高等數(shù)學(xué)a課程教學(xué)大綱

1、高等數(shù)學(xué)a課程教學(xué)大綱課程名稱：高等數(shù)學(xué)-a英文名稱：Advanced Mathematics課程編號(hào)：X1080332學(xué) 時(shí) 數(shù)：160 課外學(xué)時(shí)數(shù)：16學(xué) 分 數(shù)：11.0適用專業(yè)：物理類相關(guān)專業(yè)一、課程的性質(zhì)和任務(wù)高等數(shù)學(xué)是工科院校開(kāi)設(shè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課。是學(xué)生完成各專業(yè)課學(xué)習(xí)所必須學(xué)習(xí)的課程。通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)方面的基本理論、基本概念、和基本知識(shí)，為后繼課的學(xué)習(xí)和今后工作打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也為解決實(shí)際問(wèn)題提供有效的數(shù)學(xué)方法。同時(shí)通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，邏輯推理能力，熟練運(yùn)算能力，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及自學(xué)能力。二、課程教學(xué)內(nèi)

2、容的基本要求、重點(diǎn)和難點(diǎn)第一章 函數(shù)與極限教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念性質(zhì)。理解復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)的概念。理解各類極限的概念，掌握極限的基本性質(zhì)、極限四則運(yùn)算法則及兩個(gè)極限存在法則，理解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念，會(huì)確定無(wú)窮小的階和利用等價(jià)無(wú)窮小求極限。理解函數(shù)連續(xù)的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）函數(shù)1、理解函數(shù)的概念及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。2、理解復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。熟悉基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。（二）極限1、理解極限的概念和性質(zhì)(對(duì)極限的-N、-定義可在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步加深理解)，掌握極限四則運(yùn)算

3、法則。 2、理解極限存在的夾逼準(zhǔn)則，了解單界有界數(shù)列必有極限會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。3、了解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量以及無(wú)窮小的階的概念及性質(zhì)。掌握無(wú)窮小量的比較，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。（三）連續(xù)函數(shù)1、理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，了解間斷點(diǎn)的概念，并會(huì)判別間斷點(diǎn)的類型。2、了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(介值定理和最大、最小值定理)。第二章 微分學(xué)教學(xué)目的：理解導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式及運(yùn)算法則，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，掌握對(duì)數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理解微分的概念，會(huì)計(jì)算微分。了解一階

4、微分的形式不變性，了解微分進(jìn)行簡(jiǎn)單的近似計(jì)算。理解中值定理，了解泰勒(Taylor) 定理，并會(huì)用它們解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。掌握用洛必達(dá)法則求極限的方法。掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值、最大值和最小值的方法。掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形凹凸性的方法，會(huì)求圖形的拐點(diǎn)。會(huì)描繪函數(shù)的圖形。了解弧微分、曲率和曲率半徑的概念及其求法，了解求方程近似解的弦位法和切線法。 內(nèi)容要點(diǎn)：（一）導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算1、理解導(dǎo)數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系。2、掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，掌握基本初等函數(shù)、雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。3、了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。4、掌握初等函數(shù)一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法

5、。5、會(huì)求對(duì)數(shù)、隱函數(shù)和參數(shù)式所確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（二）微分1、理解微分的概念，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式不變性。 2、了解微分的近似計(jì)算（三）中值定理 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、理解羅爾(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。2、會(huì)用洛必達(dá)(LHospital)法則求不定式的極限。3、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值、最大值和最小值的方法。4、會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求拐點(diǎn)，會(huì)描繪函數(shù)的圖形(包括水平和鉛直漸進(jìn)線)。5、了解曲率和曲率半徑的概念并會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

6、6、了解求方程近似解的弦位法和切線法。第三章 不定積分教學(xué)目的：理解原函數(shù)與不定積分的概念、性質(zhì)及運(yùn)算法則。掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的換元法和分步積分法。會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式及簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)的積分。了解積分表的使用。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）不定積分1、理解原函數(shù)與不定積分的概念及性質(zhì)，掌握不定積分的基本公式。2、掌握不定積分的換元法和分步積分法。會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)的積分。第四章 定積分教學(xué)目的：了解定積分概念的實(shí)際背景，理解定積分的概念及性質(zhì)。理解并掌握積分上限函數(shù)的意義及其求導(dǎo)定理。掌握Newton-Leibniz公式。掌握定積分的換元法和分部積

7、分法。了解定積分近似計(jì)算。掌握定積分微元法，掌握用微元法求平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積及旋轉(zhuǎn)曲面的面積的方法。掌握利用微元法計(jì)算物理問(wèn)題的方法，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）基本概念及定積分的計(jì)算1、理解定積分的概念及性質(zhì)，了解函數(shù)可積的充分必要條件。2、理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)，掌握牛頓(Newton)萊布尼茲(Leibniz)公式。3、掌握定積分的換元法和分步積分法。4、了解定積分的近似計(jì)算法(梯形法和拋物線法)。（二）定積分的應(yīng)用1、掌握用微元法求平面圖形的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積、平行截面面積已知的立體體積及

8、旋轉(zhuǎn)曲面的面積的方法。2、掌握利用微元法計(jì)算物理問(wèn)題的方法。第五章 空間解析幾何和矢量代數(shù)教學(xué)目的：理解空間直角坐標(biāo)系的概念，理解矢量的概念及其表示。熟悉矢量、單位矢量和方向余弦的坐標(biāo)表示。掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行矢量運(yùn)算的方法。掌握平面方程和直線方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。熟悉常用二次曲面的方程和圖形，了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）空間直角坐標(biāo)與矢量代數(shù)1、理解空間直角坐標(biāo)系。2、理解矢量的概念及其表示，掌握矢量的運(yùn)算(線性運(yùn)算、數(shù)量積、矢量積、混合積)，掌握兩個(gè)矢量垂直、平行的條件。3、掌握單位矢量、方向余弦、矢量的坐標(biāo)表達(dá)式以及用坐標(biāo)

9、表達(dá)式進(jìn)行矢量運(yùn)算的方法。（二）空間中的平面和直線及二次曲面1、掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系解決有關(guān)問(wèn)題。2、理解曲面方程的概念，熟悉常用二次曲面的方程及其圖形，了解以坐標(biāo)3、了解曲面的交線在坐標(biāo)平面上的投影。第六章 多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)目的：理解二元函數(shù)、極限與連續(xù)性的概念。理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念。掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握全微分的求法。會(huì)求隱函數(shù)（包括由兩個(gè)方程組成的方程組所確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。了解二元泰勒（Taylor）公式。了解方向?qū)?shù)，了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線，并會(huì)求它們的方程。理解二元函數(shù)極值和條件極值的概念，會(huì)

10、求二元函數(shù)的極值，掌握求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的最大值和最小值，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 內(nèi)容要點(diǎn)：(一) 多元函數(shù)1、理解多元函數(shù)的概念。2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解一階全微分形式的不變性。 4、掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。5、會(huì)求隱函數(shù)(包括由兩個(gè)方程組成的方程組確定的隱函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)。（二）偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1、了解方向?qū)?shù)。2、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面與法線，并會(huì)求它們的方程。3、了解二元函數(shù)的泰勒公式。4、理解多元函

11、數(shù)極值與條件極值的概念，會(huì)求多元函數(shù)的極值。掌握求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。第七章 重積分教學(xué)目的：理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)。掌握二重積分、三重積分的計(jì)算方法，了解重積分的換元法則并會(huì)用換元法則計(jì)算重積分。會(huì)用重積分計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積以及曲面的面積等，會(huì)用重積分計(jì)算簡(jiǎn)單的物理實(shí)際問(wèn)題。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）二重積分1、理解二重積分的概念及性質(zhì)。2、掌握二重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、極坐標(biāo))。3、了解重積分的換元法則并會(huì)用換元法則計(jì)算重積分。（二）三重積分1、理解三重積分的概念及性質(zhì)。2、掌握三重積分的計(jì)算方法(直角坐標(biāo)、柱

12、面坐標(biāo)、球面坐標(biāo))。（三）重積分的應(yīng)用1、會(huì)用重積分計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積以及曲面的面積。2、會(huì)用重積分計(jì)算簡(jiǎn)單的物理實(shí)際問(wèn)題。第八章 曲線積分 曲面積分 矢量分析初步 教學(xué)目的：理解兩類曲線積分的概念及性質(zhì)。掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法。掌握格林公式，會(huì)運(yùn)用平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。理解兩類曲面積分的概念及性質(zhì)。掌握兩類曲面積分的計(jì)算方法。掌握高斯公式、斯托克斯公式，會(huì)利用高斯公式計(jì)算積分。了解梯度、散度、旋度的概念及其計(jì)算方法。了解高斯公式、斯托克斯公式的矢量形式。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）曲線積分1、理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)及相互間關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計(jì)算方法

13、。2、掌握格林(Green)公式及平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，會(huì)求全微分的原函數(shù)。（二）曲面積分1、理解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及相互間的關(guān)系，會(huì)計(jì)算兩類曲面積分。2、掌握高斯公式，會(huì)利用高斯公式計(jì)算積分。3、掌握斯托克斯(Stokes)公式及空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。（三）矢量分析與場(chǎng)論初步1、了解矢性函數(shù)的極限、連續(xù)和導(dǎo)數(shù)。2、了解數(shù)量場(chǎng)、矢量場(chǎng)及矢量微分算子 的概念，數(shù)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度、旋度及基本公式。了解無(wú)源場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng)及調(diào)和場(chǎng)的概念。第九章 無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)目的：理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念，熟悉無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法判別法。了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Le

14、ibniz定理。了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念。理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域的概念，了解一致收斂級(jí)數(shù)及性質(zhì)。掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法，理解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù)，掌握函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的方法。了解冪級(jí)數(shù)的近似計(jì)算。了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念，理解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷條件，掌握將定義在區(qū)間上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的方法，并會(huì)將定義在區(qū)間上的函數(shù)展開(kāi)為正弦或余弦級(jí)數(shù)。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和函數(shù)的概念，熟悉無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)及p-級(jí)數(shù)的收斂性。3、了解正項(xiàng)級(jí)數(shù)的極限審斂法，

15、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。4、了解交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理。5、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系。（二）冪級(jí)數(shù)1、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及基本性質(zhì)。2、掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。3、了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。4、會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和函數(shù)，并了解函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。5、會(huì)利用，和的麥克勞林(Maclaurin)展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。6、了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算上的簡(jiǎn)單應(yīng)用。（三）傅里葉級(jí)數(shù)1、了解函數(shù)展開(kāi)為傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)的狄利克雷(Di

16、richlet)條件，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)。2、會(huì)將定義在函數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)。第十章 反常積分和含參變量積分教學(xué)目的：理解廣義積分的概念。掌握廣義積分的基本收斂準(zhǔn)則，會(huì)計(jì)算無(wú)窮積分和無(wú)界函數(shù)的積分。掌握-函數(shù)與-函數(shù)。了解含參變量的積分。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）廣義積分1、了解廣義積分的概念。會(huì)計(jì)算無(wú)窮積分及無(wú)界函數(shù)的積分。2、了解-函數(shù)與-函數(shù)及其主要性質(zhì)。（二）了解含參變量的積分。第十一章 微分方程初步教學(xué)目的：了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。掌握可分離變量的方程、齊次方程、一階線性方程和伯努利方程的解法。會(huì)用降階法解一些特殊的高階微分方程。掌握二階常系數(shù)線

17、性微分方程的解法，并了解高階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。會(huì)用微分方程解決物理學(xué)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。內(nèi)容要點(diǎn)：（一）微分方程的基本概念1、了解微分方程、解、階、通解、初始條件和特解等概念。（二）一階微分方程1、掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法。會(huì)解齊次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用變量代換求解方程的思想。2、理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，了解常數(shù)變易法。（三）二階微分方程 1、會(huì)用降階法解下列方程：，和.2、掌握常系數(shù)齊次線性方程的解法，會(huì)求自由項(xiàng)形如和的常系數(shù)非齊次線性方程的特解。3、會(huì)用微分方程解一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題。三、教學(xué)方式及學(xué)時(shí)分配章 序章 名講課時(shí)數(shù)習(xí)題課時(shí)數(shù)小計(jì)第一章函數(shù)與極限 12214第二章微分學(xué) 20222第三章不定積分12214第四章定積分 14216第五章空間解析幾何和矢量代數(shù)12214第六章多元函數(shù)微分學(xué) 12214第七章重積分14216第八章曲線積分 曲面積分 矢量分析初步16218第九章無(wú)窮級(jí)數(shù) 16218第十章反常積分和含參變量積分415第十一章微分方程初步12214總計(jì)