周期信號的頻譜的特點

1、0n周期信號的頻譜的特點、周期信號的頻譜一個周期信號f，只要滿足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之和。其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周期信號，其展開式組成情況也不盡相同。在實際工作中，為了表征不同信號的諧波組成情況，時常畫出周期信號各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜,它是信號頻域表示的一種方式。描述各次諧波振幅與頻率關(guān)系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關(guān)系的圖形稱為相位頻譜。根據(jù)周期信號展成傅里葉級數(shù)的不同形式又分為單邊頻譜和雙邊頻譜。1單邊頻譜若周期信號f的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-15)，即f(t)，A+A0nn，1cos(nt+)

2、n(3-24)0n0n則對應(yīng)的振幅頻譜An和相位頻譜n稱為單邊頻譜。例3-3求圖3-4所示周期矩形信號f的單邊頻譜圖。解由f波形可知，f為偶函數(shù)，其傅里葉系數(shù)=TJt/2f(t)dt,2To2an/2f(t)cosntdt，2sin(n兀/4)n兀f(t)，a0+acosnOt，1+2sin(/4)cosn0t2n4nn=1n，14t-t/2Qt/24t0O2O3O4O5O6O7O因此即A，104An2sin(n/4)nA，0.45A沁0.32A沁0.1512，3A，0A-0.09A-0.1064，5,6單邊振幅頻譜如圖3-5所示。An0.450.32f0.1510.25ccc.1060.09

3、2雙邊頻譜若周期信號f的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-17),即f(t)，F(xiàn)ejnot(3-25)nn，y)則Fn與nO所描述的振幅頻譜以及Fn的相位arctanFn，6n與nO所描述的相位頻譜稱為雙邊頻譜。例3-4畫出圖3-4所示矩形周期信號f的雙邊頻譜圖形。解由式(3-18)和圖3-4可知TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10F1Jt/2f(t)e-jn，tdt1X2sin(“/4)nT-T/24F014F0.225F0.159F0.075123FOF-0.045F0.053+4+5，6Fn，arctanF的雙邊頻譜圖如圖3-6所示。nFn0.250.225律

4、10.159*.1*0.075八1:0.045c入77arctanFn-5,*-3,*-,0,*3,*5,從上例頻譜圖上可以看出，單邊振幅頻譜是指An2FJ與正n值的關(guān)系，雙邊振幅頻譜是指lFnl與正負n值的關(guān)系。應(yīng)注意lFJlF-J，所以將雙邊振幅頻譜Fnl-n圍繞縱軸將負n一邊對折到n一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅An頻譜。當(dāng)Fn為實數(shù)，且f各諧波分量的相位為零或土n,圖形比較簡單時，也可將振幅頻譜和相位頻譜合在一幅圖中。比如，例3-4中f的頻譜可用Fn與n,關(guān)系圖形反映，如圖3-7所示。Fn0.25，7G，5G5G7G-4G-3Q-G0G3Q圖3-73周期信號頻譜的特點圖3-7反映了

5、周期矩形信號f頻譜的一些性質(zhì)，實際上它也是所有周期信號頻譜的普遍性質(zhì)，這就是：離散性。指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成，這種頻譜稱為離散頻譜或線譜。G2兀諧波性。指各次諧波分量的頻率都是基波頻率T的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是G的整數(shù)倍。收斂性。指譜線幅度隨nT而衰減到零。因此這種頻譜具有收斂性或衰減性.二、周期信號的有效頻譜寬度在周期信號的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義，得到廣泛的應(yīng)用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號為例，進一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的圖3-8關(guān)系。_E-T-/20/2計圖3-8所示信號f的脈沖寬度為,脈沖幅

6、度為E,重復(fù)周期為T,重復(fù)2,若將f展開為式(3-17)傅里葉級數(shù)，則由式(3-18)可得F=丄尹Eej=生S(空)(3-26)nT/2Ta2在這里Fn為實數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中，如圖3-9所示。由此圖可以看出：=竺周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，兩譜線間隔為T。直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅E和脈寬，反比于sinx周期T,其變化受包絡(luò)線x的牽制。2m2m，(m，1,2)，當(dāng)T時，譜線的包絡(luò)線過零點。因此T稱為零分量頻率。周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，它可分解為無限多個頻率分量，0但其主要能量集中在第一個零分量頻率之內(nèi)。因此通常把t這段頻率范圍稱為矩形

7、信號的有效頻譜寬度或信號的占有頻帶，記作或2、（3-27）顯然，有效頻譜寬度B只與脈沖寬度t有關(guān)，而且成反比關(guān)系。有效頻譜寬度是研究信號與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容，要使信號通過線性系統(tǒng)不失真，就要求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號的頻寬相適應(yīng)。對于一般周期信號，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號的占有頻帶。三、周期信號頻譜與周期T的關(guān)系下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號為例進行分析。因為Et（nT）（?。┧栽诿}沖寬度T保持不變的情況下，若增大周期T,則可以看出:0，離散譜線的間隔T將變小，即譜線變密。各譜線的幅度將變小，包絡(luò)線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢。由于T不變，故零分量頻率位

8、置不變，信號有效頻譜寬度亦不變。圖3-10給出了脈沖寬度相同而周期T不同的周期矩形脈沖信號的頻譜。由圖可見，這時頻譜包絡(luò)線的零點所在位置不變，而當(dāng)周期T增大時，頻譜線變密,即在信號占有頻帶內(nèi)諧波分量增多，同時振幅減小。當(dāng)周期無限增大時，f變?yōu)榉侵芷谛盘?，相鄰譜線間隔趨近于零。相應(yīng)振幅趨于無窮小量，從而周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，這將在下一節(jié)中討論。w-2,/:*-3-2023ET=4TOC o 1-5 h z-T古Ttaf2,/-wAf(t)T=&-T圖3-10r如果保持周期矩形信號的周期T不變，而改變脈沖寬度，則可知此時譜線增大，即信號間隔不變。若減小，則信號頻譜中的第一個

9、零分量頻率的頻譜寬度增大，同時出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個零分量頻率間所含的諧波分量增大。并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。若增大，則反之。四、周期信號的功率譜周期信號f(t)的平均功率可定義為在1電阻上消耗的平均功率，即P二-JT/2f2(t)dt(3-28)T-T/2周期信號f的平均功率可以用式(3-28)在時域進行計算，也可以在頻域進行計算。若f的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式為f(t)二藝Fejntnn=則將此式代入式(3-28),并利用Fn的有關(guān)性質(zhì)，可得(3-29)P=-JT/2f2(t)dt=區(qū)T-T/2該式稱為帕塞瓦爾(Parseval)定理。它表明周期信號的平均功率完

10、全可以在頻域用Fn加以確定。實際上它反映周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均功率分量之和。與n的關(guān)系稱為周期信號的功率頻譜，簡稱為功率譜。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號f(t)在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分0E1,T丄,1丄量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。設(shè)420。解因為Etn0T1sin(n,/5)FS()nTa25n,/5作出頻譜和功率譜圖，如圖3-11所示。第一個零分量頻率為還40,0T所以在信號頻譜寬度內(nèi)，包含一個直流分量和四個諧波分量。afn1/548,:48,-32,-16,016,32,7Af2n1/2548,A4笙:*32,-16,016,32,】圖3-11周期