數(shù)學(xué)建模排隊(duì)論

1、排隊(duì)論 1排隊(duì)論1、排隊(duì)的組成及基本概念2、生滅過(guò)程3、六個(gè)排隊(duì)模型2排隊(duì)論排隊(duì)是日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，如顧客到商店去買東西，病人到醫(yī)院去看病，當(dāng)售貨員、醫(yī)生的數(shù)量滿足不了顧客或病人及時(shí)服務(wù)的需要時(shí)，就出現(xiàn)了排隊(duì)的現(xiàn)象。出現(xiàn)這樣的排隊(duì)現(xiàn)象，使人感到厭煩，當(dāng)然增加服務(wù)設(shè)施（如售貨員、醫(yī)生）能減少排隊(duì)現(xiàn)象，但這樣勢(shì)必增加投資又因供大于求使設(shè)施常?？臻e、導(dǎo)致浪費(fèi)。作為管理人員，就要研究排隊(duì)問(wèn)題，把排隊(duì)時(shí)間控制在一定的限度內(nèi)，在服務(wù)質(zhì)量的提高和成本的降低之間取得平衡，找到適當(dāng)?shù)慕狻?如果顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔是確定的，如自動(dòng)裝配線上裝配的各部件就必須按確定的時(shí)間間隔到達(dá)裝配點(diǎn)；服務(wù)每一個(gè)顧客的時(shí)間

2、也是確定的，如自動(dòng)沖洗汽車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗的時(shí)間是確定的。對(duì)于這類服務(wù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)計(jì)算比較方便。但在大多數(shù)的服務(wù)系統(tǒng)中，情況不是這樣。顧客的到達(dá)經(jīng)常是隨機(jī)的，并且服務(wù)設(shè)施用于每個(gè)顧客身上的服務(wù)時(shí)間往往也是隨機(jī)的。對(duì)于這樣一類隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的計(jì)算就要復(fù)雜得多。4排隊(duì)論(Queuing Theory)又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論(Random Service System Theory)，是研究排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論和方法，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。一般來(lái)說(shuō)，排隊(duì)論所研究的排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔和服務(wù)時(shí)間這兩個(gè)量中至少有一個(gè)是隨機(jī)的。具體地說(shuō)，它是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)

3、的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制的問(wèn)題。5一、基本概念一些排隊(duì)系統(tǒng)的例子排隊(duì)系統(tǒng) 顧 客 服務(wù)臺(tái) 服 務(wù)電話系統(tǒng) 電話呼叫 電話總機(jī) 接通呼叫或取消呼叫售票系統(tǒng) 購(gòu)票旅客 售票窗口 收款、售票設(shè)備維修 出故障的設(shè)備 修理工 排除設(shè)備故障防空系統(tǒng) 進(jìn)入陣地的敵機(jī) 高射炮 瞄準(zhǔn)、射擊，敵機(jī)被擊落或離開(kāi)排隊(duì)的過(guò)程可表示為： 排隊(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)服務(wù)后顧客離去排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)1、排隊(duì)過(guò)程的組成部分及相關(guān)概念6根據(jù)服務(wù)臺(tái)的數(shù)量及排隊(duì)方式，排隊(duì)系統(tǒng)可以分為 (1)單服務(wù)臺(tái)單隊(duì)(2)多服務(wù)臺(tái)單隊(duì)圖9-2單服務(wù)臺(tái)單隊(duì)系統(tǒng) 顧客到達(dá)進(jìn)入隊(duì)列服務(wù)臺(tái)接受服務(wù)顧客離去顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)顧客離去服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)圖9-3 多服務(wù)臺(tái)單隊(duì)系統(tǒng)7(3

4、)多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)(4)多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)服務(wù) 圖9-4 多服務(wù)臺(tái)多隊(duì)系統(tǒng)圖9-5 多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)系統(tǒng)顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)顧客離去服務(wù)臺(tái)服務(wù)臺(tái)顧客到達(dá)服務(wù)臺(tái)顧客離去服務(wù)臺(tái)8排隊(duì)過(guò)程的組成部分實(shí)際中的排隊(duì)系統(tǒng)各有不同，但概括起來(lái)都由三個(gè)基本部分組成：輸入過(guò)程、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)機(jī)制.1、輸入過(guò)程輸入過(guò)程說(shuō)明顧客按怎樣的規(guī)律到達(dá)系統(tǒng)，需要從以下三個(gè)方面來(lái)刻畫一個(gè)輸入過(guò)程。（1）顧客總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有限的，也可以是無(wú)限的。如到售票處購(gòu)票的顧客總數(shù)可以認(rèn)為是無(wú)限的，而某個(gè)工廠因故障待修的機(jī)床則是有限的。9（2）顧客到達(dá)的形式。單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá)。如大學(xué)生到圖書館借書是單個(gè)到達(dá)，而購(gòu)買的材料

5、入庫(kù)則可以看成成批到達(dá)。（3）顧客流的概率分布，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，也可用顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔描述。這是刻畫輸入過(guò)程的最重要的內(nèi)容。排隊(duì)論中常用到的分布：定長(zhǎng)分布(D)，這種分布顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔是確定的，如產(chǎn)品通過(guò)傳送帶進(jìn)入包裝箱就是定長(zhǎng)分布的例子。10泊松流(M) ：1）在一定時(shí)間區(qū)間內(nèi)，恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率僅與區(qū)間長(zhǎng)度有關(guān)，而與區(qū)間起始時(shí)刻無(wú)關(guān)。即在時(shí)間區(qū)間0，t或a，a+t內(nèi)，恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率相等。2）在不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的。或者說(shuō)在時(shí)間區(qū)間a，a+t內(nèi)來(lái)到k個(gè)顧客的概率與時(shí)刻a之前來(lái)到多少個(gè)顧客無(wú)關(guān)。3）在足夠小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)只能有一個(gè)顧客到達(dá)

6、，不可能有兩個(gè)以上顧客同時(shí)到達(dá)。單位時(shí)間里有x個(gè)顧客到達(dá)的概率為：其中，為單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，此時(shí)顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔是獨(dú)立的，服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布。112、排隊(duì)規(guī)則（1）排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)分為有限排隊(duì)和無(wú)限排隊(duì)兩類。前者是指系統(tǒng)的空間是有限的，當(dāng)系統(tǒng)被占滿時(shí)，后面再來(lái)的顧客將不能進(jìn)入系統(tǒng)；后者是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)可以是無(wú)限的，隊(duì)列可以排到無(wú)限長(zhǎng)，顧客到達(dá)后均可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受服務(wù)。具體又分為以下三種。1）等待制。即無(wú)限排隊(duì)。2）損失制。這種系統(tǒng)是指排隊(duì)空間為零的系統(tǒng)，實(shí)際上是不允許排隊(duì)。當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)，如果所有服務(wù)臺(tái)均被占用，則自動(dòng)離去，并不再回來(lái)，這部分顧客就被損失掉了。3）混合制。

7、該系統(tǒng)是等待制和損失制系統(tǒng)的結(jié)合，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去。12（2）排隊(duì)規(guī)則先來(lái)先服務(wù)(FCFS)后來(lái)先服務(wù)(LCFS)，在許多庫(kù)存系統(tǒng)中會(huì)出現(xiàn)這種情形，如鋼板存入倉(cāng)庫(kù)后，需要時(shí)總是從最上面的取出；又如在情報(bào)系統(tǒng)中，后來(lái)到達(dá)的信息往往更加重要，應(yīng)首先加以分析和利用。具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)(PS)，如病危的患者應(yīng)優(yōu)先治療，加急的電報(bào)電話應(yīng)優(yōu)先處理等。隨機(jī)服務(wù)(SIRO)13（3）服務(wù)機(jī)制1）服務(wù)員的數(shù)量及構(gòu)成形式。從數(shù)量上說(shuō)，服務(wù)臺(tái)有單臺(tái)和多臺(tái)之分。從構(gòu)成形式上看，有單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)式、單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式、多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式、單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式等。2）服務(wù)方式。指在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧

8、客數(shù)，有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種。3）服務(wù)時(shí)間的分布。定長(zhǎng)分布(D)，指每個(gè)顧客接受服務(wù)的時(shí)間是一個(gè)確定的常數(shù)。14負(fù)指數(shù)分布(M)。服務(wù)時(shí)間是指顧客從開(kāi)始接受服務(wù)到服務(wù)完成所花費(fèi)的時(shí)間。由于每位顧客要辦的業(yè)務(wù)都不一樣，又存在很多影響服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)時(shí)間的隨機(jī)因素，因此服務(wù)時(shí)間也是一個(gè)隨機(jī)變量。一般說(shuō)，負(fù)指數(shù)概率分布能較好地描述一些排隊(duì)系統(tǒng)里服務(wù)時(shí)間的概率分布情況。在負(fù)指數(shù)分布里，服務(wù)時(shí)間小于或等于時(shí)間長(zhǎng)度t的概率：F（t）=P（服務(wù)時(shí)間t）=1-e-t這里的為單位時(shí)間里被服務(wù)完的平均顧客數(shù)。15在排隊(duì)系統(tǒng)中，在時(shí)間間隔長(zhǎng)度t中到達(dá)的顧客數(shù)Nt服從以t為參數(shù)的泊松分布，則顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔T服從

9、以為參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布。如果我們把Nt定義為任一時(shí)間間隔長(zhǎng)度t中的到達(dá)者數(shù)量，泊松分布： （n=0,1,2,3,）E（ Nt ）=var Nt = t。在時(shí)間間隔長(zhǎng)度t中平均有t名到達(dá)者。 為單位時(shí)間到達(dá)者的平均數(shù)量或者到達(dá)率。負(fù)指數(shù)分布：FT(t)=PTt=1- 16K階愛(ài)爾朗分布設(shè)X1，X2，Xk是k個(gè)互相獨(dú)立的，具有相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量：X=X1+X2+X3+Xk服從k階愛(ài)爾朗分布，X的密度函數(shù)為：隨機(jī)變量X的均值和方差分別為：E(X)=1/，Var(X)=1/k2如果顧客連續(xù)接受串聯(lián)的k個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)，各服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，則顧客接受

10、k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需的時(shí)間就服從k階愛(ài)爾朗分布。17平穩(wěn)狀態(tài)當(dāng)一個(gè)排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)很大程度上取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和運(yùn)轉(zhuǎn)經(jīng)歷的時(shí)間，但過(guò)了一段時(shí)間后，系統(tǒng)的狀態(tài)將獨(dú)立于初始狀態(tài)及經(jīng)歷的時(shí)間，這時(shí)稱系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)。由于對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)狀態(tài)研究分析起來(lái)很困難，所以排隊(duì)論中主要研究系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀態(tài)的工作情況。18排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示X/Y/Z/A/B/C這里的X記顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔的分布，M表示服從泊松分布或負(fù)指數(shù)分布，D表示定長(zhǎng)分布，Ek表示愛(ài)爾朗分布，G表示一般相互獨(dú)立任意分布；Y記服務(wù)時(shí)間的分布，類型同X；Z記服務(wù)臺(tái)數(shù)目，取正整數(shù)；A記系統(tǒng)的容量，表示系統(tǒng)中顧客容量限額，若系統(tǒng)中有

11、k個(gè)等待位子(0k)，當(dāng)k=0時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)不允許等待，即為損失制。 k=為等待制系統(tǒng)。k為有限整數(shù)時(shí)，則為混合制 ；B記顧客源的數(shù)目，可取正整數(shù)或 ，即有限與無(wú)限；C記排隊(duì)服務(wù)規(guī)則，F(xiàn)CFS先到先服務(wù)，LCFS后到先服務(wù)，SIRO隨機(jī)服務(wù)，PR有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)。19排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)研究排隊(duì)系統(tǒng)的目的是通過(guò)了解系統(tǒng)運(yùn)行的狀況，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)整和控制，使系統(tǒng)處于最優(yōu)運(yùn)行狀態(tài)。因此，首先需要弄清系統(tǒng)的運(yùn)行狀況。描述一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的主要數(shù)量指標(biāo)有：Pn：系統(tǒng)中恰好有n個(gè)顧客的概率，這n個(gè)顧客包括排隊(duì)和正在被服務(wù)的顧客；在系統(tǒng)里沒(méi)有顧客的概率，即所有服務(wù)設(shè)施空閑的概率，記為P0。Pw顧客到達(dá)系統(tǒng)

12、時(shí)，得不到及時(shí)服務(wù)，必須排隊(duì)等待服務(wù)的概率。20Ls在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)，包括排隊(duì)的顧客數(shù)和正在被服務(wù)的顧客數(shù)。Lq排隊(duì)的平均長(zhǎng)度，即排隊(duì)的平均顧客數(shù)。Wq平均一位顧客花在排隊(duì)上的時(shí)間。Ws平均一位顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時(shí)間，它包括排隊(duì)時(shí)間和被服務(wù)的時(shí)間。Little公式，L=W。為單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)。212、生滅過(guò)程及生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)1. 生滅過(guò)程 生滅過(guò)程是一類非常簡(jiǎn)單具有廣泛應(yīng)用的一類隨機(jī)過(guò)程，很多排隊(duì)模型中都假設(shè)其狀態(tài)過(guò)程為生滅過(guò)程；這樣的排隊(duì)子系統(tǒng)如：M/M/C和M/M/C/R，我們也可稱之為生滅過(guò)程的排隊(duì)系統(tǒng)。在這樣的排隊(duì)系統(tǒng)中，一個(gè)新顧客的到達(dá)看作“生”，一個(gè)顧客服務(wù)完之后離

13、開(kāi)系統(tǒng)看作是“死”，設(shè)N(t)為任意時(shí)刻t排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)（即排隊(duì)子系統(tǒng)中的總顧客數(shù)），則對(duì)M/M/C/K系統(tǒng)N(t)具有有限個(gè)狀態(tài)0，1，,k,對(duì)M/M/C來(lái)說(shuō)N(t)具有可列個(gè)狀態(tài)0，1，2。 一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程 滿足以下條件，稱為生滅過(guò)程： 1) 假設(shè)N(t)=n，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)刻為止的時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，n=0,1,2, 2) 假設(shè)N(t)=n，則從時(shí)刻t起到下一個(gè)顧客離去時(shí)刻為止的時(shí)間服從參數(shù)為 的負(fù)指數(shù)分布，n=0,1,2, 3) 同一時(shí)刻時(shí)只有一個(gè)顧客到達(dá)或離去。即只在相鄰狀態(tài)間轉(zhuǎn)換。22一般來(lái)說(shuō)，得到N(t)的分布Pn(t)=PN(t)=n,n=0,1,

14、2,是比較困難的，因此通常是求當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行一段時(shí)間達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后的狀態(tài)分布，記為Pn。當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后，對(duì)于任一個(gè)狀態(tài)n，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，這就是系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)平衡下的“流入=流出”原理。232. 生滅過(guò)程穩(wěn)態(tài)方程 輸入（出）率=某一穩(wěn)態(tài)概率平均轉(zhuǎn)換率242、生滅過(guò)程及生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)2. 生滅過(guò)程穩(wěn)態(tài)方程 方程為：由此可求得生滅過(guò)程的平穩(wěn)狀態(tài)分布：由于即有即有即有252、生滅過(guò)程及生滅過(guò)程排隊(duì)系統(tǒng)即當(dāng)時(shí)，此生滅過(guò)程存在平穩(wěn)狀態(tài)分布：263、六個(gè)模型M/M/1/FCFSM/M/1/N/FCFSM/M/1/m/FCFSM/M/s/FCF

15、SM/M/s/N/FCFSM/M/s/m/FCFS到達(dá)過(guò)程/服務(wù)時(shí)間/服務(wù)臺(tái)/系統(tǒng)容量/顧客源/排隊(duì)規(guī)則27單服務(wù)臺(tái)基本模型設(shè)單位時(shí)間到達(dá)系統(tǒng)的顧客數(shù)為 ，單位時(shí)間被服務(wù)完的顧客數(shù)為。由于是單服務(wù)臺(tái)，且顧客源無(wú)限，因此，在各種狀態(tài)的情況下，系統(tǒng)的“出生率”為，系統(tǒng)的“死亡率”為。系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下的狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖9-6所示 0 1 2n-1 nn+1P0 P1 P2 Pn-1 Pn Pn+1 圖9-6根據(jù)以上狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖，可以得出如下平衡方程 (91)(92)1 系統(tǒng)狀態(tài)概率Pn(t)的計(jì)算28由(91)和(92)可以遞推求解P1，P2，Pn，得到 表示平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比，稱為服務(wù)強(qiáng)度 29

16、9.3 單服務(wù)臺(tái)模型 【例9.1】高速公路收費(fèi)處設(shè)有一個(gè)收費(fèi)通道，汽車到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)速率為150輛小時(shí)，收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均收費(fèi)時(shí)間為15秒輛。求(1)收費(fèi)處空閑的概率；(2)收費(fèi)處忙的概率；(3)系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。【解】根據(jù)題意, =150輛/小時(shí), 1/=15秒=1/240（小時(shí)/輛）,即240（輛/小時(shí)）。/=150/240=5/8，則有(1)系統(tǒng)空閑的概率為：P0=1=1(5/8)=3/8=0.375(2)系統(tǒng)忙的概率為：1-P0=5/8=0.625(3)系統(tǒng)中有1輛車的概率為：P1=(1)=0.6250.375=0.234系統(tǒng)中有2輛車的概率為：P

17、2= 2(1)= 0.2340.625=0.146系統(tǒng)中有3輛車的概率為：P3=3(1)=0.1460.625=0.091302. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)(1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值）Ls 即隊(duì)長(zhǎng)為系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值（系統(tǒng)中各種狀態(tài)的加權(quán)平均值） 31322. 系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)(2)隊(duì)列中的平均顧客數(shù)（等待）33(3)服務(wù)中的平均顧客數(shù)Lf=0P0+1（P1+ P2+ P3+）=1-P0=1-（1-）= =/Little公式: 34(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間W(98) (4)顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間 Wq(99) 35【例9.2】輕軌進(jìn)站口售票處設(shè)有一個(gè)售票窗口，乘客到達(dá)服從

18、泊松分布，平均到達(dá)速率為200人/小時(shí)，售票時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均售票時(shí)間為15秒/人。求Ls、Lq、Ws和Wq。【解】根據(jù)題意，=200人/小時(shí)，=240人/小時(shí)，=5/6。 36作業(yè)某汽車修理店只有一個(gè)修理工，汽車按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)到達(dá)36輛，修理工完成每輛汽車修理的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，汽車到達(dá)修理店不需排隊(duì)的概率為0.4。計(jì)算如下問(wèn)題：修理工的平均修理速度（輛/小時(shí)）修理店內(nèi)的平均總汽車數(shù)（輛）；一輛汽車在修理店內(nèi)的平均排隊(duì)時(shí)間（分鐘）修理店內(nèi)有2輛及以上汽車的概率37有限隊(duì)列模型 如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某一時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，

19、如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖9-7 0 1 2N-1 NP0 P1 P2 圖971.系統(tǒng)狀態(tài)概率的計(jì)算38由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖9-7，建立系統(tǒng)概率平衡方程如下 (911) (912) (913) 39(914) (915) 40根據(jù)式912和913可以導(dǎo)出系統(tǒng)的各個(gè)指標(biāo)，對(duì)于1，有(9-16) (1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls419.3 單服務(wù)臺(tái)模型 (917) (2)隊(duì)列中的平均顧客數(shù)Lq (918) e 稱為有效到達(dá)率，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)并能進(jìn)入隊(duì)列的平均顧客數(shù)。e 稱為有效服務(wù)強(qiáng)度 42(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間(9-19) (4)顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)

20、間 (9-20) 在我們的有限容量模型中，每單位時(shí)間平均有名到達(dá)者到達(dá)，但是這些到達(dá)者中有PN的概率不能進(jìn)入系統(tǒng)，因?yàn)榇藭r(shí)系統(tǒng)已滿，所以有 PN名到達(dá)者無(wú)法進(jìn)入系統(tǒng)而離開(kāi)。e 稱為有效到達(dá)率，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)并能進(jìn)入隊(duì)列的平均顧客數(shù)。e 稱為有效服務(wù)強(qiáng)度 。對(duì)于有限容量系統(tǒng)，即使，系統(tǒng)的有限容量也會(huì)阻止系統(tǒng)中的人數(shù)爆炸，穩(wěn)態(tài)存在。43【例9.3】咨詢中心有一位咨詢工作人員，每次只能咨詢一人，另外有4個(gè)座位供前來(lái)咨詢的人等候。某人到來(lái)發(fā)現(xiàn)沒(méi)有座位，就不再等待而離去。前來(lái)咨詢者到達(dá)服從泊松流，到達(dá)的平均速率為4人/小時(shí)，咨詢?nèi)藛T的平均咨詢時(shí)間為10分鐘/人。咨詢時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。求：(1)咨詢者

21、到達(dá)不用等待就可咨詢的概率(2)咨詢中心的平均人數(shù)以及等待咨詢的平均人數(shù)(3)咨詢者來(lái)咨詢中心一次平均花費(fèi)的時(shí)間以及平均等待的時(shí)間(4)咨詢者到達(dá)后因客滿而離去的概率(5)增加一個(gè)座位可以減少的顧客損失率【解】N=4+1=5，=4人/小時(shí)，=6人/小時(shí)，=2/3 (1)449.3 單服務(wù)臺(tái)模型 (2)(3)(4)因客滿而離去的概率為0.048 (5) 當(dāng)N=6時(shí)459.3 單服務(wù)臺(tái)模型 即增加一個(gè)座位可以減少顧客損失率1.6% 9.3.3 有限顧客源模型 設(shè)顧客總數(shù)為m。當(dāng)顧客需要服務(wù)時(shí)，就進(jìn)入隊(duì)列等待；服務(wù)完畢后，重新回到顧客源中，如此循環(huán)往復(fù)。由于顧客源的數(shù)量有限，因此隊(duì)列的長(zhǎng)度也是有限的

22、，并且隊(duì)列的長(zhǎng)度必定小于顧客源總數(shù) 。 在無(wú)限源顧客系統(tǒng)中，顧客的平均到達(dá)速率是整個(gè)顧客源的性質(zhì)，與單獨(dú)的顧客無(wú)關(guān)。即使有顧客反復(fù)接受服務(wù)，對(duì)于本來(lái)就是無(wú)窮大的顧客源影響不大。46在有限源系統(tǒng)中，由于一個(gè)顧客要反復(fù)接受服務(wù)，因此有必要假定每一個(gè)顧客在單位時(shí)間內(nèi)需要接受服務(wù)的平均次數(shù)是相同的，設(shè)為。這樣，有限源系統(tǒng)顧客的平均到達(dá)速率就與顧客源中的顧客數(shù)有關(guān)。以機(jī)器維修問(wèn)題為例，設(shè)機(jī)器總數(shù)為m臺(tái)，每臺(tái)機(jī)器在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的平均次數(shù)為，已經(jīng)發(fā)生故障正在等待修理及正在接受修理的機(jī)器數(shù)為n。試想，由于機(jī)器需要反復(fù)修理，所以可以把單位時(shí)間內(nèi)需要修理的機(jī)器總數(shù)看成是一共m 臺(tái)（一臺(tái)只修理一次），其中有n

23、 臺(tái)在系統(tǒng)中，所以單位時(shí)間內(nèi)將要到達(dá)的機(jī)器數(shù)（剩余的）可以看成（m n) 臺(tái)。有限源系統(tǒng)顧客的平均到達(dá)速率：為每個(gè)顧客在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的平均次數(shù)， n為在系統(tǒng)中的顧客數(shù)。47 0 1 2n-1 nn+1m-1 m圖9-8 有限顧客源模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖9-8 由圖9-8得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率平衡方程組 1系統(tǒng)狀態(tài)概率的計(jì)算(921) 48用遞推方法解該方程組，得到 (922) (923) 2 有限源系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo) 在求得系統(tǒng)中出現(xiàn)顧客數(shù)的概率后，即可求得系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)(推導(dǎo)過(guò)程略) 不要求=/s時(shí)，因服務(wù)臺(tái)有限，系統(tǒng)的服務(wù)速率達(dá)最大為s。539.4多服務(wù)臺(tái)模型穩(wěn)態(tài)概率方程 (928) (92

24、9) (930) (931) 由解得： (932) (933) 549.4多服務(wù)臺(tái)模型顧客需要等待 (系統(tǒng)已有s個(gè)顧客)的概率與單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)的方法類似，有 559.4多服務(wù)臺(tái)模型【例9.5】銀行辦理個(gè)人儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)有三個(gè)窗口，顧客到達(dá)服從泊松流，到達(dá)速率為0.9人分，辦理業(yè)務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，每個(gè)窗口的平均服務(wù)速率為0.4人分。顧客到達(dá)后取得一個(gè)排隊(duì)號(hào)，依次由空閑窗口按號(hào)碼順序辦理儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)。求：(1)所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊(duì)長(zhǎng)；(3)平均等待時(shí)間及逗留時(shí)間；(4)顧客到達(dá)后必須等待的概率?！窘狻窟@是一個(gè)系統(tǒng)(1)所有窗口都空閑的概率，即求P056(2)平均隊(duì)長(zhǎng)，先求Lq ,再求Ls(3

25、)平均等待時(shí)間和平均逗留時(shí)間，即求Wq和Ws的值 (4)顧客到達(dá)后必須等待，即n3 9.4多服務(wù)臺(tái)模型579.4多服務(wù)臺(tái)模型9.4.2有限隊(duì)列模型 0 1 2s-1 ss+1N-1 N圖9-10 有限隊(duì)列模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖設(shè)系統(tǒng)容量為N(Ns)，當(dāng)系統(tǒng)中的顧客數(shù)nN時(shí)，到達(dá)的顧客進(jìn)入系統(tǒng)；當(dāng)nN時(shí)，到達(dá)的顧客就被拒絕。設(shè)顧客到達(dá)的速率為，每個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)的速率為， 系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見(jiàn)圖9-10 589.4多服務(wù)臺(tái)模型穩(wěn)定狀態(tài)的狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移方程為： (938) (939) (940) (941) (942) (943) 得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)概率 由(944) 599.4多服務(wù)臺(tái)模型 (945) 系統(tǒng)的運(yùn)

26、行指標(biāo): (946) (947) (948) (949) 609.4多服務(wù)臺(tái)模型【例9.6】某旅館有10個(gè)床位，旅客到達(dá)服從泊松流，平均速率為6人天，旅客平均逗留時(shí)間為2天，求：(1)旅館客滿的概率；(2) 每天客房平均占用數(shù). 【解】這是一個(gè)即時(shí)制的 系統(tǒng)，其中 旅館10個(gè)床位全滿的概率為0.3019平均占用8.377個(gè)床位?？头空加寐蕿?3.77%。619.4多服務(wù)臺(tái)模型9.4.3有限顧客源模型 設(shè)顧客源為有限數(shù)m，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為s，且ms。這個(gè)模型的典型例子是機(jī)器維修問(wèn)題，機(jī)器數(shù)量為m臺(tái)，修理工數(shù)量為s人 狀態(tài)概率： 式中： (951) (950) 629.4多服務(wù)臺(tái)模型運(yùn)行指標(biāo) 為有效到

27、達(dá)速率 式中639.4多服務(wù)臺(tái)模型【例9.7】車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的故障率為1次小時(shí)，有2個(gè)修理工負(fù)責(zé)修理這5臺(tái)機(jī)器，工作效率相同，為4臺(tái)小時(shí)。求：(1)等待修理的平均機(jī)器數(shù)；(2)等待修理及正在修理的平均機(jī)器數(shù)；(3)每小時(shí)發(fā)生故障的平均機(jī)器數(shù)；(4)平均等待修理的時(shí)間；(5)平均停工時(shí)間。 【解】這是一個(gè) 模型649.4多服務(wù)臺(tái)模型P1=0.394， P2=0.197 ,P3=0.074， P4=0.018， P5=0.002由式(951)可以計(jì)算得到 65考慮要點(diǎn)：1、服務(wù)臺(tái)（或通道）數(shù)目：?jiǎn)畏?wù)臺(tái)（單通道）、多服務(wù)臺(tái)（多通道）。2、顧客到達(dá)過(guò)程：本教材主要考慮顧客的泊松到達(dá)情況。

28、滿足以下三個(gè)條件的輸入流稱為泊松流（泊松過(guò)程）。 *平穩(wěn)性：在時(shí)間區(qū)間 t, t+t) 內(nèi)到達(dá)k個(gè)顧客的概率與t無(wú)關(guān)，只與 t 有關(guān)，記為 pk(t）； *無(wú)后效性：不相交的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)互相獨(dú)立； *普通性：在足夠短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)多于一個(gè)顧客的概率可以忽略； 泊松分布 為單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù) P (x) = x e- / x! (x = 0, 1, 2,)1排隊(duì)過(guò)程的組成部分661排隊(duì)過(guò)程的組成部分3、服務(wù)時(shí)間分布： 服從負(fù)指數(shù)分布， 為平均服務(wù)率，即單位時(shí)間服務(wù)的顧客數(shù)， P（服務(wù)時(shí)間 t ) = 1- e- t 。4、排隊(duì)規(guī)則分類 (1) 等待制： 顧客到達(dá)后，一直等到服務(wù)完畢

29、以后才離去， 先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)； (2) 損失制： 到達(dá)的顧客有一部分未接受服務(wù)就離去。5、平穩(wěn)狀態(tài)： 業(yè)務(wù)活動(dòng)與時(shí)間無(wú)關(guān)。67排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示: 一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的特征可以用五個(gè)參數(shù)表示，形式為：ABCDE其中A 顧客到達(dá)的概率分布，可取M、 D、G 、Ek等；B 服務(wù)時(shí)間的概率分布，可取M、D、 G 、 Ek等；C 服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，取正整數(shù)；D 排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或；E 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或。 例如 M / M / 1 / / 表示顧客到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，一個(gè)服務(wù)臺(tái)，排隊(duì)的長(zhǎng)度無(wú)限制和顧客的來(lái)源無(wú)限制。1排隊(duì)過(guò)程的組

30、成部分68M / M / 1 / / 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ( )數(shù)量指標(biāo)公式: 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0 =1 / 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq =2/( ) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + / 4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq / 5. 顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 顧客得不到及時(shí)服務(wù)必須排隊(duì)等待的概率 Pw = / 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn =( /)n P01 排隊(duì)過(guò)程的組成部分2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型69 2單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 在上面

31、的公式中，我們都認(rèn)定 ,即到達(dá)率小于服務(wù)率，如果沒(méi)有這個(gè)條件，則排隊(duì)的長(zhǎng)度將無(wú)限制地增加，服務(wù)機(jī)構(gòu)根本沒(méi)有能力處理所有到達(dá)的顧客， 也就是 / c時(shí)3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型76 例 在前例的儲(chǔ)蓄所里多設(shè)一個(gè)服務(wù)窗口，即儲(chǔ)蓄所開(kāi)設(shè)兩個(gè)服務(wù)窗口。顧客的到達(dá)過(guò)程仍服從泊松分布，平均每小時(shí)到達(dá)顧客仍是36人；儲(chǔ)蓄所的服務(wù)時(shí)間仍服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)仍能處理48位顧客的業(yè)務(wù)，其排隊(duì)規(guī)則為只排一個(gè)隊(duì)，先到先服務(wù)。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解 C = 2， 平均到達(dá)率 = 36/60 = 0.6， 平均服務(wù)率 = 48/60 = 0.8。P0 =0.4545, Lq = 0.12

32、27 (個(gè)顧客),Ls = Lq + / = 0.8727 (個(gè)顧客), Wq = Lq / = 0.2045（分鐘）,Ws = Wq+ 1/ = 1.4545 （分鐘）,Pw = 0.2045,P1 = 0.3409, P2 = 0.1278, P3 = 0.0479, P4 = 0.0180, P5 = 0.0067。系統(tǒng)里有6個(gè)人的概率或多于6個(gè)人的概率為0.0040。3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型77 在儲(chǔ)蓄所里使用M / M / 2模型與使用兩個(gè)M / M / 1模型，它們的服務(wù)臺(tái)數(shù)都是2，服務(wù)率和顧客到達(dá)率都一樣，只是在M / M / 2中只排一隊(duì)，在2個(gè)M / M

33、/ 1中排兩個(gè)隊(duì)，結(jié)果卻不一 樣。 M / M / 2使得服務(wù)水平有了很大的提高，每個(gè)顧客的平均排隊(duì)時(shí)間從0.75分鐘減少到0.2045分鐘，每個(gè)顧客在系統(tǒng)里逗留時(shí)間從2分鐘減少到1.4545分鐘，平均排隊(duì)的人數(shù)也從0.2250人減少到0.1227人，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)也從0.6*2=1.2人減少到0.8727人。如果把M / M / 2與原先一個(gè)M / M / 1比較，那么服務(wù)水平之間的差別就更大了。我們?cè)诘诙?jié)與第三節(jié)發(fā)現(xiàn)公式有三個(gè)公式是完全相同的，實(shí)際上這三個(gè)公式表示了任一個(gè)排隊(duì)模型（不僅僅是M/M/1或M/M/2）中，Ls,Lq,Ws,Wq之間的關(guān)系，也就是說(shuō)：3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)

34、服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型78 3多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、負(fù)指數(shù)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型對(duì)任一個(gè)排隊(duì)模型成立，這里L(fēng)s,Lq,Ws,的定義如上所述，而 應(yīng)為實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率，對(duì)于排隊(duì)長(zhǎng)度有限制的模型，我們?cè)O(shè)因排隊(duì)長(zhǎng)度的限制顧客被拒絕的概率為PN，則實(shí)際進(jìn)入系統(tǒng)平均到達(dá)率應(yīng)為 這時(shí)，原來(lái)公式中的 應(yīng)改為 。79 M / G / 1 / / 單位時(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) ，單位平均服務(wù)顧客數(shù) ， 一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間 1 / ，服務(wù)時(shí)間的均方差。數(shù)量指標(biāo)公式:1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0=1 /2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = L

35、q / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw = /7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn5單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型80 例1 某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，平均到達(dá)率為每小時(shí)20人；不清楚這個(gè)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間服從什么分布，但從統(tǒng)計(jì)分析知道售貨員平均服務(wù)一名顧客的時(shí)間為2分鐘，服務(wù)時(shí)間的均方差為1.5分鐘。試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解：這是一個(gè) M / G / 1 的排隊(duì)系統(tǒng)，其中 = 20/60 = 0.3333 人/分鐘，1/ = 2分鐘， = =0.5 人/分鐘， =1.5。P0

36、 =1 / = 0.33334,Lq =1.0412 (人),Ls = Lq + / = 1. 7078 (人), Wq = Lq / = 2.25/0.6 = 3.1241（分鐘）,Ws = Wq+ 1/ =5.1241（分鐘）,Pw = / = 0.6666。5單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型816單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型 M / D / 1 / / 注：它是 M / G / 1 / / 的特殊情況 = 0。1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0=1 /2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + /4. 顧客花在排隊(duì)上的平均等待時(shí)間 Wq = Lq

37、 / 5. 在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws = Wq+ 1/ 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw = /7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn82 例2 某汽車沖洗服務(wù)營(yíng)業(yè)部，有一套自動(dòng)沖洗設(shè)備，沖洗每輛車需要6分鐘，到此營(yíng)業(yè)部來(lái)沖洗的汽車到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，每小時(shí)平均到達(dá)6輛，試求這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)。 解：這是一個(gè) M / D / 1 排隊(duì)模型，其中 = 6輛/小時(shí)， = 60/6 =10輛/小時(shí)，得P0 =1 / = 0.4,Lq =0.45,Ls = Lq + / = 1.05, Wq = Lq / = 0.0750，Ws = Wq+ 1/ =0.1750,Pw = /

38、 = 0.6。6單服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間的排隊(duì)模型83 M / G / C / C / 注：不存在平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 和顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq。數(shù)量指標(biāo)公式: 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = / (1 Pc ) 其中Pc 是系統(tǒng)中恰好有 c 個(gè)顧客的概率，也就是系統(tǒng)里c 個(gè)服務(wù)臺(tái)都被顧客占滿的概率。 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型84例3. 某電視商場(chǎng)專營(yíng)店開(kāi)展了電話訂貨業(yè)務(wù)，到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，平均到達(dá)率為每小時(shí)16個(gè)，而一個(gè)接話員處理訂貨事宜的時(shí)間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個(gè)人每小時(shí)可以處理

39、8個(gè)訂貨電話，在此電視商場(chǎng)專營(yíng)店里安裝了一臺(tái)電話自動(dòng)交換臺(tái)，它接到電話后可以接到任一個(gè)空閑的接話員的電話上，試問(wèn)該公司應(yīng)安裝多少臺(tái)接話員的電話，使得訂貨電話因電話占線而損失的概率不超過(guò)10%。 解：這是一個(gè) M / G / C / C / 模型。當(dāng)c=3時(shí)，即正好有3位顧客的情況，7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型850.21050.1,所以不符合要求。當(dāng)c=4時(shí)，因此，設(shè)置四個(gè)電話很合適。7多服務(wù)臺(tái)泊松到達(dá)、任意的服務(wù)時(shí)間、損失制排隊(duì)模型86 M / M / 1 / / m條件：?jiǎn)挝粫r(shí)間顧客平均到達(dá)數(shù) 單位平均服務(wù)顧客數(shù) 關(guān)心的項(xiàng)目: 1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 P0 2. 系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls 4. 系統(tǒng)中顧客平均的排隊(duì)等待時(shí)間 Wq 5. 系統(tǒng)中顧客的平均逗留時(shí)間 Ws 6. 系統(tǒng)中顧客必須排隊(duì)等待的概率 Pw 7. 系統(tǒng)中恰好有 n 個(gè)顧客的概率 Pn8顧客來(lái)源有限制的排隊(duì)模型87 M /M / 1 / /m數(shù)量指標(biāo)公式:1. 系統(tǒng)中無(wú)顧客的概率 2. 平均排隊(duì)的顧客數(shù) 3. 系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls = Lq + (1-p0)4. 顧客在排隊(duì)上的平均花費(fèi)等待時(shí)間 Wq = Lq /（m-Ls)