果四個人的平均年齡是 25歲，其中沒有小于 17歲的，且四人年齡都不相同。那么年齡最大的最多是幾歲？答案解：254=100（歲）10017 1819=46（歲）故答案為：46歲10其余三

12、人年齡為最小情況下，年齡最大的歲數(shù)最多.解析4個人的平均年齡是25歲，那么四個人的年齡和為254= 100（歲），要使年齡大的盡可能大，那么，另外三人就盡可能的小，因為四個人沒有小于17的，當(dāng)其余三個人為17、18、19歲，此時年齡最大的歲數(shù)最多.3,五位同學(xué)捐款，他們捐的錢有3張1元的，4張2元的，3張5元的和3張10元的。這五位同學(xué)捐款數(shù)各不相同，問：捐款最多的同學(xué)至少捐了多少元？答案/+ H）+ 10 卜 5 =：拈1.5 + 5 = 102+242+2=81+1 + 1 =箱元有點多，因為問的是至少2匯 .5 + 5 + 5 = 152+242+2=R1 + 1 = 2 = 1再試試，

13、能不能繼續(xù)少c 10+ W + j = 253.10 4 5 + 5 = 202+242+2=R1 + 1 = 2再試.看看13行不10 + 2 + 1 = 13+ 5 + 2 = 1210 + 1 = 1111H)= 102+2+1=512做不到最少13例題3 一次數(shù)學(xué)考試滿分100分，6位同學(xué)平均分為91分，且6人分?jǐn)?shù)互不相同，其中得分最少的同學(xué)僅得65分，那么排第三名的同學(xué)至少得多少分？（分?jǐn)?shù)取整數(shù)）分析 除得65分的同學(xué)外，其余 5位同學(xué)的總分是 91 X6-65=481分。根據(jù)第三名同學(xué)得分要至少，也就說其他四人得分要盡量高，第一、第二名分別得100分和99分，而接近的三個不同分是

14、93、94、95。所以，第三名至少得 95分。練習(xí)三1, 一個三位數(shù)除以 43,商a余數(shù)是b （a、b都是整數(shù)），求 a+b的最大值。答案解：999M3 = 2310所以：當(dāng)余數(shù)為42,商為22時，a+ b為最大值a+ b= 42+22=64.故答案為：a+ b= 64余數(shù)最大比除數(shù)小1.解析假設(shè)這個三位數(shù)為999, 999刃3 = 2310,如果求a+b為最大值，當(dāng)b為最大值43 1=42 時，a最大為 23 1 = 22,止匕時 a+ b = 42 + 22 = 64.2,如下圖，有兩條垂直相交的線段AR CD交點為 E。已知DE=2CE BE=3AE在AB和CD取3個點畫三角形，問：怎樣

15、取三個點，畫出的三角形面積最大？12EA *bBc答案三角形面積公尺為底*高/2當(dāng)ab上有兩點時,面積最大的三角形為 abd,面積為abxde/2=ab Xcd/3當(dāng)cd上有兩點時，面積最大的三角形為 bcd,面積為cd 沖e/2=cd 刈b x（3/4）/2=ab Cd 與/8 ab Xcd/3因此面積最大的時候應(yīng)該取bcd三點，面積為3abXcd/83, 一次考試滿分100分，5位同學(xué)平均分是90分，且各人得分是不相同的整數(shù)。已知得分最少的人得了75分，那么，第一名同學(xué)至少得了多少分？ 答案解：（90 ）5-75- 100-99）攵= 176 皮= 88（分）88+ 1 = 89（分）故答

16、案為：89分 解析 除了 75分的同學(xué)外，其余4位同學(xué)的總分是90X5 75= 375（分），根據(jù)第三名同學(xué)得分要至少”，也就是說其他三人要盡量高可知，第一、二名分別得 100分和99分，而其他最接近的兩個不同分?jǐn)?shù)是87、89,所以第三名至少得 89分.第三名同學(xué)得分要 至少”，也就是說其他三人要盡量高.13例題4 一個農(nóng)場里收的莊稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一種莊稼需要先收割好、捆好，然后往回運 輸?，F(xiàn)由兩個小組分別承包這兩項工作，工時如下表（一種莊稼不割好、捆好，不準(zhǔn)運輸），這兩組從開工到完工最少經(jīng)過多少小時？大豆谷子高梁小米割好、捆好735運 完-561；9分析 先把各類莊稼從開工到完

17、工所用的時間分別算出來：大豆7+5=12小時，谷子3+6=9小時，高梁5+1=6 小時，小米5+9=14小時。平均每個小組用（12+9+6+14） +2=20.5小時，但實際做不到。因此，根據(jù)各類莊稼所需時間相加，使其最接近20.5小時。12+9=21小時是最少經(jīng)過的時間。練習(xí)四1,三個老師為 7位不同的扮演者化妝，這 7位同學(xué)化妝需要白時間分別為8、12、14、17、18、23、30分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時間完成化妝任務(wù)？答案8, 12, 14, 17, 18, 23, 30 總和為17 + 11 + S = 39出）可以組合的最小數(shù)是12,最少要42分鐘3位老師分別

18、用時如下2,甲、乙、丙三位同學(xué)為 7棵樹苗澆水，由于各棵樹路程的遠(yuǎn)近關(guān)系，需澆水的時間分別為：4、5、6、6、8、9、9分鐘?，F(xiàn)三人各自同時開始，至少幾分鐘全部澆完？答案解:4+5+ 6 + 6 + 8+9+9 = 47 分鐘474=15（分）2（分）9+8= 17（分）答：至少17分鐘全部澆完.故答案為：17分鐘根據(jù)每棵樹所需時間相加，使其接近平均數(shù)14解析澆完7棵樹苗需要4+5+ 6+ 6+8+9+9 = 47分鐘；平均每個人需要 47心=15（分）2份），但實際做不到，因此，根據(jù)每棵樹所需時間相加，使其接近15, 9+8= 17（分）是需要的最少時間.3,有五人來理發(fā)，按發(fā)型所用時間是1

19、0、12、15、22和24分鐘。由兩位師傅同時為這五人理發(fā)，問怎樣安排，使五人理發(fā)和等候的時間總和最少，最少是多少分鐘？答案五位顧客的理發(fā)時間分別是：10, 12, 15, 22和24分鐘.分給兩位理發(fā)師如下：第一種方案：甲依次給理發(fā)時間需要10, 15, 24分鐘的客人理發(fā)，乙依次給理發(fā)時間需要12, 22分鐘的客人理發(fā)，理發(fā)和等候總時間：（10X3+15X 2+24 ） + （12X2+22 ）=84+46=130 （分）.甲的理發(fā)時間：10+15+24=49 （分），乙的理發(fā)時間：12+22=34 （分），五人全部理完需要：49分鐘.經(jīng)過調(diào)整第二種方案：甲依次給需10, 12, 22分鐘

20、的人理發(fā)，乙依次給需 15, 24分鐘的人理發(fā).理發(fā)和等候的總時間：（10X3+12X 2+22 ） + （15X2+24 ）=76+54=130 （分）.甲的理發(fā)時間：10+12+22=44 （分），乙的理發(fā)時間：15+24=39 （分），五人全部理完需要：44 （分）.44 （分）V 49 （分）15因此第二種方案更合理.答：甲依次給需10, 12, 22分鐘的人理發(fā)，乙依次給需15, 24分鐘的人理發(fā)這樣安排可以使這五人理發(fā)和等候所用時間的總和最少，最少要用130分鐘.例題5 A、曰C是三個風(fēng)景點，從 A出發(fā)經(jīng)過B到達(dá)C要走18千米，從A經(jīng)過C到B要走16千米，從B 經(jīng)過A到C要走24千米。相距最近的是哪兩個風(fēng)景點？它們之間相距多少千米？分析 根據(jù)題意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=2