歷年高考數(shù)學(xué)真題考點(diǎn)歸納年第九章解析幾何第二節(jié)圓錐曲線2

1、歷年高考真題考點(diǎn)歸納 2022 年 第九章 解析幾何其次節(jié)圓錐曲線2 三、解答題1. （2022 上海文） 23（此題滿分 18 分）此題共有 3 個(gè)小題,第 1 小題滿分 4 分,第 2 小題滿分 6 分,第 3 小題滿分 8 分 . 2 2已知橢圓 的方程為 x2 y2 1 a b 0,A 0, b 、B 0, b 和 Q a ,0 為 的三個(gè)頂點(diǎn) . a b（1）如點(diǎn) M 滿意 AM 1 AQ AB ,求點(diǎn) M 的坐標(biāo)；2（ 2 ） 設(shè) 直 線 l 1 : y k x p 交 橢 圓 于 C 、 D 兩 點(diǎn) , 交 直 線 l 2 : y k x 于 點(diǎn) E . 如2k 1 k 2 b2

2、,證明： E 為 CD 的中點(diǎn)；a（3）設(shè)點(diǎn) P 在橢圓 內(nèi)且不在 x 軸上,如何構(gòu)作過 PQ 中點(diǎn) F 的直線 l ,使得 l 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn) 1P 、P 滿意 PP 1 PP 2 PQ PP 1 PP 2 PQ ？令 a 10,b 5,點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（-8 ,-1 ）,如橢圓 上的點(diǎn) P 、2P 滿意 PP 1 PP 2 PQ ,求點(diǎn) 1P 、P 的坐標(biāo) . 解析： 1 M a , b ；2 2y k x p2 由方程組 x 22 y2 21,消 y 得方程 a k 21 2b 2 x 22 a k px 2a 2 p 2b 2 0,a b由于直線 l 1 : y k x p 交橢圓

3、 于 C 、 D 兩點(diǎn),2 2 2 2所以 0,即 a k 1 b p 0,設(shè) C x1, y1、D x2, y2 , CD中點(diǎn)坐標(biāo)為 x0, y0 ,x 0 x 1x2p2 a k p22 2a k 1b2,就k x 02 b py 02 2a k 1b2由方程組yk xp,消 y 得方程 k2 k1 x p,yk x- 1 - 又由于k2b2,所以xp2 a k p2x 0,k2k 12 2a k 1b2 a k 1yk x2 b p2 by02 2a k 1故 E 為 CD的中點(diǎn)；3 由于點(diǎn) P 在橢圓 內(nèi)且不在 x 軸上,所以點(diǎn) F 在橢圓 內(nèi),可以求得直線 OF的斜率 k2,2由 P

4、P 1 PP 2 PQ 知 F 為 P1P2的中點(diǎn), 依據(jù) 2 可得直線 l 的斜率 k 1 b2,從而得直線 l 的a k 2方程2F 1, 1,直線 OF的斜率 k 2 1,直線 l 的斜率 k 1 b2 1,2 2 a k 2 2y 1 x 1解方程組 2 22,消 y：x 22x 48 0,解得 P1 6, 4 、P28,3 x y1100 252. （2022 湖南文） 19. （本小題滿分 13 分）為了考察冰川的融解狀況,一支科考隊(duì)在某冰川山上相距 8Km的 A、B 兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地,視冰川面為平面形,以過 A、B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸,線段 AB的垂直平分線為 y 軸建立平

5、面直角坐標(biāo)系（圖 4）；考察范疇到 A、B兩點(diǎn)的距離之和不超過 10Km的區(qū)域；（I ）求考察區(qū)域邊界曲線的方程：（II ）如圖 4 所示,設(shè)線段 P P 2 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界）,當(dāng)冰川融解時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng) 0.2km,以后每年移動(dòng)的距離為前一年的 2 倍；問：經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,點(diǎn) A 恰好在冰川邊界線上？- 2 - 3. （2022 浙江理） 21 （此題滿分15 分）已知m 1,直線l:xmym20,橢圓2C:x2y21,F F 分別為橢圓 C 的左、右焦點(diǎn) . m2（）當(dāng)直線 l 過右焦點(diǎn)F 時(shí),求直線 l 的方程；（） 設(shè)直線 l

6、與橢圓 C 交于A B 兩點(diǎn),VAF F2,VBF F2的重心分別為G H . 如原點(diǎn) O 在以線段 GH 為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m 的取值范疇 . 解析：此題主要考察橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓,點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問,同時(shí)考 察解析幾何的基本思想方法和綜合解題才能；m2（）解：由于直線l:xmy2 m0經(jīng)過F 22 m1,0,所以m21m2, 得222,- 3 - 又由于m1,所以m2,0,知m28,故直線 l 的方程為x2y220；2（）解：設(shè)A x 1,y 1,B x2,y 2；由xmy2m 2,消去 x 得22 xy1m 22y2mym2104就由m282 m12 m84且有y 1y

7、 2m,y y2m21；282由于F 1c ,0,F2 ,0,故 O 為F F 的中點(diǎn),由AG2GO BH2 HO ,可知Gx 1,y 1, x 2,y 1,3333y 2,2GH2x 1x22y 19y229設(shè) M 是 GH 的中點(diǎn),就Mx 16x 2,y 16由題意可知 2MOGH,即4x 16x 22y 16y22 x 1x 22y 1y299即x x2y y20y y 2而x x2y y2my 1m2my22 m22- 4 - 2 m1 ）2 m112 分）1a , 0相交于 B、D 兩點(diǎn),且BD82所以2 m1082即2 m4又由于m1 且0所以 1m2；所以 m 的取值范疇是1,2

8、 ；4. （2022 全國卷 2 理）（21）（本小題滿分己知斜率為1 的直線 l 與雙曲線C：x2y2a2b2的中點(diǎn)為M1,3（）求 C的離心率；（）設(shè) C的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,DFBF17,證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切【命題意圖】此題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì),考查直線與圓的關(guān)系,既考查考生的基礎(chǔ) 學(xué)問把握情形,又可以考查綜合推理的才能 . 【參考答案】- 5 - - 6 - 【點(diǎn)評(píng)】高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強(qiáng)的題目,命題者將好多考點(diǎn)以圓錐曲線為背景來考查,如向量問題、三角形問題、函數(shù)問題等等,試題的難度相對(duì)比較穩(wěn)固 . 5. （2022 陜西文） 20. （本小題滿

9、分 13 分）（）求橢圓 C的方程； 設(shè) n 為過原點(diǎn)的直線,l 是與 n 垂直相交與點(diǎn)P,與橢圓相交于立？如存在,求出直線lA,B 兩點(diǎn)的直線的方程；并說出；如不存在,請(qǐng)說明理由；- 7 - 6. （2022 遼寧文）（20）（本小題滿分12 分）b0的左、右焦點(diǎn),過F 的直線 l 與橢圓 C設(shè)F ,F 分別為橢圓C:x2y21aa2b2相交于 A , B 兩點(diǎn),直線 l 的傾斜角為 60 ,（）求橢圓 C的焦距；（）假如AF 22F B, 求橢圓 C的方程 . F 到直線 l 的距離為 2 3 . 解：（）設(shè)焦距為2c,由已知可得F 到直線 l 的距離3 c2 3,故c2.所以橢圓 C 的

10、焦距為 4. （）設(shè)A x 1,y 1,B x2,y 2,由題意知y 10,y20,直線 l 的方程為y3x2.y3x2,2b2y22 4 3 b y3 b40.1得3 a聯(lián)立x2y2a2b2- 8 - 解得y 13 b22b22 ,y23 b22b22 .C相交于 A,B 兩3 a23 a2由于AF 22F B ,所以y 12y2.即3 b22b2 23 b222 b2 .3 a223 a2得a3. 而a2b24,所以b5.故橢圓 C 的方程為2 xy21.957. （2022 遼寧理） 20 （本小題滿分12 分）設(shè)橢圓 C：x2y21 ab0的左焦點(diǎn)為F,過點(diǎn) F 的直線與橢圓a2b2點(diǎn)

11、,直線 l 的傾斜角為60 o,AF2FB . I求橢圓 C的離心率；II假如 |AB|=15 4,求橢圓 C的方程 . 解：設(shè)A x y 1,B x 2,y2,由題意知1y 0,2y 0. 2 b. （）直線l 的方程為y3xc ,其中c2 a聯(lián)立y23xc,得3a2b2y22 32 b cy3 b40 xy21a2b2解得y 13 b2c2 b2 ,y23 b2c2 b2 3 a23 a2由于AF2FB ,所以y 12y . 即3 b2cb2 23 b2cb2 3a223 a22得離心率ec2. 6 分a3- 9 - （）由于AB11y2y ,所以22 4 3 ab. 15 4. 333

12、a22 b由c2得b5a . 所以5 4a15,得 a=3,b534 12 分a3橢圓 C的方程為x2y21. 958. （2022 全國卷 2 文）（22）（本小題滿分12 分）已知斜率為1 的直線 1 與雙曲線 C：x2y21 a0,b0相交于 B、D兩點(diǎn), 且 BD的中點(diǎn)a22 b為 M（1.3 ）（）（）求 C的離心率；（）（）設(shè) C的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,|DF| |BF|=17 證明：過 A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切；【解析】此題考查了圓錐曲線、直線與圓的學(xué)問,考查同學(xué)運(yùn)用所學(xué)學(xué)問解決問題的才能；（1）由直線過點(diǎn)（ 1,3）及斜率可得直線方程,直線與雙曲線交于 BD兩點(diǎn)的中點(diǎn)為（

13、 1,3）,可利用直線與雙曲線消元后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式找出A,B 的關(guān)系式即求得離心率；（2）利用離心率將條件 |FA|FB|=17,用含 A 的代數(shù)式表示, 即可求得 A,就 A點(diǎn)坐標(biāo)可得 （1,0）,由于 A在 X 軸上所以,只要證明 2AM=BD即證得；（2022 江西理數(shù)） 21. （本小題滿分 12 分）設(shè)橢圓C 1:x2y21 ab0,拋物線C2:x2by2 b ；AMN的垂a2b2（1）如C 經(jīng)過C 的兩個(gè)焦點(diǎn),求C 的離心率；（2）設(shè) A（0,b）,Q3 3,54, 又 M、N為C 與C 不在 y 軸上的兩個(gè)交點(diǎn),如心為B0,34b,且 QMN的重心在C 上,求橢圓C 和拋物線C

14、 的方程；【解析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量,通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程；- 10 - 2 2（1）由已知橢圓焦點(diǎn) c,0 在拋物線上,可得：c b ,由22 2 2 2 c 1 2a b c 2 c , 有 2 e；a 2 22 由 題 設(shè) 可 知 M 、 N 關(guān) 于 y 軸 對(duì) 稱 , 設(shè)M x y 1 , N x y 1 x 1 0 , 由 AMN 的垂心為 B,有2 3BM AN 0 x 1 y 1 b y 1 b 0；4由點(diǎn) N x 1 , y 1 在拋物線上,x 1 2by 1 b ,解得：2y 1 b 或 y 1 b 舍去 4故 x 1 5b M 5b , b, N 5b ,

15、b,得 QMN 重心坐標(biāo) 3, b . 2 2 4 2 4 42由重心在拋物線上得：3 bb 2, 所以 b =2,M 5, 1, N 5, 1,又由于 M、4 2 22 2N在橢圓上得：a 2 16,橢圓方程為 x y1,拋物線方程為 x 22 y 4；3 16 439. （2022 安徽文數(shù)） 17、（本小題滿分 12 分）橢圓 E 經(jīng)過點(diǎn) A 2,3,對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn) F F 在 x 軸上,離心率 e 1；2 求橢圓 E 的方程； 求 F AF 的角平分線所在直線的方程；【命題意圖】 此題考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì),直線的點(diǎn)斜式方程與一般方程,點(diǎn)到直線的距離公式等基

16、礎(chǔ)學(xué)問；考查解析幾何的基本思想、綜合運(yùn)算才能 . 2 2【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓方程為 x2 y2 1,把點(diǎn) A 2,3 代入橢圓方程,把離心率 e 1用a b 2a c 表示,再依據(jù) a 2b 2c ,求出 2a 2, b ,得橢圓方程； （2）可以設(shè)直線 2 l 上任一點(diǎn)坐標(biāo)為 , x y ,依據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得 |3 x 4 y 6 | | x 2 | . 5解：（）設(shè)橢圓 E 的方程為- 11 - 2 2x y2 2 1.a b2 2由 e 1, 得 c 1, b 2a 2c 23 c 2, x2 y2 1.2 a 2 4 c 3 c將（ 2,3）代入,有 12 32

17、1, 解得：c 2, 橢圓 E 的方程為c c2 2x y1.16 123 由（ ）知 F 1 2,0, F 2 2,0, 所以直線 AF 1 的方程為 y= x 2,4即 3 x 4 y 6 0. 直線 AF 2 的方程為 x 2. 由橢圓 E 的圖形知,F 1 AF 2 的角平分線所在直線的斜率為正 數(shù)；3 x 4 y 6設(shè)P（x,y ）為 F 1 AF 2 的角平分線所在直線上任一點(diǎn),就有 x 25如 3 x 4 y 6 5 x 10, 得 x 2 y 8 0, 其斜率為負(fù),不合題意,舍去；于是 3x-4y+6=-5x+10, 即2x-y-1=0.所以,F 1 AF 2 的角平分線所在直

18、線的方程為 2x-y-1=0.2 2【規(guī)律總結(jié)】對(duì)于橢圓解答題,一般都是設(shè)橢圓方程為 x2 y2 1,依據(jù)題目滿意的條件求a b2 2出 a , b ,得橢圓方程,這一問通常比較簡(jiǎn)潔；（2）對(duì)于角平分線問題,利用角平分線的幾何意義,即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得方程 . 10. （ 2022 重慶文數(shù)）（ 21）（本小題滿分 12 分,（）小問 5 分,（）小問 7 分. ）已知以原點(diǎn) O 為中心,F 5,0 為右焦點(diǎn)的雙曲線 C 的離心率 e 5. 2（）求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（）如題（21）圖,已知過點(diǎn) M x 1 , y 1 的直線 1l ：x x 4 y y 4

19、與過點(diǎn) N x 2 , y 2 （其中 x 2 x ）的直線 2l ：x x 4 y y 4 的交點(diǎn) E 在雙曲線 C 上,直線 MN 與雙曲線的兩條漸近線分別交于 G 、 H 兩點(diǎn),求 OG OH 的值 . - 12 - - 13 - 11.（ 2022 浙江文）（22）、（此題滿分15 分）已知 m是非零實(shí)數(shù),拋物線C:y22ps （p0）的焦點(diǎn) F 在直線l:xmy2 m0上；2（I ）如 m=2,求拋物線C的方程（II ）設(shè)直線 l 與拋物線 C交于 A、B, AA F ,BB F 的重心分別為G,H 求證：對(duì)任意非零實(shí)數(shù)m,拋物線 C的準(zhǔn)線與 x軸的焦點(diǎn)在以線段GH為直徑的圓外；-

20、14 - 12. （ 2022 重慶理）（20）（本小題滿分 12 分,（I ）小問 5 分,（II ）小問 7 分）已知以原點(diǎn)O 為中心,F5,0為右焦點(diǎn)的- 15 - 雙曲線 C的離心率e5；4與過點(diǎn)N x 2,y 2（其2（I ）求雙曲線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程；（II ）如題（20）圖,已知過點(diǎn)M x y 1 1的直線l1:x x4y y中2xx ）的直線l2:x x4y y4的交點(diǎn) E 在雙曲線C 上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點(diǎn),求OGH 的面積；- 16 - 13. （ 2022 北京文）（19）（本小題共14 分）,直線 y=t 橢圓 C交已知橢圓 C的左、右焦點(diǎn)

21、坐標(biāo)分別是2,0 , 2,0 ,離心率是63與不同的兩點(diǎn)M,N,以線段為直徑作圓P, 圓心為 P；（）求橢圓C的方程；（）如圓P 與 x 軸相切,求圓心P 的坐標(biāo)；（）設(shè) Q（ x,y）是圓 P上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)t 變化時(shí),求y 的最大值；解：（）由于c6,且c2,所以a3,ba22 c1a3所以橢圓 C的方程為x2y213- 17 - （）由題意知 p 0, 1 t 1y t由 x 2y 21 得 x 31 t 2 3所以圓 P 的半徑為 31 t 2 3 3解得 t 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（ 0,）2 22 2 2（）由（）知,圓 P 的方程 x y t 31 t ；由于點(diǎn) Q x y 在圓 P

22、上；所以y t 31 t 2 x 2 t 31 t 2 設(shè) t cos , 0, ,就 t 31 t 2 cos 3sin 2sin 6當(dāng),即 t 1,且 x 0, y 取最大值 2. 3 214. （ 2022 北京理）（19）（本小題共 14 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,點(diǎn) B 與點(diǎn) A（-1,1 ）關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱, P 是動(dòng)點(diǎn),且直線 AP與 BP的斜率之積等于 1. 3 求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； 設(shè)直線 AP和 BP分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M,N,問：是否存在點(diǎn) P 使得 PAB與 PMN的面積相等？如存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；如不存在,說明理由；（I ）解：由于點(diǎn) B 與

23、 A 1,1 關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱,所以點(diǎn) B 得坐標(biāo)為 1, 1 . 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 , 由題意得y1y111. 4x13,yM, 3,y N. x1x13化簡(jiǎn)得x23y24x故動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程為2 x3y2（II ）解法一：設(shè)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為x0,y 0,點(diǎn) M , N 得坐標(biāo)分別為就直線 AP 的方程為y1y 01x1y011x1,直線 BP 的方程為yx 01x 01- 18 - 令x3得y M4y 00 x 03,yN2y0 x03. 33. x1x 01于是PMN 得面積SPMN1 | 2yMy N| 3x 0|x 0|y 0| 3x 02x 021|又直線 AB 的方程為xy

24、0, |AB| 22,點(diǎn) P 到直線 AB 的距離d|x 0y0|. 2于是PAB 的面積SPAB1 | 2AB d|x 0y 0|當(dāng)SPABSPMN時(shí),得|x 0y 0|x 0|y 0|3x 02x 021|又|x0y 0| 0,所以3x02=|x021|,解得|x 05；3由于x 023y024,所以y 0339故存在點(diǎn) P 使得PAB 與PMN 的面積相等,此時(shí)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為5,39解法二：如存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x 0,y0就1 2|PA| |PB|sinAPB1|PM| |PN|sinMPN . 2由于 sinAPBsinMPN , 所以| PA| PM

25、|PN|PB|所以|x01|3x0| 3x 0|x1|即3x 02|x021|,解得x053- 19 - 由于x 023y024,所以y 033 9PMN 的 面 積 相 等 , 此 時(shí) 點(diǎn) P 的 坐 標(biāo) 為故 存 在 點(diǎn) P S 使 得PAB 與5,3 3. 3915. （ 2022 四川理）（20）（本小題滿分12 分）已知定點(diǎn) A 1,0 ,F2 ,0 ,定直線 l ： x1 2,不在 x 軸上的動(dòng)點(diǎn) P 與點(diǎn) F 的距離是它到直線 l 的距離的 2 倍. 設(shè)點(diǎn) P 的軌跡為 E,過點(diǎn) F 的直線交 E 于 B、C兩點(diǎn),直線 AB、AC分別交 l 于點(diǎn) M、N（）求 E的方程；（）試判

26、定以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F,并說明理由 . 本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)學(xué)問,考察平面機(jī)突擊和的思想方法及推理運(yùn)算才能 . 解： 1 設(shè) P x, y ,就x22y22 |x1|4 分2化簡(jiǎn)得 x2y2=1 y 0 32 當(dāng)直線 BC與 x 軸不垂直時(shí),設(shè)與雙曲線 x 2y2=1 聯(lián)立消去 y 得3BC的方程為 yk x2 k 0 3 k 2x 24k 2x4 k 23 0 由題意知 3k 2 0 且 0 設(shè) B x1, y1, C x2, y2 ,24 kx 1 x 2 2就 k 32x x 1 2 4 k2 3k 3y1y2 k 2 x12 x22 k 2 x1x22

27、x1x2 4 2 2 k 2 4 k2 3 82 k4 k 3 k 3- 20 - k9 k223由于 x1、x2 1 所以直線 AB的方程為 yy 11 x1 3 ,2 23y 21x 1因此 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 , 2 23y 11 x 1FM3 ,2 23y 11, 同理可得FNx 1x 2因此FM FN322x 19y y 2121x 21444k281 k2k232 k33 49k23k20 當(dāng)直線 BC與 x 軸垂直時(shí),起方程為x2,就 B2,3,C2, 3 AB的方程為 yx 1, 因此 M點(diǎn)的坐標(biāo)為 1 3 ,2 2 ,FM3 3 , 2 2同理可得FN3 ,23 223 233

28、 20 因此FM FN2綜上 FMFN 0,即 FMFN故以線段 MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn) F 12 分16. （ 2022 天津文）（21）（本小題滿分 14 分）已知橢圓2 xy21（ab0）的離心率e=3,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為a2b224. （）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B,已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ -a ,0）. - 21 - （i ）如|AB |=4 2,求直線 l 的傾斜角；QA QB=4 . 求 y 0 的值 . 5（ii ）如點(diǎn) Q（ 0,y0）在線段 AB的垂直平分線上,且【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間

29、的距離公式、直線的傾斜角、平面對(duì)量等基礎(chǔ)學(xué)問,考查用代數(shù)方法討論圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想,考查綜合分析與運(yùn)算才能. 滿分 14 分. ,直線 l（）解：由e=c3,得3a22 4 c . 再由c2a22 b ,解得 a=2b. a2由題意可知1 22 a2 b4,即 ab=2. 解方程組a2 ,得 a=2,b=1. ab2,所以橢圓的方程為x2y21. 4 i解：由（）可知點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（ -2,0 ）. 設(shè)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為x y 1的斜率為 k. 就直線 l 的方程為 y=k（x+2）. y k x 2,于是 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程組 x 22 消去 y 并整理,得y 1.42 2

30、 2 21 4 k x 16 k x 16 k 4 0 . 2 2由 2 x 1 16 k2 4,得 x 1 2 8 k2 . 從而 y 1 4 k2 . 1 4 k 1 4 k 1 4 k2 2 2 2所以 | AB | 2 2 8 k2 4 k2 4 1 k2 . 1 4 k 1 4 k 1 4 k2由 | AB | 4 2,得 4 1 k2 4 2. 5 1 4 k 5整理得 32 k 49 k 223 0,即 k 2132 k 223 0,解得 k= 1. 所以直線 l 的傾斜角為 或3 . 4 4- 22 - （ii ）解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為 M,由（ i ）得到 M的坐標(biāo)為8 k2

31、2,12 k2. 1 4k4 k以下分兩種情形：（1）當(dāng) k=0 時(shí),點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 2,0 ）,線段 AB的垂直平分線為 y 軸,于是QA 2, y 0 , QB 2, y 0 . 由 QA QB 4,得 y 0 2 2；（2）當(dāng) k 0 時(shí),線段 AB的垂直平分線方程為 y 2 k2 1x 8 k 22；1 4 k k 1 4 k令 x 0,解得 y 01 64 kk 2；由 QA 2, y 0,QB x y 1 y 0,2 2 8 k 26 k 4 k 6 kQA QB 2 x 1 y 0 y 1 y 0 2 2 2 21 4 k 1 4 k 1 4 k 1 4 k4 24 16 k

32、 15 k 12 2 4,1 4 k整理得 7 k 22；故 k 14；所以 y 0 2 14；7 5綜上,y 0 2 2 或 y 0 2 14517. （ 2022 天津理）（20）（本小題滿分 12 分）已知橢圓x2y21 ab0）的離心率e3,連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為a2b224；（1）求橢圓的方程；A B ,已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （a,0）,點(diǎn)Q0,y0（2）設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)在線段 AB 的垂直平分線上,且QA QB4,求y 的值【解析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線的方程,平面對(duì)量等基礎(chǔ)學(xué)問,考查用代數(shù)方法討論圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想

33、,考查運(yùn)算和推理才能,滿分 12 分- 23 - （1）解：由ec3,得3 a242 c ,再由c2a22 b ,得a2 ba2由題意可知,1 22 a2 b4, 即ab2解方程組a2 b得 a=2,b=1 ab2所以橢圓的方程為x2y2142 解：由（ 1）可知 A（-2,0 ）；設(shè) B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ x1,y1）, 直線 l 的斜率為 k,就直線 l 的方程為 y=kx+2, yk x2,16 k240于是 A,B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程組x2y214由方程組消去Y并整理,得14 k2x2162 k x由2x 116k2k4,得412x 128k2,從而y 114kk2,218 k222k14k

34、4設(shè)線段 AB是中點(diǎn)為 M,就 M的坐標(biāo)為4k14k2以下分兩種情形：（1）當(dāng) k=0 時(shí),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2,0 ）；線段 AB的垂直平分線為y 軸,于是QA 2,y ,QB2,y 0）由QA QB=4,得y0=22x18 k22（2）當(dāng) K0時(shí),線段 AB的垂直平分線方程為Y12kk214k4k令 x=0,解得y 016kk216k24由QA 2,y ,QBx y 1y ）QA QB2x 1y 0y 1y 0）=228k216k214 k214 k24 k4k4k- 24 - =416 k415k2142 14 514 分）14k22整理得7k22,故k14所以y0=7綜上y0=22

35、或y0=2 14518. （ 2022 廣東理） 21 （本小題滿分設(shè) A x 1 , y ,B x 2 , y 是平面直角坐標(biāo)系 xOy 上的兩點(diǎn),先定義由點(diǎn) A 到點(diǎn) B 的一種折線距離 pA,B 為 P A B | x 2 x 1 | | y 2 y 1 | . 當(dāng)且僅當(dāng) x x 1 x 2 x 0, y y 1 y 2 y 0 時(shí)等號(hào)成立,即 A B C 三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立 . （2）當(dāng)點(diǎn) Cx, y 同時(shí)滿意 P A C +P C B = P A B , P A C = P , C B 時(shí),點(diǎn) C是線段 AB 的中點(diǎn) . x x 1 x 2, y y 1 y 2,即存在點(diǎn) C x 1

36、 x 2, y 1 y 2 滿意條件；2 2 2 219. （ 2022 廣東理） 20（本小題滿分為 14 分）2x 2一條雙曲線 y 1 的左、右頂點(diǎn)分別為 A1,A2,點(diǎn) P x 1 , y 1 ,Q x 1 , y 1 是雙曲線上不2- 25 - 同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；（1）求直線 A1P與 A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式；l1l2 , 求（2）如過點(diǎn)H0, h（h1）的兩條直線l 1 和 l 2與軌跡 E 都只有一個(gè)交點(diǎn),且h 的值；故y21 2x22,即2 xy21；2（2）設(shè)l1:ykxh ,就由l1l 知,l2:y1xh；0,即,即k21,從而k將l1:ykxh 代入x2y21得h220,

37、2x2kxh 21,即12k2x24khx22由 1l 與 E只有一個(gè)交點(diǎn)知,162 k h2412k22h2212k22 h ；2 h,消去2 h 得12 k同理,由2l 與 E 只有一個(gè)交點(diǎn)知,121k2k2h212k23,即h3；20. （ 2022 廣東文） 21. （本小題滿分14 分）已知曲線C n:ynx2, 點(diǎn)P nxn,ynxn0 ,y n0是曲線C 上的點(diǎn)n,12 ,.,- 26 - - 27 - 21. （ 2022 福建文） 19（本小題滿分 12 分）已知拋物線 C：y 22 px p 0 過點(diǎn) A （1 , -2）；（I ）求拋物線 C 的方程,并求其準(zhǔn)線方程；（I

38、I ）是否存在平行于 OA（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線 L,使得直線 L 與拋物線 C有公共點(diǎn),5且直線 OA與 L 的距離等于？如存在,求直線 L 的方程；如不存在,說明理由；5- 28 - 22. （ 2022 全國卷 1 理）（21） 本小題滿分 12 分2已知拋物線 C : y 4 x 的焦點(diǎn)為 F,過點(diǎn) K 1,0 的直線 l 與 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn),點(diǎn)A 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為 D. （）證明：點(diǎn) F 在直線 BD上；（）設(shè) FA FB 8,求 BDK 的內(nèi)切圓 M的方程 . 9- 29 - 23. （ 2022 湖北文） 20. （本小題滿分13 分）F（1,0 ）的距離減去

39、它到y(tǒng) 軸距離的差都已知一條曲線C 在 y 軸右邊, C 上沒一點(diǎn)到點(diǎn)是 1；（）求曲線C的方程M（m,0）且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B 的任始終線,都（）是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)有 FA.FB 0？如存在,求出m的取值范疇；如不存在,請(qǐng)說明理由；24. （ 2022 山東理）（21）（本小題滿分 12 分）如圖,已知橢圓 x 2 y 2 1 a 0 的離心率為 2,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)a 2 b 2 2F 1 , F 為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為 4 2 1 . 一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè) P 為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線 PF 和 PF 與橢圓的交點(diǎn)分別為 A、B 和

40、C、D . （）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線PF 、PF 的斜率分別為1k 、k ,證明k k21；- 31 - （）是否存在常數(shù),使得 AB CD ABCD 恒成立？如存在,求 的值；如不存在,請(qǐng)說明理由 . 【解析】（）由題意知,橢圓離心率為 c 2,得 a 2 c ,又 2 a 2 c 4 2 1 ,所a 22 2以可解得 a 2 2,c 2,所以 b 2a 2c 24,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x y 1；所8 4以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ,0）,由于雙曲線為等軸雙曲線,且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21；44- 32 - 【命題意圖】此題考查了橢圓的定義、離心

41、率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 是一道綜合性的試題,考查了同學(xué)綜合運(yùn)用學(xué)問解決問題的才能；其中問題 （3）是一個(gè)開放性問題,考查了同學(xué)們觀看、推理以及制造性地分析問題、解決問題的才能,25. （ 2022 湖南理） 19. （本小題滿分 13 分）為了考察冰川的融解狀況,一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km 的 A,B 兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基地；視冰川面為平面形,以過 A,B 兩點(diǎn)的直線為 x 軸,線段 AB的的垂直平分線為 y 軸建立平面直6 5角坐標(biāo)系 （圖 6）在直線 x=2 的右側(cè), 考察范疇為到點(diǎn) B 的距離不超過 5 km區(qū)域；在直線 x=2- 33 - 的左側(cè),考察范疇為到A,B 兩點(diǎn)的距離之和不超過4 5 km區(qū)域；（）求考察區(qū)域邊界曲線的方程；（）如圖6 所示,設(shè)線段P1P2,P2P3 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界線）,當(dāng)冰川融化時(shí),邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng),第一年移動(dòng)0.2km, 以后每年移動(dòng)的距離為前一年的2 倍,求冰川邊界線移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間；域化區(qū)P 2-8 3,P38,6 3融（已冰B（4,0）x 5 3 ,-1）P1A（-4,0）- 34 - - 35 - 26. （ 2022 湖北理） 19 本小題滿分12 分 F（