2021高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊教案1.4.2充要條件

1、第一章 集合與常用邏輯用語1.4.2 充要條件教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標1. 理解充要條件的意義；2. 會判斷充要條件、充分不必要條件、必要不充分條件、既不充分也不必要條件.二、教學(xué)重難點1. 教學(xué)重點對充分、必要、充要條件的判斷與證明.2. 教學(xué)難點對充分、必要、充要條件的判斷與證明，并根據(jù)不同條件求參數(shù)的值或范圍.三、教學(xué)過程（一）新課導(dǎo)入在上節(jié)課的時候我們學(xué)習(xí)了命題的充分條件和必要條件，那我們在學(xué)習(xí)充要條件之前先復(fù)習(xí)一下上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.“如果 p 可以推出 q，那 p 是什么條件，q 又是什么條件? ”老師引導(dǎo)學(xué)生回答.接下來我們在看書中的思考，其中提到了逆命題，那我們先來回想一下，什么是逆

2、命題，老師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)言，并總結(jié)（命題“若 p，則 q”的逆命題為“若 q，則 p”）.同學(xué)們要記住，將命題“若 p，則 q”中的條件 p 和結(jié)論 q 互換，就得到一個新的命題“若 q， 則 p”，稱這個命題為原命題的逆命題.（二）探索新知思考下列“若 p，則 q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；(3)若一元二次方程 ax2+bx+c=0 有兩個不相等的實數(shù)根，則 ac0；(4)若 AB 是空集，則 A 與 B 均是空集.先引導(dǎo)學(xué)生回答出四個逆命題分別是什么，

3、在判斷真假.(1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；- 1 -(3)若 ac0，q：x0，y0；(4) p：x=1 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一個根，q：a+b+c=0（a0）.解：(1)因為對角線互相垂直且平分的四邊形不一定是正方形（也可能是菱形），所以q p，所以 p 不是 q 的充要條件.(2)因為“若 p，則 q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若 q，則 p”是相似三角形的判定定理，所以它們均為真命題，即p q，所以 p 是 q 的充要條件.(3)因為 xy0 時，x0，y0 不一定成立（因為

4、xy0 時，也可能 x0，yOP=r.所以，除點 P 外直線 l 上的點都在O 的外部，即直線 l 與O 僅有一個公共點 P，所以直線 l與O 相切.(2)必要性( q p )：若直線 l 與O 相切，不妨設(shè)切點為 P，則 OPl.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r 是直線 l 與O 相切的充要條件.規(guī)律總結(jié)：1.設(shè)原命題為“若 p，則 q”，則逆命題為“若 q，則 p”，得 p 與 q 的關(guān)系有以下四種情形：- 3 -原命題逆命題p 與 q 的關(guān)系結(jié)論真假p q，但q pp 是 q 的充分不必要條件；q 是 p 的必要不充分條件假真q p ，但 p qp 是 q 的必要不充分條

5、件；q 是 p 的充分不必要條件p q 且 q p ，真真p 與 q 互為充要條件即 p q假假p q 且 q pp 是 q 的既不充分也不必要條件；q 是 p 的既不充分也不必要條件2.充分條件與必要條件的傳遞性充分、必要、充要條件都具有傳遞性，具體如下：(1)若 p q ， q s ，則有 p s ，即 p 是 s 的充分條件；(2)若 q p ， s q ，則有 s p ，即 p 是 s 的必要條件；(3)若 p q ， q s ，則有 p s ，即 p 是 s 的充要條件.（三）課堂練習(xí)1. 下列各題中，哪些 p 是 q 的充要條件？（1）p：三角形為等腰三角形，q：三角形存在兩角相等

6、；（2）p：O 內(nèi)兩條弦相等，q：O 內(nèi)兩條弦所對的圓周角相等；（3）p：AB 為空集，q：A 與 B 之一為空集.解：（1）p q，所以 p 是 q 的充要條件；（2）O 內(nèi)兩條弦相等，它們所對的圓周角相等或互補，因此，p q ，所以 p 不是 q 的充要條件；（3）取 A=1，2，B=3，顯然，AB= ，但 A 與 B 均不為空集，因此 p 不是 q 的充要條件；2. 分別寫出“兩個三角形全等”和“兩個三角形相似”的幾個充要條件.解：“兩個三角形全等”的充要條件如下：p q，所以- 4 -三邊對應(yīng)相等；兩邊及其夾角對應(yīng)相等；兩角及其夾邊對應(yīng)相等；兩角及一角的對 邊對應(yīng)相等.“兩個三角形相似

7、”的充要條件如下：三個內(nèi)角對應(yīng)相等（或兩個內(nèi)角對應(yīng)相等）；三邊對應(yīng)成比例；兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等.3. 證明：如圖，梯形 ABCD 為等腰梯形的充要條件為 AC=BD.證明：（1）必要性：在等腰梯形 ABCD 中，AB=CD，ABC=DCB，又BC=CB，BACCDB(SAS)， AC=BD.（2）充分性：如圖，過點 D 作 DEAC，交 BC 的延長線與點 E. ADBE，DEAC，四邊形 ACED 是平行四邊形，DE=AC. AC=BD，BD=DE，E=1.又ACDE，2=E，1=2.AC DB ,在ABC 和DCB 中， 21,BC CB ,ABCDCB.ABC=DCB. 梯形 ABCD 為等腰梯形.由(1)(2)可得，梯形 ABCD 為等腰梯形的充要條件為 AC=BD. （四）小結(jié)