圓錐曲線的綜合問(wèn)題突破策略

1、圓錐曲線線綜合問(wèn)問(wèn)題之重重點(diǎn)突破破類(lèi)型1：關(guān)于弦弦的中點(diǎn)點(diǎn)以及弦弦的垂直直平分線線問(wèn)題的的策略這種問(wèn)題題主要是是需要用用到弦AAB的垂垂直平分分線L的方程程，往往往是利用用點(diǎn)差法法或者韋韋達(dá)定理理產(chǎn)生弦弦AB的中中點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)M， 結(jié)合弦弦AB與它它的垂直直平分線線L的斜率率互為負(fù)負(fù)倒數(shù)，寫(xiě)出弦弦的垂直直平分線線L的方程程，然后后解決相相關(guān)問(wèn)題題。有時(shí)時(shí)候題目目的條件件比較隱隱蔽，要要分析后后才能判判定是有有關(guān)弦AAB的中中點(diǎn)問(wèn)題題，比如如：弦與與某定點(diǎn)點(diǎn)D構(gòu)成以以D為頂點(diǎn)點(diǎn)的等腰腰三角形形（即|DAA|=|DB|）、曲曲線上存存在兩點(diǎn)點(diǎn)AB關(guān)于于直線mm對(duì)稱(chēng)等等等.【題1】 橢圓C：的兩個(gè)個(gè)焦點(diǎn)

2、為為、，點(diǎn)在橢橢圓C上，且且，.(1) 求橢圓圓C的方程程；(2) 若直線線過(guò)圓的圓圓心，交交橢圓CC于、兩點(diǎn)，且、 關(guān)于點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求直線線的方程程.【題1】 解：(11) 11分又 33分 故 44分 橢圓C的方程程為 5分(2) 圓的方方程可化化為：，故圓心心 所求直線線方程為為 7 分聯(lián)立橢圓圓方程，消去，得 9分分、關(guān)于于對(duì)稱(chēng) 112分 114分點(diǎn)評(píng)點(diǎn)關(guān)于于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)的問(wèn)題題，實(shí)質(zhì)質(zhì)是“中點(diǎn)弦弦”問(wèn)題，還可以以用“點(diǎn)差法法”，請(qǐng)同同學(xué)們嘗嘗試體會(huì)會(huì)，并且且比較兩兩種解法法的特點(diǎn)點(diǎn).【題2】知橢圓圓的左焦焦點(diǎn)為FF，O為坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)F且不與與坐標(biāo)軸軸垂直的的直線交交橢圓于于A、B兩

3、點(diǎn)，線段AAB的垂垂直平分分線與軸軸交于點(diǎn)點(diǎn)G，求點(diǎn)點(diǎn)G橫坐標(biāo)標(biāo)的取值值范圍.【題2】解：設(shè)設(shè)直線AAB的方方程為代代入整理得直線ABB過(guò)橢圓圓的左焦焦點(diǎn)F，方程有有兩個(gè)不不等實(shí)根根.記中點(diǎn)則的垂直平平分線NNG的方程程為令得點(diǎn)G橫坐坐標(biāo)的取取值范圍圍為點(diǎn)評(píng) 注意意AB中中點(diǎn)M以以及兩直直線的垂垂直關(guān)系系求出“線段ABB的垂直直平分線線”.【題3】設(shè)、分別是是橢圓的的左、右右焦點(diǎn). （1）若若P是該橢橢圓上的的一個(gè)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，求求的最大大值和最最小值； （2）是是否存在在過(guò)點(diǎn)AA（5，0）的直直線l與橢圓圓交于不不同的兩兩點(diǎn)C、D，使得得|F2C|=|F2D|？若若存在，求直線線l的方程程；若不不

4、存在，請(qǐng)說(shuō)明明理由. 【題3】解：（11）易知知，設(shè)P（x，y），則= ，即點(diǎn)PP為橢圓圓短軸端端點(diǎn)時(shí)，有最小小值3；當(dāng)，即點(diǎn)點(diǎn)P為橢圓圓長(zhǎng)軸端端點(diǎn)時(shí)，有最大大值4 點(diǎn)評(píng)本小題題體現(xiàn)“消元”的思想想和“函數(shù)”的思想想，注意意定義域域.（2）假假設(shè)存在在滿足條條件的直直線l ，易知知點(diǎn)A（5，0）在橢橢圓的外外部，當(dāng)直線ll的斜率率不存在在時(shí)，直直線l與橢圓圓無(wú)交點(diǎn)點(diǎn)，所在在直線ll斜率存存在，設(shè)設(shè)為k，直線l的的方程為為 由方程組組依題意 設(shè)交點(diǎn)CC，CD的中中點(diǎn)為RR，則又|F22C|=|F22D| 20kk2=200k24，而200k2=200k24不成立立， 綜上所述述，不存存在直線線l

5、，使得得|F2C|=|F22D| 點(diǎn)評(píng)要注意意從判別別式得到到k的范范圍，對(duì)對(duì)于條件件“|FF2C|=|F2D|”不要輕輕易將點(diǎn)點(diǎn)F2和C、D的坐坐標(biāo)用兩兩點(diǎn)間距距離公式式表示，否則陷陷入計(jì)算算繁雜的的圈套.類(lèi)型2：關(guān)于定定點(diǎn)和定定值問(wèn)題題策略【題4】已知點(diǎn)PP與點(diǎn)FF（2，0）的的距離比比它到直直線40的距離離小2，若記點(diǎn)點(diǎn)P的軌軌跡為曲曲線C. 直線線L與曲曲線C相相交于AA、B兩兩點(diǎn)，且且OAOB.（1）求求曲線CC的方程程。（2）求求證：直直線L過(guò)過(guò)定點(diǎn)，并求出出該定點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo).【題4】（1）解法1：點(diǎn)PP與點(diǎn)FF（2，0）的的距離比比它到直直線40的距離離小2，所以點(diǎn)點(diǎn)P與點(diǎn)點(diǎn)F（

6、22，0）的距離離與它到到直線20的距離離相等. 由拋物線線定義得得：點(diǎn)在在以為焦焦點(diǎn)直線線20為準(zhǔn)線線的拋物物線上， 拋物線方方程為. 解法2：設(shè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得得：，顯然，而而，此時(shí)時(shí)曲線不不存在.當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得得：.點(diǎn)評(píng)解法11巧妙地地利用圓圓錐曲線線的定義義判斷曲曲線軌跡跡，解法法2直接接利用題題目的條條件建立立等量關(guān)關(guān)系，體體現(xiàn)了“分類(lèi)討討論”的思想想方法.（2）設(shè)設(shè)直線LL：y=kx+b與拋拋物線交交于點(diǎn)，若直線線的斜率率存在設(shè)設(shè)為k， ，即， 直線為，所以 若直線線L的斜斜率不存存在，則則直線OOA（或或OB）的斜率率為1 綜上所所述，直線恒恒過(guò)定點(diǎn)點(diǎn). 點(diǎn)評(píng)直線過(guò)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)問(wèn)

7、題，要要將直線線方程求求出來(lái)利利用直線線方程的的點(diǎn)斜式式或者直直線系方方程判斷斷是否經(jīng)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn).【題5】已知、分別為為橢圓:的上、下焦點(diǎn)點(diǎn),其中中也是拋拋物線的的焦點(diǎn),點(diǎn)是與在第二二象限的的交點(diǎn),且.（1）求求橢圓的的方程.（2）已已知點(diǎn)和和圓:,過(guò)點(diǎn)點(diǎn)的動(dòng)直直線與圓圓相交于于不同的的兩點(diǎn),在線段段上取一一點(diǎn),滿滿足:,(且).求證: 點(diǎn)總在某某定直線線上.xyOF1F2M【題5】（1）方法一一：由知,設(shè), 1分因在拋物物線上,故又,則, 由由解得得,.44分橢圓的兩兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn),點(diǎn)橢圓圓上,由由橢圓定定義得 66分,又, 橢圓的方方程為. 8分方法二：由知,設(shè),因在拋物物線上,故又,則, 由

8、解解得,.4分而點(diǎn)橢圓圓上,故故有即, 又,則由可可解得,橢圓的方方程為.8分（2）設(shè)設(shè),由可得:,即110分由可得:,即 故得: 122分兩式相加加得144分又點(diǎn)在圓圓上，且且,所以以,即, 點(diǎn)總在定定直線 點(diǎn)評(píng)評(píng) 關(guān)關(guān)鍵是向向量,的條件件“坐標(biāo)化化”，要證證點(diǎn)總在在某定直直線上，則點(diǎn)的的坐標(biāo)滿滿足一個(gè)個(gè)固定的的二元一一次方程程.【題6】已知橢橢圓C以過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A（1，），兩兩個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)為（1，0）（1，0）。求橢圓CC的方程程；E,F是是橢圓CC上的兩兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)，如果果直線AAE的斜斜率與AAF的斜斜率互為為相反數(shù)數(shù)，證明明直線EEF的斜斜率為定定值，并并求出這這個(gè)定值值.【題6】解：（1）由題

9、題意，cc1,可設(shè)設(shè)橢圓方方程為因?yàn)锳在在橢圓上上，所以以，解得得3，（舍去去）所以橢圓圓方程為為 4分（2）設(shè)設(shè)直線方程程：得，代入得得設(shè)（，），（，）因因?yàn)辄c(diǎn)（1，）在橢橢圓上，所以，88分又直線AAF的斜斜率與AAE的斜斜率互為為相反數(shù)數(shù)，在上上式中以以代，可得得，。所以直線線EF的斜斜率即直線EEF的斜斜率為定定值，其其值為 122分點(diǎn)評(píng)圓錐曲曲線中有有關(guān)定值值的問(wèn)題題，關(guān)鍵鍵要利用用相關(guān)參參數(shù)將式式子的表表達(dá)式求求出，再再利用“整體”的思想想，消去去參數(shù)得得到定值值.【題7】已知拋拋物線CC:上橫橫坐標(biāo)為為4的點(diǎn)到到焦點(diǎn)的的距離為為5. 設(shè)直線線與拋物物線C交于兩兩點(diǎn)，且（，且為常常

10、數(shù)）.過(guò)弦ABB的中點(diǎn)點(diǎn)M作平行行于軸的的直線交交拋物線線于點(diǎn)DD，連結(jié)結(jié)AD、BD得到到.求證： ； 的面積積為定值值.【題7】依題意意得：，解得. 所以拋拋物線方方程為 .由方程組組消去得：.（）依題意可可知：.由已知得得，. 由，得，即，整理理得.所以 . 可以求出出中點(diǎn)， 所以點(diǎn)點(diǎn)，依題意知知.又因?yàn)榉椒匠蹋ǎ┲信信袆e式，得.所以 ，由（）可知知，所以. 又為常數(shù)數(shù)，故的的面積為為定值. 類(lèi)型3：關(guān)于不不等式證證明、求求參數(shù)的的取值范范圍問(wèn)題題.【題8】 已知點(diǎn)點(diǎn)P到（0，），（0，）的距距離之和和為4，設(shè)P的軌跡跡是C，并交交直線 于A、B兩點(diǎn).（1）求求C的方程程;（2）若若以AB

11、B為直徑徑的圓過(guò)過(guò)O點(diǎn),求此時(shí)時(shí)的值;（3）若若A在第一一象限，證明：.【題8】（1）得P的的軌跡是是橢圓，故,故方程程為：（2）依依題意設(shè)設(shè)A，BB，以ABB為直徑徑的圓過(guò)過(guò)O點(diǎn)，則 4分分聯(lián)立：消消元得 （44+ 7分分 8分 = 99分 110分 111分點(diǎn)評(píng)將“AB為直直徑的圓圓過(guò)點(diǎn)OO”巧妙地地轉(zhuǎn)化為為，體現(xiàn)現(xiàn)“以數(shù)數(shù)論形”的思想想.(3) =, =-=-()=122分113分A點(diǎn)在在第一象象限， 又又-= 14分分點(diǎn)評(píng)圓錐曲曲線與不不等式證證明的綜綜合，注注意作差差比較法法證明不不等式的的思路和和步驟，利用曲曲線上點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)標(biāo)的范圍圍討論.【題9】橢圓C:=1(ab0)的離離心率為

12、為,短軸一一個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)到右焦焦點(diǎn)的距距離為.設(shè)直線ll與橢圓圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原原點(diǎn)O到直線線l的距離離為，求求AOOB面積積的最大大值.【題9】設(shè)橢圓圓的半焦焦距為，依題意意，橢圓方方程為設(shè)，（1）當(dāng)當(dāng)軸時(shí)，（22）當(dāng)與與軸不垂垂直時(shí)，設(shè)直線的的方程為為由已已知，得得把代入橢橢圓方程程，整理理得，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)，即時(shí)等等號(hào)成立立當(dāng)時(shí)，綜上所所述當(dāng)最大時(shí)時(shí)，面積積取最大大值點(diǎn)評(píng)關(guān)于面積積的最值值問(wèn)題，先用“弦長(zhǎng)公公式”求出AAB的長(zhǎng)長(zhǎng)，根據(jù)據(jù)面積的的表達(dá)式式的形式式和特點(diǎn)點(diǎn)，巧妙妙地利用用基本不不等式求求出最值值.【題100】已知知一條曲曲線C在y軸右邊邊，C上沒(méi)一一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)F（1,00）的距

13、距離減去去它到y(tǒng)y軸距離離的差都都是1.是否存存在正數(shù)數(shù)m，對(duì)于于過(guò)點(diǎn)MM（m，0）且與與曲線CC有兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)AA,B的的任一直直線，都都有？若若存在，求出mm的取值值范圍；若不存存在，請(qǐng)請(qǐng)說(shuō)明理理由.【題100】設(shè)PP(x,y)是是曲線上上任意一一點(diǎn)，那那么，滿滿足化簡(jiǎn)可得得到點(diǎn)評(píng)本題對(duì)對(duì)于過(guò)點(diǎn)點(diǎn)M（m，0）直線方方程的設(shè)設(shè)為x=ty+m 是簡(jiǎn)化化計(jì)算的的一個(gè)技技巧，對(duì)對(duì)不等式式恒成立立問(wèn)題一一般利用用最值的的方法處處理.類(lèi)型4：關(guān)于直線線與圓錐錐曲線的的綜合問(wèn)問(wèn)題中涉涉及線段段分比的策略這類(lèi)問(wèn)題題主要是是研究過(guò)過(guò)一個(gè)定定點(diǎn)P作作直線與與曲線產(chǎn)產(chǎn)生兩個(gè)個(gè)交點(diǎn)AAB，進(jìn)進(jìn)而研究究P分兩兩個(gè)交點(diǎn)

14、點(diǎn)AB所所成的比比例關(guān)系系. 往往往是兩種種形式出出現(xiàn)，一一種是以以比例：，一種種是向量量：，有有時(shí)候是是求直線線方程，有時(shí)候候是求分分比的值值或取值值范圍等等等，這這種問(wèn)題題主要是是抓住分分比與坐坐標(biāo)的關(guān)關(guān)系，判判斷在聯(lián)聯(lián)立方程程時(shí)應(yīng)該該消去，以減少少運(yùn)算量量，然后后把問(wèn)題題轉(zhuǎn)化到到韋達(dá)定定理的應(yīng)應(yīng)用上.【題111】如圖所所示，已已知圓為為圓上一一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在在AM上上，點(diǎn)NN在CMM上，且且滿足的的軌跡為為曲線EE.（1）求求曲線EE的方程程；（2）若若過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)F（00，2）的直線線交曲線線E于不不同的兩兩點(diǎn)G、H（點(diǎn)點(diǎn)G在點(diǎn)點(diǎn)F、HH之間），且滿滿足，求求的取值值范圍.【題111】（1）NP為AM的垂垂直平分分線，|NAA|=|NM|又動(dòng)點(diǎn)NN的軌跡跡是以點(diǎn)點(diǎn)C（1，0），A（1，0）為焦焦點(diǎn)的橢橢圓.且橢圓長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為為焦距2cc=2. 曲線EE的方程程為 （2）當(dāng)當(dāng)直線GGH斜率率存在時(shí)時(shí)，設(shè)直直線GHH方程為為得設(shè) ，又當(dāng)直線線GH斜斜率不存存在，方方程為 【題122】已知橢橢圓C的的中心在在