初中數(shù)學復習第四講-整式與分式

1、v1.0 可編輯可修改10 初中數(shù)學復習 第四講整式與分式一、知識結(jié)構(gòu)說明：在本部分，代數(shù)式分為整式和分式討論。在實數(shù)范圍內(nèi)，代數(shù)式分為有理 式和無理式，有理式分為整式和分式，整式分為單項式和多項式。二、知識點梳理代數(shù)式：用運算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。 用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié) 果叫做代數(shù)式的值。單項式：由數(shù)與字母的積或字母與字母的積所組成的代數(shù)式叫做單項式 （單獨 一個數(shù)也是單項式） ；單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的 系數(shù)（包 括符號）；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的 次數(shù) 。多項式：由幾個單項式的和組成

2、的代數(shù)式叫做多項式； 在多項式中的每個單項 式叫做多項式的 項，不含字母的項叫做 常數(shù)項 ；次數(shù)最高項的次數(shù)就 是這個多項式的 次數(shù) 。整式 ：單項式、多項式統(tǒng)稱為整式。分式：兩個整式 A、B相除，即 A B時，可以表示為 A.如果 B中含有字母，B那么A叫做分式， A叫做分式的分子， B叫做分式的分母。B同類項：所含的字母相同，且相同的字母的指數(shù)也相同的單項式叫做同類項。把多項式中的同類項合并成一項，叫做 合并同類項 ；一個多項式 合并 后含有幾項，這個多項式就叫做幾項式。合并同類項的法則：把同類 項的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變（合 并同類項，法則不能忘，只求系數(shù)代

3、數(shù)和，字母指數(shù)不變樣） 。整式的加減 ：整式的加減就是單項式、 多項式的加減， 可利用去括號法則和合 并同類項來完成整式的加減運算。 去括號法則 ：括號前面是“ +” 號，去掉“+”號和括號， 括號里的各項不變號； 括號前面是“” 號，去掉“”號和括號，括號里的各項都變號。（括號前面是 “+” 號，去掉括號不變號；括號前面是“”號，去掉括號都變號。 ）同底數(shù)冪的乘法 ：同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。am ? an =am+n . （m、 n都是正整數(shù)）冪的乘方 ：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即m n mna =a .（m、n 都是正整數(shù)）積的乘方 ：積的乘方等于把積的每一個因式分別乘方

4、，再把所得的冪相乘，即n n nab =anbn.（n 為正整數(shù)）整式的乘法 ：（1）單項式與單項式相乘：單項式與單項式相乘，把它們的系 數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘的積作為積的因式， 其余字母連同它 的指數(shù)不變，也作為積的因式。（2）單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式乘 以多項式的每一項，再把所得的積相加。（3）多項式與多項式相乘：多項式與多項式相乘，先用一個多 項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得到的 積相加。同底數(shù)冪的除法 ：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。即am an am n.（m、n 是正整數(shù)且 mn，a0） 任何不等于零的數(shù)的零次冪為 1，即a0 1 a 0整式

5、的除法 ：（1）單項式除以單項式：兩個單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪 分別相除作為商的因式， 對于只在被除式里含有的字母， 則 連同它的指數(shù)作為商的一個因式。（2）多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。分式的基本性質(zhì) ：分式的分子和分母都乘以 （或除以） 同一個不為零的整式，分式的值不變，即AA?MANBB?MAN其中 M、N 為整式，且 B 0，M0，N0約分：把一個分式的分子與分母中相同的因式約去的過程，叫做約分； 如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（ 1 除外），那么這個分式 叫做 最簡分式 ；化簡分式時， 如果分式的分子和分母都是單項式，

6、 約分時約去它們系數(shù) 的最大公因數(shù)、相同因式的最低次冪。如果分子、分母是多項式，先分 解因式，再約分?；喎质綍r要將分式化成最簡分式或整式。通分：將幾個異分母的分式分別化為與原來分式的值相等的同分母分式的過 程叫做通分。17.分式的運算 ：（1） 分式的乘除 ：兩個分式相乘，將分子相乘的積作分子，分母 相乘的積作分母；分式除以分式，將除式的分子和分母顛倒 位置后，再與被除式相乘。用式子表示為：A C AC?,B D BD A C A?D AD.B D B C BC（2）分式的加減 ：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母分式相加減，先將它們通分，然后進行加減。乘法公式：（1）平方差公式

7、 ：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的乘積等于這兩個 數(shù)的平方差，即a b a b a2 b2.（ 2）完全平方公式 ：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和， 加上（或減去）它們積的兩倍，即2 22a+b a2 2ab b2,2 22a b a2 2ab b2.因式分解 ：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式 因式 分解 ，也叫做把這個多項式 分解因式 。（1）提取公因式法 ：（一個多項式中每一項都含有的因式叫做這個 多項式的公因式 。）如果一個多項式的各項含有公因式，那么 可以把該公因式提取出來作為多項式的一個因式， 提取公因式 后的式子放在括號里， 作為另一個因式， 這種分解因式

8、的方法 叫做提取公因式法。 提取的公因式應是各項系數(shù)的最大公因數(shù)（系數(shù)都是整數(shù)時） 與各項都含有的相同字母的最低次冪的積。（2）公式法 ：逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫做公式 法。平方差公式 ：如果一個多項式能寫成兩個數(shù)的平方差的形式， 那么就可以運用平方差公式把它因式分解，它等于這兩個數(shù) 的和與這兩個數(shù)的差的積。完全平方公式 ：如果一個多項式能寫成兩個數(shù)的平方和，加 上（或減去） 這兩個數(shù)的積的兩倍， 那么就可以運用完全平方 公式把它分解因式，它等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。3）十字相乘法 ：如果二次三項式 x2 px q中的常數(shù)項 q 能分解 成兩個因數(shù) a、b 的積，而且一次

9、項系數(shù) p又恰好是 a+b，那 么 x2 px q 就可以進行如下的因式分解，即x2 px q x2 a b x ab x a x b .一般的，上式可以用十字交叉線表示：x +ax +b（ 4）分組分解法 ：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。分式方程 ：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。 一元方程的解也叫做方程的根， 在分式方程變形時， 有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的根， 這種根 叫做原分式方程的增根。整數(shù)指數(shù)冪：為了使同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在 m、n 是正整數(shù)，且 mn 時仍1成立，規(guī)定a p a1p （其中 a0，p是自然數(shù)）整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)：am ?an =am+n （m、n為整

10、數(shù)，a0）m n mna =a （m、 n 為整數(shù)， a0）n n nab =a b （ n 為整數(shù)， a0，b0）三、基本要求理解用字母表示數(shù)的意義；理解代數(shù)式的有關(guān)概念。通過列代數(shù)式，掌握文字語言與數(shù)學式子的表述之間的轉(zhuǎn)換，領悟字母“代” 數(shù)的數(shù)學思想；會求代數(shù)式的值。掌握整式的加、減、乘、除及乘方的運算法則， 掌握平方差公式、 兩數(shù)和（差） 的平方公式。理解因式分解的意義， 掌握提取公因式法、 公式法、二次項系數(shù)為 1 時的十字 相乘法、分組分解法等因式分解的基本方法。理解分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)，掌握分式的加、減、乘、除運算。理解正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的概念， 掌握有關(guān)

11、整數(shù)指數(shù)冪的 乘（除）、乘方等運算的法則。說明：在求代數(shù)式的值時，不涉及繁難的計算； 不涉及繁難的整式運算，多項式除法中的除式限為單項式； 在因式分解中， 被分解的多項式不超過四項， 不涉及添項、拆項等技巧； 不涉及繁復的分式運算。四、重點和難點 重點：整式與分式的運算，因式分解的基本方法，整數(shù)指數(shù)冪的運算 難點：選擇適當?shù)姆椒ㄒ蚴椒纸饧按鷶?shù)式的混合運算。五、中考考點考點 1：代數(shù)式的有關(guān)概念考核要求：（1）掌握代數(shù)式的概念，會判別代數(shù)式與方程、不等式的區(qū)別；（2）知道代數(shù)式的分類及各組成部分的概念，如整式、單項式、多項式；（3）知道代數(shù)式的書寫格式 . 注意單項式與多項式次數(shù)的區(qū)別 .例1

12、（1）下列選項中是代數(shù)式的是 （ ）32Ax3 8y Bx2 9C x y 4 D x 5 y（2） 1 x2y 的系數(shù)是，次數(shù)是3（3） 2x2 x 1 是次 項式。（4）將 xy2 2x2y x3 4y3 1 按字母 x 的降冪排列分析： （1） 用運算符號和括號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù) 式；（2） 單項式的系數(shù)包括符號，次數(shù)是所有字母的指數(shù)的和； （3） 次數(shù)最高項的次數(shù)就是這個多項式的 次數(shù)；（4）按 x 的降冪排列，與 y 無關(guān)， y 相當于是常數(shù)。解：（1）A （2） 1 3（3）二 三 （4） x3 2x2y xy2 4y3 13考點 2：列代數(shù)式和求代數(shù)式的值

13、考核要求：（1）會用代數(shù)式表示常見的數(shù)量，會用代數(shù)式表示含有字母的簡 單應用題的結(jié)果；（2）通過列代數(shù)式，掌握文字語言與數(shù)學式子表述之間的轉(zhuǎn)換；（3）在求代數(shù)式的值的過程中，進行有理數(shù)的運算 .例 2 （ 1）用代數(shù)式表示：比a的3倍還多 2的數(shù)；x 的立方根與 2 的和 .（2）當 a=2，a=-3，a=1 時，求代數(shù)式 3a a 1 的值。22解：（1） 3a+2 x3 2 （2） 9 9 98考點 3：整式的加、減、乘、除及乘方的運算法則 考核要求：（1）掌握整式的加、減、乘、除及乘方的運算法則； （2）會用同底數(shù)冪的運算性質(zhì)進行單項式的乘、除、乘方及簡單混合運算；（3）會求多項式乘以或

14、除以單項式的積或商；（4）會求兩個或三個多項式的積 .注意：要靈活理解同類項的概念 .例 3 （1） 若 2x3ym與 3xny2 是同類項，則 m + n （2）先化簡，再求值：2a（a b） （a b）2，其中 a2008 ， b 2007 （3）先化簡，再求值：（a2b 2ab2 b3） b （a b）（a b） ，其中 a 1，b 1（4）已知代數(shù)式 3x2 4x 6的值為 9，則 x2 4x 6的值為 3分析：（1）知道同類項的概念； （2）（3）要求熟練掌握整式的運算性質(zhì)；（4）巧算。解：（1）5 （2） 1 （3）1 （4）7考點 4：乘法公式（平方差、兩數(shù)和、差的平方公式）及其

15、簡單運用考核要求：（1）掌握平方差、兩數(shù)和（差）的平方公式；（2）會用乘法公式簡化多項式的乘法運算；（3）能夠運用整體思想將一些比較復雜的多項式運算轉(zhuǎn)化為乘法 公式的形式 .注意：（1）熟記平方差與完全平方公式。 （2）完全平方公式、平方差公式中 字母，不僅表示一個數(shù)，還可以表示單項式、多項式 .例 4 （1） （a b）（c d） ； （2）（ab）（ab） ；22（3） （a b）2；（4）（a b） 2.（5）計算： 10298；2x52x 5 ；a2a2a2 4 .（6）計算： 2x 3y ；ab2 c；xy2xy2.解：（1)ac+ad+bc+bd (2）2 ab2 (3）2a2 2

16、abb222(4) a2 2ab b2（5）9996 ； 4x2 25 ； a4 16 （6） 4x2 12xy 9y2；a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac ； x2 y2 4y 4考點 5：因式分解的意義考核要求：（1）知道因式分解的意義和它與整式乘法的區(qū)別； （2）會鑒別一個式子的變形過程是因式分解還是整式乘法 .例 5 在下列從左到右的變形中，是因式分解的是（）.2 2 2 2 2（A）（ab）（a b） a2 b2；（B）（ab）2a22ab b2 ；（C） 2a3b 4a2b 2a2b（2 a） ； （D）a2 2a 3 a（a 2） 3. 分析：因式分解與整式的乘法的過程正好

17、相反。 因式分解是從多項式變?yōu)閹?個整式的積，而整式的乘法， 是把整式的積化為一個多項式或單項式。 解：A考點 6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分組分解法、公式法、二次項系 數(shù)為 1 的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分組分解法和二次項系數(shù)為 1 時的 十字相乘法等因式分解的基本方法 .例 6 （1） 下列分解因式正確的是（ ） 22A 2x2 xy x 2x（x y 1） B xy2 2xy 3y y（xy 2x 3）22C x（x y） y（x y） （x y）2 D x2 x 3 x（x 1） 3（ 2）分解因式 a3 ab2 =（3） 分解因式 2x2 12x 1

18、84）分解因式 ax3y axy3 2ax2 y25）將 1 x x3 x2 分解因式的結(jié)果是 46）分解因式 am an bm bn= 2解：（ 1）C （2） a a b a b （3） 2 x 3 （4） axy x y21（ 5） x x（6） a b m n2考點 7：分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)考核要求：（ 1）會求分式有無意義或分式為 0 的條件； （2）理解分式的有關(guān)概念及其基本性質(zhì)； （ 3）能熟練地進行通分、約分 .例 7 （1）若分式 2x 4 的值為零 , 則 x 的值是（ ）x2 x 2或-2（ 2）當 a時，分式 a 1 有意義2a 31（3）分式1 有意義的條件是1

19、11x分析：（1）分子為零，而分母不為零； （2）（ 3）分母不為零3解：（1）C （2）a3 （3）x1且 x 22說明：（1）若要分式有意義，則分母不為零（每一個分母） ；2）若要分式的值為零，則分子為零，且分母不能為零?？键c 8：分式的加、減、乘、除運算法則考核要求：（1）掌握分式的運算法則；例 8 （1）2）能熟練進行分式的運算、分式的化簡計算 3 6x2 5x 1 x x22xyx y x y4xy44xy2x22xy22）2a 2 2ab 2a23ab 3b 2解：（ 1） 8 ； xy（ 2） 3bx x y考點 9：正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、分數(shù)指數(shù)冪的概念考核要求

20、：（1）理解正整數(shù)指數(shù)、零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)的冪的概念；（2）知道分數(shù)指數(shù)冪的意義；（3）能夠運用零指數(shù)的條件進行式子取值范圍的討論例 9 使 2a 1 有意義，則 a 的取值范圍是分析： a0 1 a 0解： a 12考點 10：整數(shù)指數(shù)冪，分數(shù)指數(shù)冪的運算考核要求：（1）掌握冪的運算法則；（2）會用整數(shù)指數(shù)冪及負整數(shù)指數(shù)冪進行運算；（3）掌握負整數(shù)指數(shù)式與分式的互化；（4）知道分數(shù)指數(shù)式與根式的互化。3 2 2例 10 (1)計算： (4x3 2x2 6x) ( 2x) (x 1)22）先化簡，再求值：2a b22 a2 2ab b2224a2 b222ab2 a2b其中 a=1,b=-11

21、解：（1） 3x2 3x 4 （ 2） 12說明：（1）熟記整數(shù)指數(shù)冪的運算法則；12）記?。?a p 1p （其中 a0，p 是自然數(shù)）； ap3）知道分數(shù)指數(shù)冪：m(n a0），0）其中 m、 n為正整數(shù)， n1.六、真題再現(xiàn)則化簡代數(shù)式 | a+b| aba0A2a+b B 2aCaDb（第 1 題圖）2、（2007重慶）計算6m3 ( 3m2) 的結(jié)果是A) 3mB) 2mC）2mD) 3m3、（2007廣州）下列計算中，正確的是（A x? x3 x3B x3 x x Cx3x2x3x3 x64、（2007四川成都） 3x 2x 1列運算正確的是（ 2x 2 21x2 ( a)2a3

22、a6 ( a2)3a64、（2007浙江嘉興）化簡： （a1）2（a1）2（A）2（ B）4（C）4a（D）2a225、（2007哈爾濱）下列計算中，正確的是（A3a 2b 5abB a?a4 a4 C a6 a2 a3D(a3b)2a6b262007福建晉江）對于非零實數(shù) m ，下列式子運算正確的是（A3 2 9 3 2 6 2 (m ) m ；B m m m ；C mm3m5 ；Dm6m2m4 。72007福建晉江）下列因式分解正確的是A4 x2 3x (2 x)(2 x) 3x ；B3x 4(x4)(x1)；C1 4x x22(1 2x)2 ；2x y xy xy x(xyx2y) 。8

23、、（2007湖北恩施）列計算正確的是（A 、 a3 ?a2 a644B 、b4 ?b42b4 C 、10 xD、y7?y9、（2007山東淮坊）代數(shù)式 3x24x 6 的值為9，則 x26 的值為（A7B18C12D9、選擇題1、（2007湖北宜賓）實數(shù) a、b 在數(shù)軸上的位置如圖所示， 的結(jié)果是10、（ 2007江西南昌）下列各式中，與 （a 1）2 相等的是（）BAa2 1B a2 2a 12C a2 2a 1D a2 1二、填空題 TOC o 1-5 h z 1、（200浙江義烏）當 x=2，代數(shù)式 2x 1的值為 _22、（2007 湖北宜賓）因式分解： xy22xy+x =.3、（2

24、007 浙江金華）分解因式： 2x2 18 4、（2007 江蘇鹽城）分解因式： x29。5、（2007 哈爾濱）分解因式： 3ax2 3ay26、（2007 湖北恩施）分解因式 a3ab27、（2007 山東煙臺）請你寫一個能先提公因式、再運用公式來分解因式的三項式，并寫出分解因式的結(jié)果 m 1 n mn m 1 x 3 2 x x 2 x2 48、（2007湖南株州）若 2x3 ym與 3xny2 是同類項，則 m+n 9、（2007浙江溫州）計算：10、（ 2007四川內(nèi)江）化簡： 11、（2007 山東淮坊）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： 4m2 8m 4 三、解答題1、（2007浙江溫州）給

25、出三個多項式： 1 x2 x 1,1 x2 3x 1,1x2 x,2 2 2 請你選擇其中兩個進行加法運算，并把結(jié)果因式分解。2、（ 2007福建晉江）先化簡，再求值： （a 1）2 a（a 1），其中 a 2 13、（ 2007重慶）先化簡，再求值：x2 2xx2 1x12x 1x1，其中 x 124、（ 2007江西）化簡：4 a 2 a2 4 a5、（2007 山東煙臺）有意道題： “先化簡，再求值： （x 3 26x ） 21 ，其 x 3 x2 9 x2 9中“x=一 2007 ”小亮同學做題時把“ x= 一 2007 ”錯抄成了“ x= 2007 ”， 但他的計算結(jié)果也是正確的，請你解釋這是怎么 , 回事6、2007江蘇常州）41