華師一附中屆高三第一輪復(fù)習(xí)教案第二講絕對(duì)值不等式

1、其次講 肯定值不等式教學(xué)目的：懂得肯定值的定義及幾何意義,并能求解和證明簡(jiǎn)潔的含肯定值的不等式教學(xué)重點(diǎn)：求解和證明簡(jiǎn)潔的含肯定值的不等式教學(xué)難點(diǎn)：懂得和敏捷應(yīng)用重要的不等式 | a | | b | | a b | | a | | b |【學(xué)問(wèn)概要】學(xué)問(wèn)點(diǎn) 1 肯定值的定義|a|a ,a0,正數(shù)的肯定值是它的本身,負(fù)數(shù)的肯定值是它的相反數(shù),零的肯定值仍是零即0,a0,a a0.肯定值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的肯定值,是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離去掉肯定值符號(hào)的方法：方法一：利用定義去掉肯定值符號(hào)；方法二：利用平方去掉肯定值符號(hào)（a22 a aR ）關(guān)于含有肯定值的不等式的問(wèn)題,主要包括兩類：一類是解

2、不等式,另一類是證明不等式；學(xué)問(wèn)點(diǎn) 2 含肯定值的不等式的性質(zhì)bb；（ 1）a bab;aab0bb（ 2） |a|b| |ab| |a|b|證： 假如ab0,那么aba.b所以ababab.假如ab0,那么abab .所以abab aba 依據(jù)的結(jié)果,有abbabb,就是,abba；aba當(dāng)ab b0時(shí),左邊等號(hào)成立；當(dāng)ab0 時(shí),右邊等號(hào)成立|a|b| |ab| |a| |當(dāng)ab b0時(shí),左邊等號(hào)成立；當(dāng)ab0時(shí),右邊等號(hào)成立|a|b|ab| |a| | b 學(xué)問(wèn)點(diǎn) 3 簡(jiǎn)潔肯定值不等式的解法|x|aa 0 xa 或 x-a；|x| aa 0-axa |ax+b| c 或|ax+b| cc

3、 0類型的不等式的解法：|ax+b| cc 0ax+b c 或 ax+b -c；|ax+b| cc0-cax+b c. 【基礎(chǔ)題典例解析】例 1 （解肯定值得不等式）或解不等式：（1）|x+2|-|2x- 1| 1（2）|x211x21|x解：（1）零點(diǎn)區(qū)間爭(zhēng)論法；原不等式等價(jià)于：xx,22 x112 x22x2x1,或x1,2x1 1.；解之得 或0 x1 或 21 x2,即 0 x2；原不等式的解 22211x2集為0, 2；x3 ,x22 1及y.1在同一坐標(biāo)系中作出上解法二：數(shù)形結(jié)合,構(gòu)造函數(shù)：y=|x+2|-|2x-1|=3x,1x2述兩個(gè)函數(shù)的圖像,可由圖像得原不等式的解為：x3,

4、x120 x2；指出： 解法一：（分類爭(zhēng)論思想） ：令每個(gè)肯定值符號(hào)里的一次式為0,求出相應(yīng)的根；把這些根由小到大排序,它們把實(shí)數(shù)軸分成如干個(gè)小區(qū)間；在所分區(qū)間上,依據(jù)肯定值的定義去掉肯定值符號(hào),爭(zhēng)論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集；這些解集的并集就是原不等式的解集；解法二：（函數(shù)與方程思想） ：構(gòu)造函數(shù) f x | x a | | x b | c,寫出 f x 的分段解析式作出圖象,找出訪 f x 0（或 f x 0）的 x 的取值范疇即可；解法三：（數(shù)形結(jié)合思想）利用肯定值的幾何意義求解,| x a | | x b | 表示數(shù)軸上點(diǎn) Px到點(diǎn) Aa、Bb距離的和；關(guān)鍵找出到 A、B 兩點(diǎn)距離

5、之和為 c 的點(diǎn), “”取中間, “”取兩邊；x 0（ 2）不等式同解于 x 0 或x 211 x 21 x 或 x 211 x 21 x,解得 x 0 或 3 x 7 或0 x 6 15 或 x 6 15 . 原不等式的解集為 , 6 15 3 7, 6 15 , ；例 2 （解肯定值得不等式）當(dāng)1設(shè)函數(shù)fx|x1|x2|,求不等式fx3的解集；x0；解： 當(dāng)x1時(shí),有fx 1x2x32x；由fx3得32x3,解得x2時(shí),有fx x12x1；此時(shí),不等式fx 3無(wú)解；當(dāng)x2時(shí),有fxx1x22x3；由fx3得2x33,解得x3；或x0故不等式fx3的解集為 , 0 3, ；指出：可畫出數(shù)軸如

6、圖,| AB|1,| PB|1,| PA|1,故由圖可得x3例 3 （含參數(shù)的肯定值不等式的解法）解關(guān)于 x 的不等式：xxa2a2a0；a2a2, 即xx2a2a20,9解： 當(dāng)xa 時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為:xa9xx99 axax3617a, 即xa2 a2, 0當(dāng)xa 時(shí),不等式可化為:xax 2 a2ax a9x29 axxa或2 axa .；33不等式的解集為,a2 a,3617a ；33例 4 （肯定值不等式的證明）（ 1）已知xac,ybc,求證：xy ab c .c22（ 2） 已知xa,ya.求證：2 x3ya；46（ 3） 已知 fx=x2-x+13 ,且 |x-a|1. 求證

7、： |fx-fa|2|a|+1；證：（1）xy abxa yb xayb（1）xac,ybc,xaybccc（ 2） 由（1）,（2）得：xyab 2222（ 2）xa,ya,2xa,3ya,2x3y2x3yaaa；462222（ 3） |x-a|1, |fx-fa|=|x2-x-a 2+a|=|x-ax+a-1|x+a-1|=|x-a+2a-1| |x-a|+|2a-1|1+|2a|+1 =2|a|+1. 例 5 （含參數(shù)的肯定值不等式的解法）已知關(guān)于 x 的不等式|x3|x4|a；x5 2,（ 1）當(dāng)a2時(shí),解上述不等式；（ 2）假如關(guān)于x 的不等式|x3|x4|a的解集為空集,求實(shí)數(shù)a

8、的取值范疇；解：（1）a2時(shí),原不等式為|x3|x4|2,當(dāng)x3時(shí),原不等式化為72x2,解得5x3,當(dāng)3x4時(shí),原不等式化為12,3x4；當(dāng)x4時(shí),原不等式化為2x72,解2得x9,4x9；2213時(shí),綜上,原不等式解集為x|5x9；22（ 2）作出函數(shù)y|x3|x4|與ya的圖象,如使|x3|x4|a解集為空集,只須y|x3|x4|的圖象在ya的圖象的上方,或ya與y1重合,a1；所以 a 的范疇為 , 1；2x7x4解法二：y|x3|x4|13x4；當(dāng)x4時(shí),y1；當(dāng)3x4時(shí),y1；當(dāng)x72xx3y1,綜上y1,原問(wèn)題等價(jià)為a|x3|x4| min,a1；解法三：|x3|x4|x3x4|

9、1,當(dāng)且僅當(dāng)x3x40時(shí),上式取等號(hào),a【綜合題典例解析】例 1 解不等式：2x1|1|. -2x2x-1. 解得 x1 ,再與 x0 求交集得 2xx解： 不等式中 x 取值范疇是x 0, x 1.（ 1）當(dāng) x0 時(shí), x-10, 原不等式變形為解集是 x|x-1. （ 2）當(dāng) 0 x1 時(shí), x-10, 原不等式變形為 2x21 時(shí),x-10, |x|=x0,原不等式變形為 2x2x-1 ,其解集是全體實(shí)數(shù)再與 x1 求交集,可得解集為 x|x1. 綜上,可得原不等式的解集為 x|x1. 例 2 對(duì)任意實(shí)數(shù) x,如不等式 |x+1|-|x-2|k 恒成立,求 k 的取值范疇；解： 依據(jù)肯

10、定值幾何意義：|x+1| 可以看做是點(diǎn) x 到點(diǎn) -1 的距離, |x-2| 可以看做是點(diǎn) x 到點(diǎn) 2 的距離,我們?cè)跀?shù)軸上任取三個(gè)點(diǎn) xA-1,-1x E2,從圖 1-2-6 中可以看出： |x A+1|-|x A-2|=-3, |x D+1|-|x D-2|=3, -3|x E+1|-|x E-2|3. kk ,3 x 2 .從圖象可以看出,只要 k-3 即可；例 3 已知不等式 | ax b | 2 a 0 的解集為 x | 1 x 5 ,求實(shí)數(shù) a、b 的值 . 解： 原不等式等價(jià)于 2 ax b 2 . 當(dāng) a 0 時(shí) ,解之得 2a bx 2a b,與 1 x 5 比較系數(shù)得 2

11、 2b a b5 1,a ,1 b 3a當(dāng) a 0 時(shí),解之得 2a b x 2a b,與 1 x 5 比較系數(shù)得 2a2 bb 15 ,解得 a ,1 b 3 . a綜上所述 , a ,1 b 3 或 a ,1 b 3 . 例 4 求不等式 | log 1 x | | log 3 1 | 1 的解集3 3 xx 0解： 對(duì)數(shù)必需有意義,即解不等式組 1 0 ,0 x3,原不等式可化為 |log 3x|+|lo g 33- x| 13 x（ 1）當(dāng) 0 x1時(shí),不等式化為-log 3x+lo g33-x 1即 log 33-x log 33x, 3- x3x, x4 3 ,綜合得： 0 x3

12、4（ 2）當(dāng) 1x2時(shí),即 lo g3x+lo g33- x log33 x2-3x+30, x （ 3）當(dāng) 2x3 時(shí), lo g3x-lo g33- x log 33 x33-x, x9 ,結(jié)合前提得：49 x340；1；綜上,原不等式的解集為0, 39 4, 3 4例 5解關(guān)于 x 的不等式：（ 1）|xlogax|x|logax|a1；（2）23x2xa 2x2x（已知a0）；解：（1）分析：|ab|a|b|,“ =”當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)成立,如|ab|a|b|,就ab依據(jù)肯定值三角不等式,原不等式可化為xlogax0；又x0,logax0,a1,0 x不等式的解集為0|0 x1；a0（

13、2）2x0,原不等式等價(jià)于24x22xa22x1,即4 2x4xa4xa化為4x1 4x 當(dāng) a 1 時(shí),1 4 x a,原不等式解集為 x | 0 x log 4a ； 當(dāng) a 1 時(shí), 4 x 1 2 0,原不等式無(wú)解；x 當(dāng) 0 a 1 時(shí),a 4 1,原不等式的解集為 x | log 4 a a 0 ；2 2例 6 關(guān)于 x 不等式 x a 1 a 1 解集為 A ,關(guān)于 x 不等式 x 23 a 1 x 2 3 a 1 02 2的解集為 B, 如 A B A,求實(shí)數(shù) a 的取值范疇；解：由 x 1 a 1 21 a-1 2,得-1 a-1 2x-1 a+1 21 a-1 2. 解得

14、2axa 2+1. A=x|2a xa 2+1, 2 2 2 2 2aR. 由 x2-3a+1x+23 a+1 0,得 x-2x- 3a+10.當(dāng) 3a+12,即 a1 時(shí),得 B=x|2 x3a+1； 當(dāng) 3a+12 ,即 a3（ 1）當(dāng) a1 時(shí),由 A3 B,得 2a 2 2 a1 ,3 a 1 .解得 1a3.（ 2）當(dāng) a0 , 2x2+mx-1=0 的兩根在 -1 ,1上,即 fx 的圖f10,2m10 ,0 的解集2,像與 x軸交點(diǎn)在 -1,1 上；f 1 0,2m10 ,-1m1；當(dāng) -1m1時(shí), fx1m14m44為CAB；（ 2） m A, x B|m| 1, x21 ,

15、|fx|=|2x 2+mx- 1| |2x 2-1|+|mx|=1-2x22+|mx| 1-2x2+|x|=-2|x|2+|x|+1=-2|x|-1 2+ 49 9 ；當(dāng)且僅當(dāng) |x|=8 81 時(shí),等號(hào)成立；4|fx|9 ；8例 12 已知 a、b、 c 是實(shí)數(shù),函數(shù)fx=ax2+bx+c, gx=ax+b,當(dāng)-1x1時(shí), |fx|1.（ 1）證明： |c| 1;（2）證明：當(dāng) -1x1時(shí), |gx|2;（ 3）設(shè) a0 ,當(dāng) -1x1時(shí), gx 的最大值為2,求 fx 證：（1）由條件當(dāng) -1x1時(shí), |fx|1. 取 x=0, 得|c|=|f0|1, 即|c| 1.（ 2）當(dāng) a0 時(shí),

16、 gx=ax+b在-1,1 上是增函數(shù)g- 1 gx g1.|fx|1-1x1,|c| 1, g1=a+b=f1- c|f1|+|c|2,g-1=-a+b=-f- 1+c -|f- 1|+|c|-2.由此得 |gx|2;當(dāng) a0 , gx 在-1,1上是增函數(shù),當(dāng)x=1 時(shí)取最大值2,即 g1=a+b=f1-f0=2. fx=0-1f0=f1-21-2=-1, c=f0=-1., 當(dāng) -1x1時(shí), fx -1,即 fx f0.由二次函數(shù)性質(zhì)知,直線為 fx 的圖象的對(duì)稱軸,由此得-b=0,即 b=0 由 a+b=2 ,得 a=2 , fx=2x2-1. 0 2a例 13 設(shè)fx ax2bxc

17、,當(dāng)|x|1時(shí),總有|fx|1,求證： |f2 | 7. 證： |x| 1,|f0 | 1,|f1 | 1,|f 1| 1,f0 cabbcc,af1 2f1bf1 2f1,f 1af1cf 0 |f24 a2 bc4f12f 1f0f2f12f 1f03 1f 13 0f2 | |3 1f13 03|f1| 1| 3|f0 | 7；方法二： 當(dāng) |x| 1時(shí),|fx| 1,|f0| 1,即|c| 1又|f1| 1, |f-1| 1,|a+b+c| 1, |a-b+c| 1又|a+b+c|+| a-b+c|+2| c| | a+b+c+a-b+c-2c|=|2a|,且 |a+b+c|+|a-b

18、+c|+2| c| 4,|a| 2 |2b|=|a+b+c-a-b+c| | a+b+c|+| a-b+c| 2, |b| 1,|f2|=|4 a+2 b+c|=|f1+3 a+b| | f1+3| a|+|b| 8,即 |f2| 81, |F-1| 1,證明：例14 給定函數(shù) Fx=ax2+bx+c ,以及 Gx=cx2+bx+a ,其中 |F0|1, |F1|對(duì)于 |x| 1 有：（1）|Fx|5 ；4（2）|Gx| 2；F1 F 1 , 解：（1） F0=c, F1=a+b+c, F-1=a-b+c. a=F 1 F12F0 , b=22Fx=ax2+bx+c, F 1 F1 2F0）x

19、2F 1 F1）x+F0 22|1x2|,xx1F 1 x x1 F1 1x2F0 .22xx1 |F1 |xx1 |F1 |1x2|F0 |xx1 xx1 2222-1x1, 01+x2, 0 1-x21, |Fx| x 1+x+ 2| x|1-x+1-x2=-x 2+|x|+1 2=-|x|-1 2+ 25 5 . |Fx|4 45 ；4（ 2）|Gx|=F0 x2F1F1 xF 1 F1 2F022x21 F0 x21F 112xF1 |x21|x2112x1x212x12x2x22. 肯定值不等式的解法 1. 求以下不等式的解集：1|4x- 3| x+1；2|3x+5|2x-1. x2

20、,由得：x4.原不等式的解集解： 1 |4x- 3| x+1, -x+1 4x-3x+1, 由得：53為 x|2x4. 53由得x-6, 由得x2x-1, 3x+52x-1, 或 3x+52x+1. 解： 原不等式等價(jià)于4x30 x或 14x4302 x1,即x3或x34 1,44x32x3 xx23x2 或 x2 或 x2 或 x2x+14x-32x+1或 4x-32 或 x1 . 35. 解不等式：2x1|1|. xx1 ,再與 x0 求交集得 2解： 不等式中 x 取值范疇是x 0, x 1.（ 1）當(dāng) x0 時(shí), x-10, 原不等式變形為-2x2x-1. 解得 x解集是 x|x-1.

21、 （ 2）當(dāng) 0 x1 時(shí), x-10, 原不等式變形為 2x21 時(shí), x-10, |x|=x0,原不等式變形為 2x2x-1 ,其解集是全體實(shí)數(shù)再與 x1 求交集,可得解集為 x|x1. 綜上,可得原不等式的解集為 x|x1. 6. 解不等式 |x+3|+|x+2|+|x+1|3. 解： 此題是含有三個(gè)肯定值的不等式,可采納零點(diǎn)分段爭(zhēng)論法求解,第一找到使肯定值為零的點(diǎn),然后劃分區(qū)間,分段爭(zhēng)論求解,最終求各段結(jié)果的并集令 x+3=0 , x=-3 ； 令 x+2=0 , x=-2 ； 令 x+1=0, x=-1. （ 1）當(dāng) x-3 時(shí),原不等式變形為：-x+3+-x+2+-x+13,此時(shí),

22、解為x-3. （ 2）當(dāng) -33,即 x+3-x-2-x-13 ,得 x-3. 此時(shí)無(wú)解（ 3）當(dāng) -23,得 x-1. 此時(shí)無(wú)解2 ；a（ 4）當(dāng) x-1 時(shí),原不等式變形為x+3+x+2+x+13,得 x-1. 此時(shí),解為x-1. 綜上,原不等式解集為x|x-1. 7. 解關(guān)于 x 的不等式：xxa2 a2a0. 9解： 當(dāng)xa 時(shí),不等式可轉(zhuǎn)化為:xaa2a2, 即xx2a9 ax2a20,9xx9ax3617a當(dāng)xa 時(shí),不等式可化為:xax 2 a2, 即xx2a9 ax2 a2, 0ax a9xa或2axa,故不等式的解集為,a2 a,3617a；33338. 解關(guān)于 x 的不等式：2a0 時(shí), |x1|1 2, x11 2 或 x1 1a2 ,解得 x2 aa 當(dāng) 2a0 時(shí),解集為； 當(dāng) a 2 時(shí), |x1|1 2 , 1a2 x11 a2 ,解得a2 x a2 2；a綜上可得：當(dāng) a=0 或, 2a0 時(shí),解集是x2a2a當(dāng) a 2 時(shí),解集為2 x0 即 a -1 時(shí), - a+12x+3 a24 x a22. 綜上得：a1 時(shí),解集為；a1 時(shí),解集為x|a24xa2210. 如不等式 |ax+2|6 的解集為 -1,