高中數(shù)學必修二 10.2 事件的相互獨立性（含答案）

1、 10.2事件的相互獨立性導學案編寫：廖云波 初審：孫銳 終審：孫銳 廖云波【學習目標】1.理解相互獨立事件的定義及意義2.理解概率的乘法公式【自主學習】知識點1 事件的相互獨立性1定義對于任意兩個事件A與B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，則事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立2性質(zhì)當事件A，B相互獨立時，A與，與B，與也相互獨立3n個事件相互獨立對于n個事件A1，A2，An，如果其中任一個事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個事件A1，A2，An相互獨立4n個相互獨立事件的概率公式如果事件A1，A2，An相互獨立，那么這n個事件都發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(

2、A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，并且上式中任意多個事件Ai換成其對立事件后等式仍成立【合作探究】探究一 相互獨立事件的判斷【例1】判斷下列各對事件是否是相互獨立事件(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(2)容器內(nèi)盛有5個白乒乓球和3個黃乒乓球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”；(3)擲一顆骰子一次，“出現(xiàn)偶數(shù)點”與“出現(xiàn)3點或6點”分析(1)利用獨立性概念的直觀解釋進行判斷(2)計算“從8個球中任取一球是白球”發(fā)

3、生與否，事件“從剩下的7個球中任意取出一球還是白球”的概率是否相同進行判斷(3)利用事件的獨立性定義式判斷解(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件(2)“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”的概率為eq f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的仍是白球”的概率為eq f(4,7)；若前一事件沒有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq f(5,7)，可見，前一事件是否發(fā)生，對后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨立事件(3)記A“出現(xiàn)偶數(shù)點”，B“出現(xiàn)3點或6點”，則A2,4,

4、6，B3,6，AB6，P(A)eq f(3,6)eq f(1,2)，P(B)eq f(2,6)eq f(1,3)，P(AB)eq f(1,6).P(AB)P(A)P(B)，事件A與B相互獨立歸納總結(jié)：判斷事件是否相互獨立的方法1.定義法：事件A，B相互獨立PABPAPB.2.由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.【練習1】(1)一袋中裝有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，記A1“第一次摸得白球”，A2“第二次摸得白球”，則事件A1與是()A相互獨立事件 B對立事件C互斥事件 D無法判斷(2)甲、乙兩名射手同時向一目標射擊，設(shè)事件A“甲擊中目標”，事件B“乙擊中目標”，

5、則事件A與事件B()A相互獨立但不互斥 B互斥但不相互獨立C相互獨立且互斥 D既不相互獨立也不互斥【答案】（1）A （2）A解析：(1)由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球，對下次摸球結(jié)果沒有影響，故事件A1，是相互獨立事件(2)對同一目標射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標是互不影響的，所以事件A與B相互獨立；對同一目標射擊，甲、乙兩射手可能同時擊中目標，也就是說事件A與B可能同時發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件故選A.探究二 相互獨立事件發(fā)生的概率【例2】在奧運知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題，已知甲答對這道題的概率是eq f(3,4)，甲、乙兩人都回答錯誤

6、的概率是eq f(1,12)，乙、丙兩人都回答正確的概率是eq f(1,4).設(shè)每人回答問題正確與否相互獨立的(1)求乙答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題的概率分析(1)設(shè)乙答對這道題的概率為x，由對立事件概率關(guān)系和相互獨立事件概率乘法公式，求出乙答對這道題的概率；(2)設(shè)丙答對這道題的概率y，由相互獨立事件概率乘法公式，求出丙答對這道題的概率和甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率，再由對立事件的概率公式，求得答案解(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A，B，C，設(shè)乙答對這道題的概率P(B)x，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此A，B，C是相互獨立事件

7、由題意，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得P()P()P()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,4)(1x)eq f(1,12)，解得xeq f(2,3)，所以，乙對這道題的概率為P(B)eq f(2,3).(2)設(shè)“甲、乙、丙、三人中，至少有一人答對這道題”為事件M，丙答對這道題的概率P(C)y.由(1)，并根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得P(BC)P(B)P(C)eq f(2,3)yeq f(1,4)，解得yeq f(3,8).甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為P()P()P()P()eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,4)eq blc(rc)(a

8、vs4alco1(1f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,8)eq f(5,96).因為事件“甲、乙、丙三人都回答錯誤”與事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答對這道題”是對立事件，所以，所求事件概率為P(M)1eq f(5,96)eq f(91,96).歸納總結(jié)：1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟1首先確定各事件之間是相互獨立的；2確定這些事件可以同時發(fā)生；3求出每個事件的概率，再求積.2.使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們能同時發(fā)生.【練習2】(1)一個電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個開關(guān)，

9、其閉合的概率為eq f(1,2)，且是相互獨立的，則燈亮的概率是( )A.eq f(1,64)B.eq f(55,64)C.eq f(1,8) D.eq f(1,16)(2)明天上午李明要參加“青年文明號”活動，為了準時起床，他用甲乙兩個鬧鐘叫醒自己，假設(shè)甲鬧鐘準時響的概率為0.80，乙鬧鐘準時響的概率為0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準時響的概率是 .【答案】（1）B （2）0.98解析：(1)設(shè)T“A與B中至少有一個不閉合”，R“E與F至少有一個不閉合”，則P(T)P(R)1eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(3,4)，所以燈亮的概率為P1P(T)P(R)P(eq xto(C)P(

10、eq xto(D)1eq f(3,4)eq f(3,4)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(55,64)，故選B.(2)設(shè)A“兩個鬧鐘至少有一個準時響”，則P(A)1(10.80)(10.90)10.200.100.98.課后作業(yè)A組 基礎(chǔ)題一、選擇題1甲、乙同時參加某次法語考試，甲、乙考試達到優(yōu)秀的概率分別為0.6,0.7，兩人考試相互獨立，則甲、乙兩人都未達到優(yōu)秀的概率為( )A0.42 B0.12 C0.18 D0.28【答案】B解析：所求概率為(10.6)(10.7)0.12，故選B.2某同學從家到學校要經(jīng)過兩個十字路口設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在第一個路口遇到紅燈的概率

11、為eq f(2,3)，兩個路口都遇到紅燈的概率為eq f(2,5)，則他在第二個路口遇到紅燈的概率為( )A.eq f(1,10) B.eq f(2,5) C.eq f(3,5) D.eq f(9,10)【答案】C解析：記事件A為“在第一個路口遇到紅燈”，事件B為“在第二個路口遇到紅燈”，由于兩個事件相互獨立，所以P(A)P(B)P(AB)，所以P(B)eq f(PAB,PA)eq f(f(2,5),f(2,3)eq f(3,5).3下列事件中，A，B是相互獨立事件的是()A一枚硬幣擲兩次，A“第一次為正面”，B“第二次為反面”B袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，A“第一次摸到白球”，B

12、“第二次摸到白球”C擲一枚骰子，A“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，B“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”DA“人能活到20歲”，B“人能活到50歲”【答案】A把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故A是獨立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨立；對于C，A，B應為互斥事件，不相互獨立；D是條件概率，事件B受事件A的影響故選A4甲盒中有200個螺桿，其中有160個A型的，乙盒中有240個螺母，其中有180個A型的今從甲、乙兩盒中各任取一個，則恰好可配成A型螺栓的概率為()Aeq f(1,20)Beq f(15,16)Ceq f(3,5)Deq f(19,20)【答案】C設(shè)“從甲盒中取

13、一螺桿為A型螺桿”為事件A，“從乙盒中取一螺母為A型螺母”為事件B，則A與B相互獨立，P(A)eq f(160,200)eq f(4,5)，P(B)eq f(180,240)eq f(3,4)，則從甲、乙兩盒中各任取一個，恰好可配成A型螺栓的概率為PP(A)P(B)eq f(4,5)eq f(3,4)eq f(3,5).5兩名射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標被擊中的概率是()A0.56B0.92 C0.94D0.96【答案】C兩人都沒有擊中的概率為0.20.30.06，目標被擊中的概率為10.060.94.6在某道路的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在1分

14、鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在這段道路上勻速行駛，則在這三處都不停車的概率為()Aeq f(7,64) Beq f(25,192) Ceq f(35,192) Deq f(35,576)【答案】C由題意可知汽車在這三處都不停車的概率為eq f(25,60)eq f(35,60)eq f(45,60)eq f(35,192).7如圖所示，A，B，C表示3個開關(guān)，若在某段時間內(nèi)，它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7，則該系統(tǒng)的可靠性(3個開關(guān)只要一個開關(guān)正常工作即可靠)為()A0.504B0.994 C0.496D0.064【答案】B由題意知，所求概率為1(10

15、.9)(10.8)(10.7)10.0060.994.8甲、乙、丙、丁4個人進行網(wǎng)球比賽，首先甲、乙一組，丙、丁一組進行比賽，兩組的勝者進入決賽，決賽的勝者為冠軍、敗者為亞軍.4個人相互比賽的勝率如下表所示，表中的數(shù)字表示所在行選手擊敗其所在列選手的概率.甲乙丙丁甲0.30.30.8乙0.70.60.4丙0.70.40.5丁0.20.60.5那么甲得冠軍且丙得亞軍的概率是( )A0.15 B0.105 C0.045 D0.21【答案】C解析：甲、乙比賽甲獲勝的概率是0.3，丙、丁比賽丙獲勝的概率是0.5，甲、丙決賽甲獲勝的概率是0.3，根據(jù)獨立事件的概率等于概率之積，所以，甲得冠軍且丙得亞軍的

16、概率：0.30.50.30.045.故選C.二、填空題9某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq f(16,25)，則該隊員每次罰球的命中率為_【答案】eq f(3,5)設(shè)此隊員每次罰球的命中率為p，則1p2eq f(16,25)，所以peq f(3,5).10已知A，B是相互獨立事件，且P(A)eq f(1,2)，P(B)eq f(2,3)，則P(A eq o(B,sup7()_；P(eq o(A,sup7() eq o(B,sup7()_.【答案】eq f(1,6)eq f(1,6)P(A)eq f(1,2)，P(B)eq f(2,3)，P(eq xt

17、o(A)eq f(1,2)，P(eq xto(B)eq f(1,3).P(A eq xto(B)P(A)P(eq xto(B)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)，P(eq o(A,sup7() eq o(B,sup7()P(eq xto(A)P(eq xto(B)eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6).11甲、乙、丙三人將參加某項測試，他們能達標的概率分別是0.8,0.6,0.5，則三人都達標的概率是_，三人中至少有一人達標的概率是_【答案】0.240.96由題意可知三人都達標的概率為P0.80.60.50.24；三人中至少有一人達標的概率為P1(10.8)

18、(10.6)(10.5)0.96.三、解答題12設(shè)進入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為0.5，購買乙種商品的概率為0.6，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的求：(1)進入商場的1位顧客，甲、乙兩種商品都購買的概率；(2)進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率【答案】記A表示事件“進入商場的1位顧客購買甲種商品”，則P(A)0.5；記B表示事件“進入商場的1位顧客購買乙種商品”，則P(B)0.6；記C表示事件“進入商場的1位顧客，甲、乙兩種商品都購買”；記D表示事件“進入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種”(1)易知CAB，則P(C)P

19、(AB)P(A)P(B)0.50.60.3.(2)易知D(A eq xto(B)(eq xto(A)B)，則P(D)P(A eq xto(B)P(eq xto(A)B)P(A)P(eq xto(B)P(eq xto(A)P(B)0.50.40.50.60.5.13甲、乙兩名跳高運動員在一次2米跳高中成功的概率分別為0.7,0.6，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：(1)甲試跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率【答案】記“甲第i次試跳成功”為事件Ai，“乙第i次試跳成功”為事件Bi(i1,2,3)，依題意得P(Ai)0.7，P(Bi)0.6，且Ai

20、，Bi相互獨立(1)“甲試跳三次，第三次才成功”為事件eq xto(A)1eq xto(A)2A3，且這三次試跳相互獨立P(eq xto(A)1eq xto(A)2A3)P(eq xto(A)1)P(eq xto(A)2)P(A3)0.30.30.70.063.(2)記“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件CP(C)1P(eq xto(A)1)P(eq xto(B)1)10.30.40.88.B組 能力提升一、選擇題1甲、乙兩人參加知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq f(2,3)和eq f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率

21、為()Aeq f(3,4) Beq f(2,3) Ceq f(5,7) Deq f(5,12)【答案】D根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲得乙沒有獲得或甲沒有獲得乙獲得，則所求概率是eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(3,4)eq f(3,4)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)eq f(5,12).2設(shè)兩個獨立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)等于()Aeq f(2,9) Beq f(1,18) Ceq f(1,3) Deq f(2,3)【答案】D由題意，

22、P(eq xto(A)P(eq xto(B)eq f(1,9)，P(eq xto(A)P(B)P(A)P(eq xto(B)設(shè)P(A)x，P(B)y，則eq blcrc (avs4alco1(1x1yf(1,9)，,1xyx1y，)即eq blcrc (avs4alco1(1xyxyf(1,9)，,xy.)x22x1eq f(1,9)，x1eq f(1,3)，或x1eq f(1,3)(舍去)，xeq f(2,3).3設(shè)同時拋擲兩個質(zhì)地均勻的四面分別標有1,2,3,4的正四面體一次記事件A“第一個四面體向下的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；事件B“第二個四面體向下的一面出現(xiàn)奇數(shù)”；C“兩個四面體向下的一面或者同

23、時出現(xiàn)奇數(shù)或者同時出現(xiàn)偶數(shù)”給出下列說法：P(A)P(B)P(C)；P(AB)P(AC)P(BC)；P(ABC)eq f(1,8)；P(A)P(B)P(C)eq f(1,8).其中正確的有( )A0個 B1個 C2個 D3個【答案】D解析：P(A)eq f(1,2)，P(B)eq f(1,2)，P(C)eq f(1,2)，故對P(AB)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)，P(AC)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)，P(BC)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,4)，故對事件A，B，C不可能同時發(fā)生，P(ABC)0，故錯故選D.4設(shè)M，N為

24、兩個隨機事件，給出以下命題：(1)若M，N為互斥事件，且P(M)eq f(1,5)，P(N)eq f(1,4)，則P(MN)eq f(9,20)；(2)若P(M)eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6)，則M，N為相互獨立事件；(3)若P()eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6)，則M，N為相互獨立事件；(4)若P(M)eq f(1,2)，P()eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6)，則M，N為相互獨立事件；(5)若P(M)eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P()eq f(5,6)，則M，N為相互

25、獨立事件其中正確命題的個數(shù)為( )A1 B2 C3 D4【答案】C解析：若M，N為互斥事件，且P(M)eq f(1,5)，P(N)eq f(1,4)，則P(MN)eq f(1,5)eq f(1,4)eq f(9,20)，故(1)正確；若P(M)eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6).則由相互獨立事件乘法公式知M，N為相互獨立事件，故(2)正確；若P(eq xto(M)eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6)，則P(M)1P(eq xto(M)eq f(1,2)，P(MN)P(M)P(N)由對立事件概率計算公式和相互獨立事

26、件乘法公式知M，N為相互獨立事件，故(3)正確；若P(M)eq f(1,2)，P(eq xto(N)eq f(1,3)，P(MN)eq f(1,6)，當M，N為相互獨立事件時，P(N)1P(eq xto(N)eq f(2,3)，P(MN)eq f(1,2)eq f(2,3)eq f(1,3)，故(4)錯誤；若P(M)eq f(1,2)，P(N)eq f(1,3)，P(eq xto(M) eq xto(N)eq f(5,6)，則P(eq xto(M)eq f(1,2)，P(eq xto(N)eq f(2,3)，P(eq xto(M) eq xto(N)P(eq xto(M)P(eq xto(N)

27、由對立事件概率計算公式和相互獨立事件乘法公式知M，N為相互獨立事件，故(5)錯誤故選C.二、填空題5一個人有n把鑰匙，其中只有一把可以打開房門，他隨意地進行試開，若試開過的鑰匙放在一旁，則他第k次恰好打開房門的概率等于_【答案】eq f(1,n)由 “第k次恰好打開，前k1次沒有打開”，第k次恰好打開房門的概率為eq f(n1,n)eq f(n2,n1)eq f(nk1, nk2)eq f(1,nk1)eq f(1,n).三、解答題6某中學籃球體育測試要求學生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試，“立定投籃”與“三步上籃”各有2次投籃機會，先進行“立定投籃”測試，如果合格才有機會進行“三步上籃”測試，為了節(jié)約時間，每項只需且必須投中一次即為合格小明同學“立定投籃”的命中率為eq f(1,2)，“三步上籃”的命中率為eq f(3,4)，假設(shè)小明不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中互不影響，求小明同學一次測試合格的概率【答案】設(shè)小明第i次“立定投籃”命中為事件Ai，第i次“三步上籃”命中為事件Bi(i1,2)，依題意有P(Ai)eq f(1,2)，P(Bi)eq f(3,4)