可測函數(shù)列常見的幾種收斂

1、可測函數(shù)列常見的幾種收斂摘要：本文介紹了可測函數(shù)列常見的幾種收斂：一致收斂、幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等以及它們之間的關(guān)系關(guān)鍵字：可測函數(shù)列；一致收斂；幾乎一致收斂；幾乎處處收斂；依測度收斂、/-、-前言在數(shù)學(xué)分析中我們知道一致收斂是函數(shù)列很重要的性質(zhì)，比如它能保證函數(shù)列的極限過程和(R)積分過程可交換次序等.可是一般而言函數(shù)列的一致收斂性是不方便證明的，而且有些函數(shù)列在其收斂域內(nèi)也不一定是一致收斂的，如文中所給的例2函數(shù)f(x)在收斂域0,1內(nèi)不一致收斂，但對于一個60當(dāng)5T0時在0,5內(nèi)一致收斂，這不見說明了一致收斂的特殊性，也驗證了我們平時常說的“矛盾的同一性和矛盾的斗爭性是

2、相聯(lián)系的、相輔相成的”11可測函數(shù)列幾種收斂的定義一致收斂3設(shè)f(x),f(x),f(x),L,f(x),L是定義在點(diǎn)集E上的實(shí)值函數(shù).若對于0,存12k在KgN,使得對于VkK,VxeE都有+f(x)-f(x)則稱f(x)在E上一致收斂到f(x).記作：fif淇中u表示一致uniform).kk點(diǎn)點(diǎn)收斂若函數(shù)列f(x),f(x),f(x),L,f(x),L在點(diǎn)集DuE上每一點(diǎn)都收斂，則稱它在12kD上點(diǎn)點(diǎn)收斂.例1定義在E=0,1上的函數(shù)列f(x)=-,則f(x)在E上點(diǎn)點(diǎn)收斂到函數(shù)k1+kxk1,x=0,f(x)斗0,0 x0,f(x)在5,1上kk一致收斂到f(x)幾乎一致收斂3設(shè)E是可

3、測集，若V50,BEuE,使得m(EE)0,5t0)則f(x)在此區(qū)間上就一致收斂，像這樣的收斂我們就可以k稱之為在E=0,1上幾乎一致收斂與0.幾乎處處收斂3設(shè)f(x),f(x),f(x),L,f(x),L是定義在點(diǎn)集EuRn上的廣義實(shí)值函數(shù).若存在12kE中點(diǎn)集Z，有m(Z)=0,及對于每一個元素xeEZ,有l(wèi)imf(x)=f(x)xT8k則稱f(x)在E上幾乎處處收斂與f(x)，并簡記為fTf,a.eE或faf.TOC o 1-5 h zkkk若上文的例1也可以稱之為在0,1上幾乎處處收斂與f(x).依測度收斂例3在0,1)上構(gòu)造函數(shù)列f(x)如下：對于keN，存在唯一的自然數(shù)i和j，k

4、+使得k=2i+j,其中0j2i,令f(x)=X(x),k=1,2,L,xe0,1). HYPERLINK l bookmark20 o Current Document k3)2i2i任意給定的xe0,1),對于每一個自然數(shù)i，有且僅有一個j，使得xej,上丄).數(shù)002i2i列f(x)中有無窮多項為1，有無窮多項為0由此可知，函數(shù)列f(x)在0,1)上0k點(diǎn)點(diǎn)不收斂因此僅考慮點(diǎn)收斂將得不到任何信息然而仔細(xì)觀察數(shù)列f(x)雖然k0有無窮多個1出現(xiàn)，但是在“頻率”意義下，0卻也大量出現(xiàn)這一事實(shí)可以用點(diǎn)集測度語言來刻畫.只要k足夠大，對于088=xe0,1)|f(x)=1k=j,1)2i2i的測

5、度非常小事實(shí)上m(xe0,1)f(x)-08)=2.2i這樣對于任給的50,總可以取到k也就是取到i使得當(dāng)kk時，有0,0,0m(xe0,1)|fk(x)-0|1-6其中2-00,有l(wèi)imm(E(|f-f|8)=0,xU則稱f(x)在E上依測度收斂到函數(shù)f(x)，記為ff.Jck2可測函數(shù)列幾種收斂的關(guān)系點(diǎn)點(diǎn)收斂與一致收斂的關(guān)系由上述定義我們可以知道ff，必有f(x)點(diǎn)點(diǎn)收斂于f(x).如例1.kk反之則不一定成立，如例2.而且還可以得到若f(x)是可測集E上的可測函數(shù)列,k則f(x)也是可測函數(shù).幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系由定義可知有一致收斂必幾乎處處收斂(fTfnfTf).反之則不kk然

6、，如例2.而且還可以得到若f(x)是可測集E上的可測函數(shù)列，則極限函數(shù)f(x)k也是可測函數(shù).應(yīng)用：從數(shù)學(xué)分析我們知道一致收斂的函數(shù)列對于求極限運(yùn)算和(R)積分運(yùn)算、微分運(yùn)算與(R)積分運(yùn)算等可以交換次序.幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系葉果洛夫(EropoB)定理：設(shè)m(E)0，存在子集EuE，使fn在E上一致收斂，85且m(EE)5.5注定理中“m(E)5”不可去掉如：例4定義在E=(0,+8)的函數(shù)列I1,xe(0,mf(x)=hJ:(m=1,2,L).m0,xe(m,+s)則f在(0,+8)上處處收斂于1，但對于任何正數(shù)5及任何可測集E，當(dāng)時m5m(EE)5時，f在E上不一致收斂于1.這是

7、因為，當(dāng)時m(EE)If(x)-1|二1mmmxeE5所以f(x)在E上不一致收斂與1，也即定理中“m(E)0，存在閉子集FuE，5使f(x)在F上是連續(xù)函數(shù)，且m(EF)5.55也就是說：在e上.有限的可測函數(shù)“基本上”是連續(xù)的(在除去一個測度為任意小集合的子集上)也即我們可以用連續(xù)函數(shù)來逼近有限的可測函數(shù)幾乎處處收斂與依測度收斂的關(guān)系例5取E=(0,1,將e等分，定義兩個函數(shù):1,xe(0,1f(嘰X)斗，110,Xe(-,1f10,Xe(0,-f(1)(x)=211,Xe(2，1然后將(0,1四等分、八等分等等.一般的，對于每個n，作2n個函數(shù):n,100，Ef(n)-0Q或是空集(當(dāng)&

8、1),或是(上1，丄(當(dāng)0b)1時，左端為0).由于當(dāng)N=2n2+j(j=1,2,L,2n.)趨于g時ng，由此可見limm(Ef(n)-0)=0，Nsj也即f(n)(X)m0.j但是函數(shù)列在上的任何一點(diǎn)都不收斂.事實(shí)上，對于任何點(diǎn)Xe(0,1，無論n多么0n大，總存在j，使xe(上1，丄，因而f(n)(x)=1，然而f(n)(x)=0或f(n)(x)=0,02n2nj0j+10j-10換言之，對于任何xe(0,1，在f(n)(x)中必有兩子列，一個恒為1,另一個恒為0.所0j0以序列(1)在(0,1上任何點(diǎn)都是發(fā)散的.這也就說明依測度收斂的函數(shù)列不一定處處收斂，也就是說依測度收斂不能包含幾乎

9、處處收斂，但仍有：黎斯(FRiesz)設(shè)在E上/測度收斂于f，則存在子列f在E上.收斂nni于f.例6如例4，當(dāng)f(x)t1(nts)當(dāng)xeE.但是當(dāng)01時，mEf-1|“=(m,+s)m且m(m,+s)=s.這說明f不依測度收斂于1.n這個例子又說明了幾乎處處收斂也不包含依測度收斂，但是有下述關(guān)系：勒貝格(Lebesgue)設(shè)mEf(x).n此定理中的“mEs”不可去掉，原因參看例1.定理也說明在的在的條件mEg下，依測度收斂弱于幾乎處處收斂.有以上定理黎斯又給出了一個用幾乎處處收斂來判斷依測度收斂的充要條件：設(shè)mE0，使得m(Eff|q)不趨于0因此必有子序列f，使得nklimm(E(ff

10、q)=a0.kT8nk這樣f就不可能再有子序列幾乎處處收斂于f了，否則由勒貝格定理知將有fnknk依測度收斂于f，即limm(E(ffq)=0.kT8nk這與上式矛盾，所以f依測度收斂于f.n應(yīng)用依測度收斂在概率統(tǒng)計中有重要的意義，如例3；它也是證明中心極限定理的重要依據(jù)，由中心極限定理我們可以知道用一個正態(tài)分布來模擬一個樣本容量較大的樣本的概率分布，從而簡化了大樣本概率分布的處理和計算7.結(jié)束語結(jié)束語：上述定義中的各種收斂的極限函數(shù)都是唯一的，而且從本文還可以知道一致收斂是最強(qiáng)的收斂，它蘊(yùn)含了點(diǎn)點(diǎn)收斂、幾乎處處收斂、依測度收斂等上述幾種收斂.各種收斂都有不同的意義，在各種實(shí)踐中作用也各不同.參考文獻(xiàn)：馬克思主義基本原理概論教材編寫課題組.馬克思主義基本原理概論M.高等教育出版社，2009,7華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(第三版)M.高等教育出版社，2001,6.郭懋正.實(shí)變函數(shù)與泛函分析M.北京大學(xué)出版社，2005,