數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第二章(1)課件

1、第二章 分離變量法 在微積分學(xué)中，多元函數(shù)的微分和重積分經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的相應(yīng)問題來計算，例如偏導(dǎo)數(shù)、累次積分等。類似地，偏微分方程的定解問題的常用解法是設(shè)法轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問題。下面介紹的分離變量法就是這樣一種轉(zhuǎn)化的方法。 理論基礎(chǔ):疊加原理設(shè) L 是線性微分算子，若 滿足線性方程（或線性定解條件）則它們的線性組合必滿足方程（或定解條件）其中要求級數(shù)收斂，且滿足“L 中出現(xiàn)的求導(dǎo)與求和可交換”的條件。 2.1 有界弦的自由振動 研究兩端固定弦的自由振動.定解問題為：特點：方程和邊界條件都是線性齊次的.思路：運用疊加原理。先尋找齊次方程(2.1)的滿足邊界條件(2.2)的足夠多個具有

2、簡單形式(變量被分離)的特解, 再對它們作線性組合使得線性組合滿足初始條件(2.3)。思路的物理背景：樂器發(fā)出的聲音可以分解成不同頻率的單音。每種單音在振動時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間 t ，即每個單音可表示為設(shè) 且 不恒為零，代入方程得 由 不恒為零，有： 這個式子的左端是x的函數(shù),右端是t的函數(shù)，何時恒等？則 特征值問題分三種情形討論特征值問題的求解：相應(yīng)的非零解 X(x) 稱為特征函數(shù)； 由邊值條件： 從而 (iii） 時，通解 即：故而得代入初始條件得： .補充：傅立葉(Fourier)級數(shù)兩種推廣由疊加原理，如果上式右端的無窮級數(shù)是收斂的，并且關(guān)于 x，t 能逐項微分兩次，則和式

3、 u(x,t) 確實是問題(2.1)-(2.3)的解（經(jīng)典解）。 其中 和 由上頁給出。如果(*)定義的函數(shù) u(x,t)不具備經(jīng)典解的要求，則稱為問題(2.1)-(2.3)的形式解。則無窮級數(shù)解上， ，且 條件：若在區(qū)間為混合問題(2.1)-(2.3)的經(jīng)典解, 其中 弦上各點振幅 因點而異 在 處，振幅永遠(yuǎn)為0 二、解的物理意義 節(jié)點腹點角頻率初位相在 處，振幅最大,為 nN弦上各點的角頻率 和初位相 都相同，因而沒 有波形的傳播現(xiàn)象。 特點n1的駐波稱為基波, n1的駐波叫做n次諧波。 u(x,t )是由無窮多個振幅、角頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成。 例1 設(shè)有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為 ，求弦做微小橫向振動時的位移，其中 與弦的材料和張力有關(guān) .解 設(shè)位移函數(shù)為 ，則需要求解下列定解問題因此，所求的解為：解：令 , 得 化簡: 引入?yún)?shù) 得 例2：研究兩端為自由端的弦的自由振動問題。第二類邊界條件(ii) 時, , (iii) 時, 則 而 由邊值條件由邊值條件從而特征值 特征函數(shù) T 的方程其解為 所以 代入初始條件: 故將 展開為傅立葉余弦級數(shù)，比較系數(shù)得 思考：當(dāng)邊界條件為一個第一類，另一個