周期信號(hào)的傅里葉變換

1、復(fù)習(xí)1、周期信號(hào)的傅里葉變換2、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系一、頻率響應(yīng) 傅里葉分析是將信號(hào)分解為眾多不同頻率 的虛指數(shù)函數(shù)之和（積分），因此首先討論虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)引起的響應(yīng)(零狀態(tài)）；再討論任意信號(hào)作用系統(tǒng)所引起的響應(yīng)，得出響應(yīng)的頻域求解方法；從而引出頻域中反映系統(tǒng)特性的函數(shù)-頻率響應(yīng)（函數(shù)）。 前面我們討論了信號(hào)的頻域分析，本節(jié)將研究系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系，即系統(tǒng)的頻域分析。 4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析1、 虛指數(shù)函數(shù) 作用于LTI系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)虛指數(shù)函數(shù)作用于 LTI系統(tǒng)所引起 的響應(yīng)（零狀態(tài)）是系數(shù)為 的同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，僅是幅度及相位發(fā)生變化，但頻率

2、不變。 。系統(tǒng)的沖激響應(yīng)是當(dāng)激勵(lì)為任意信號(hào) ，由式 得2、任意信號(hào)輸入時(shí)的響應(yīng)若令響應(yīng) 的頻譜函數(shù)為 ，則由上式得 頻率響應(yīng)（函數(shù)）（有時(shí)也稱為系統(tǒng)函數(shù)）可定義 為系統(tǒng)響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）的傅里葉變換 與激勵(lì)的傅里葉變換 之比，即 令 則有3、頻率響應(yīng)的定義稱為系統(tǒng)的幅頻特性或幅頻響應(yīng)稱為系統(tǒng)的相頻特性或相頻響應(yīng) 是 的偶函數(shù)， 是 的奇函數(shù)。幅頻特性代表系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)放大或衰減的倍數(shù).幅頻特性和相頻特性的物理含義:相頻特性代表系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)相移的大小. 利用頻域函數(shù)分析系統(tǒng)問題的方法，常稱為頻域分析法或傅里葉變換法。4、頻域分析時(shí)域分析與頻域分析的關(guān)系如以下圖所示。圖4.7-1

3、 頻域分析示意圖LTI系統(tǒng)5、例題例4.7-1 某LTI系統(tǒng)的幅頻響應(yīng) 和相頻響應(yīng) 如 下圖所示。若系統(tǒng)的激勵(lì) ， 求系統(tǒng)的響應(yīng)。 書上介紹了兩種方法,一種是傅里葉級(jí)數(shù)法;一種是傅里葉變換法;但對(duì)于周期信號(hào)還有一種方法-正、余弦函數(shù)響應(yīng)法。解法三：正、余弦函數(shù)響應(yīng)法本題例4.7-2 描述某系統(tǒng)的微分方程為 求輸入 時(shí)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解: 令 ， 對(duì)方程取傅里葉變換，得由上式可得該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)取傅里葉逆變換得例4.7-3 如下圖所示的 電路，若激勵(lì)電壓源 為 單位階躍函數(shù) ，求電容電壓 的零狀態(tài)響應(yīng)。+ -us(t )R+Cuc(t )-us(t )=U(t)t10uc(t)t10圖4.

4、7-3解: 圖中網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)函數(shù)或稱轉(zhuǎn)移函數(shù)為式中 。 例4.7-4 如以下圖所示的系統(tǒng)， 乘法器的輸入 系統(tǒng)的頻率響應(yīng) ， 求輸出 。解: 由圖可知，乘法器的輸出信號(hào) ， 依頻域卷積定理可知，其頻譜函數(shù) 令 ， 根據(jù)對(duì)稱性可得 解：的頻譜函數(shù) 取上式的傅里葉逆變換 ：二、無失真?zhèn)鬏?所謂無失真?zhèn)鬏斒侵篙敵雠c輸入相比，只有幅度 大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒有波形上的變化。問：LTI系統(tǒng)的 應(yīng)滿足什么條件，才能夠?qū)崿F(xiàn)無失真?zhèn)鬏斝盘?hào)？ 應(yīng)滿足： LTI幅頻特性是常數(shù)；相頻特性是通過原點(diǎn)的直線斜率的 負(fù)值為延遲時(shí)間圖 4.7-5 無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng) 的幅頻特性和相頻特性0 以上是無失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件

5、。一般對(duì)限帶信號(hào)而言，只要在信號(hào)有限帶寬內(nèi)滿足該條件即可實(shí)現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敗o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的理想條件是: 幅頻特性為常數(shù);相頻特性為過原點(diǎn)的直線.即對(duì)所有頻率成分具有相同的時(shí)移.三、 理想低通濾波器 的響應(yīng)具有如下圖的幅頻特性和相頻特性的系統(tǒng)理想低通濾波器。 圖 4.7-6 理想低通濾波器的幅頻特性和相頻特性01-cc或-1根據(jù)傅里葉變換的對(duì)稱性可知，由1、理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 是頻率響應(yīng)函 數(shù) 的傅里葉逆變換，因此，理想低通濾波 器的沖激響應(yīng) ：再由時(shí)移特性，得理想低通濾波器的沖激響應(yīng)： -1我們可以畫出其波形，見下頁(yè)：其波形如下圖所示。由圖可見，理想低通濾波器的沖

6、 激響應(yīng)的峰值比輸入的 延遲了 。0ttd(a) 沖激響應(yīng)0ttd(a) 沖激響應(yīng)思考：為什么理想低通的沖激響應(yīng)會(huì)是取樣函數(shù)的形式？當(dāng) 增大，對(duì)響應(yīng)有何影響？當(dāng) 時(shí)，響應(yīng)趨于什么形式？01-cc2、理想低通濾波器的階躍響應(yīng) 令正弦積分， 下面就來畫出階躍響應(yīng)的波形。先畫出 ，再做尺度變換得到 最后畫出 。正弦積分， 0t1td0.5g (t )tr-0.08951.0895圖 4.7-7 理想低通濾波器的階躍響應(yīng)0ttdh (t )下面我們討論幾個(gè)問題: 上升時(shí)間; 最大值; 吉布斯現(xiàn)象; 因果性;由上圖可見，在 處階躍響應(yīng)上升最快，如果定 義信號(hào)的上升或稱建立時(shí)間 為 在 處的 斜率的倒數(shù)，

7、那么上升時(shí)間 為：可見，濾波器的通帶愈寬，即截止頻率愈高，其階躍響應(yīng)上升時(shí)間愈短，波形愈陡峭。1、階躍響應(yīng)的上升時(shí)間與系統(tǒng)的通帶寬度成反比。它與濾波器的通帶寬度無關(guān)。因此，增大濾波器的通 帶，不能減小過沖的幅度，僅能使其更靠近 處。3、當(dāng)從某信號(hào)的傅里葉變換恢復(fù)或逼近原信號(hào)時(shí)， 如果原信號(hào)包含間斷點(diǎn)，那么，在各間斷點(diǎn)處，其 恢復(fù)的信號(hào)將出現(xiàn)過沖，這種現(xiàn)象稱為吉布斯現(xiàn)象。4、理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的。2、 理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的。但傳輸特性接近于理想特性的電路卻不難構(gòu)成。 為了能根據(jù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)判斷系統(tǒng)是否物理可實(shí)現(xiàn)的，就希望找到物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)特性所滿足的條件。時(shí)域來說：且頻域來說：稱為佩利維納