高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題專(zhuān)題-導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專(zhuān)心-專(zhuān)注-專(zhuān)業(yè)導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)偏移專(zhuān)題目錄極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移的判定定理不含參數(shù)的偏移問(wèn)題含參數(shù)的偏移問(wèn)題含絕對(duì)值的偏移問(wèn)題含指數(shù)的偏移問(wèn)題含函數(shù)選取的偏移問(wèn)題八、含函數(shù)偏移問(wèn)題的極終手段一、極值點(diǎn)偏移的含義眾所周知，函數(shù)滿(mǎn)足定義域內(nèi)任意自變量都有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；可以理解為函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點(diǎn). 如二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是極值點(diǎn)，若的兩根的中點(diǎn)為，則剛好有，即極值點(diǎn)在兩根的正中間，也就是極值點(diǎn)沒(méi)有偏移.若相等變?yōu)椴坏龋瑒t為極值點(diǎn)偏移：若單峰函

2、數(shù)的極值點(diǎn)為，且函數(shù)滿(mǎn)足定義域內(nèi)左側(cè)的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點(diǎn)左右側(cè)變化快慢不同. 故單峰函數(shù)定義域內(nèi)任意不同的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則與極值點(diǎn)必有確定的大小關(guān)系：若，則稱(chēng)為極值點(diǎn)左偏；若，則稱(chēng)為極值點(diǎn)右偏.KS5UKS5UKS5U如函數(shù)的極值點(diǎn)剛好在方程的兩根中點(diǎn)的左邊，我們稱(chēng)之為極值點(diǎn)左偏.二、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：1. 若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）； 2. 若函數(shù)中存在且滿(mǎn)足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3. 若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4. 若函數(shù)中存在且滿(mǎn)足，令，求證：.三、問(wèn)題初現(xiàn)，形神合聚函數(shù)有兩極值點(diǎn)，且.證明：.所以，所以，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減所以，即.

3、 已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于，過(guò)的中點(diǎn)作軸的垂線分別交，于點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.四、招式演練過(guò)點(diǎn)作曲線的切線（1）求切線的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，求證：【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程因?yàn)椋环猎O(shè)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，KS5UKS5UKS5U所以，所以當(dāng)時(shí)， 因?yàn)閤2-2，所以，從而，因?yàn)?，在單調(diào)遞減，所以，即 一、極值點(diǎn)偏移的判定定理對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極

4、（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）若，則，即函數(shù)在區(qū)間上極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏.證明：（1）因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間上只有一個(gè)極大（?。┲迭c(diǎn)，則函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為，單調(diào)遞減（增）區(qū)間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數(shù)極（?。┐笾迭c(diǎn)右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點(diǎn)左偏） 左慢右快（極值點(diǎn)右偏）左快右慢（極值點(diǎn)左偏） 左慢右快（極值點(diǎn)右偏）二、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法1、方法概述：（1）求出函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）構(gòu)造一元差函數(shù)；（3）確定函數(shù)的單調(diào)性；（4）結(jié)合，判斷的符號(hào)，從而確定、的大小關(guān)系.口訣：極值偏離對(duì)稱(chēng)軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個(gè)步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.2、抽

5、化模型答題模板：若已知函數(shù)滿(mǎn)足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)； 假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.KS5UKS5U.KS5U（2）構(gòu)造； 注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.KS5UKS5U（3）通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，故，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明

6、：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.【說(shuō)明】（1）此類(lèi)試題由于思路固定，所以通常情況下求導(dǎo)比較復(fù)雜，計(jì)算時(shí)須細(xì)心；（2）此類(lèi)題目若試題難度較低，會(huì)分解為三問(wèn)，前兩問(wèn)分別求的單調(diào)性、極值點(diǎn)，證明與（或與）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形如或的結(jié)論，讓你給予證明，此時(shí)自己應(yīng)主動(dòng)把該小問(wèn)分解為三問(wèn)逐步解題.KS5UKS5U.KS5U三、對(duì)點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，且，證明：.，在上單調(diào)遞增，. 函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn).證明：. 已知函數(shù)，若，且，證明：.【解析】由函數(shù)單調(diào)性可知：若，則必有，。所以，而，令，則所以函數(shù)在為減函數(shù)，所以，所以即，所以，所以.

7、已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.四、招式演練已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).（）求的極值；（）若，證明：當(dāng)，且時(shí)， .【答案】(1) 當(dāng)時(shí)， 無(wú)極值; 當(dāng)時(shí), 有極小值;(2)詳見(jiàn)解析. 【解析】試題分析：（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可試題解析：（）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， 在時(shí)成立 在上單調(diào)遞增， 無(wú)極值.當(dāng)時(shí)， 解得 由 得；由 得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極小值.（）當(dāng)時(shí)， 的定義域?yàn)椋?，由，解得.當(dāng)

8、變化時(shí)， ， 變化情況如下表：00+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增，且，則（不妨設(shè)）已知函數(shù)，其中（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有極大值為，且方程的兩根為，且，證明： .【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析. （1）當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)， 0-極大值的極大值為，由得；因?yàn)椋栽诒卮嬖谝粋€(gè)零點(diǎn)；顯然當(dāng)時(shí)， ，所以在上必存在一個(gè)零點(diǎn)；KS5UKS5UKS5UKS5U三、不含參數(shù)的偏移問(wèn)題函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，其實(shí)是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡(jiǎn)潔，涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)，是一個(gè)多元數(shù)學(xué)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙

9、變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).例.（2010天津理）已知函數(shù) ，如果，且.證明：構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，也即對(duì)恒成立.由，則，所以，即，又因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，即證 法三：由，得，化簡(jiǎn)得，不妨設(shè)，由法一知，.KS5UKS5U.KS5U令，則，代入式，得，反解出，則，故要證，KS5UKS5UKS5U即證，又因?yàn)?，等價(jià)于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，從而也在上單調(diào)遞增， 構(gòu)造，則，又令，則，由于對(duì)恒成立，故，在上單調(diào)遞增，所以，從而，故在上單調(diào)遞增，KS5UKS5UKS5U由洛比塔法則知：，即證，即證式成立，也即原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】以上四種

10、方法均是為了實(shí)現(xiàn)將雙變?cè)牟坏仁睫D(zhuǎn)化為單變?cè)坏仁?，方法一、二利用?gòu)造新的函數(shù)來(lái)達(dá)到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變?cè)?，將兩個(gè)舊的變?cè)紦Q成新變?cè)獊?lái)表示，從而達(dá)到消元的目的.例.（2013湖南文）已知函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，KS5UKS5UKS5U【解析】易知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 招式演練：已知函數(shù)，正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.證明：.KS5UKS5U【解析】由，得從而，令，構(gòu)造函數(shù)，得，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，也即，解得：.已知函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若方程 有兩個(gè)相異實(shí)根，且，證明：.【答案】（）在 (0,1)遞增， 在(1,+ 遞減；（）見(jiàn)解析（2）由(1)可設(shè)的兩個(gè)相

11、異實(shí)根分別為，滿(mǎn)足且， 由題意可知 又有(1)可知在遞減故 所以，令 四、含參數(shù)的偏移問(wèn)題含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)幕A(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).例1. 已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：. 不妨設(shè)，記，則， 因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在上遞增， 所以，因此原不等式獲證.例2. 已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)： 不妨設(shè)，欲證明，即證.，即證，原命題等價(jià)于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)

12、化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：， 故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.例3.已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求證：. 要證：，即證：，等價(jià)于，也即，等價(jià)于，令等價(jià)于，也等價(jià)于，等價(jià)于即證：令，則，又令，得，在單調(diào)遞減，從而，在單調(diào)遞減，即證原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式. 例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.KS5UKS5UKS5U再證：.，而，.證畢.【招式演練】設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：

13、由，易知且，從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可，又因?yàn)椋醋C：，令，則，在上單調(diào)遞減， 原不等式成立.設(shè)函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處切線的斜率為.當(dāng)時(shí)，令，設(shè)是方程的兩個(gè)根，是的等差中項(xiàng)，求證：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有， 構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，從而不等式式成立，故原不等式成立. 已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩零點(diǎn)（），求證：

14、.【點(diǎn)評(píng)】1.方程的變形方向：是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，1是該函數(shù)的極值點(diǎn).是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，是該函數(shù)的極值點(diǎn).2.難點(diǎn)的證明依賴(lài)?yán)梅趴s.已知函數(shù) .（）討論f(x)的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)， ；（）設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明f(x1+x22)0 .【答案】（）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（）當(dāng)時(shí)，f(a+x)0，在區(qū)間上單調(diào)遞增，成立故原命題得證已知函數(shù). （1）若在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，證明： .【答案】（）和；（）見(jiàn)解析（）由，只要證只需證，不妨設(shè) 即證，只需證，則在上單調(diào)遞增， ，即證六、含指數(shù)的偏移問(wèn)題近幾年全國(guó)各地的模擬試題

15、、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類(lèi)考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的題型：在給定區(qū)間內(nèi)研究?jī)珊瘮?shù)之間的不等關(guān)系. 要解決這類(lèi)問(wèn)題，往往是直接構(gòu)造某個(gè)新函數(shù)，或者分離變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求出最值或者得到我們想要的不等關(guān)系. 這一類(lèi)問(wèn)題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時(shí)除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問(wèn)題，再用對(duì)數(shù)平均不等式求解，本文對(duì)此類(lèi)問(wèn)題做一探究.（2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).證明：.法二：參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得：，不難發(fā)現(xiàn)，故可整理得：設(shè)，則那么，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增設(shè)，構(gòu)造代數(shù)式：設(shè)，KS5UKS5UKS5U則，故單調(diào)遞增，有因此，對(duì)

16、于任意的，由可知、不可能在的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，不妨設(shè)，則必有令，則有而，在上單調(diào)遞增，因此：整理得：法三：參變分離再構(gòu)造對(duì)稱(chēng)函數(shù)由法二，得，構(gòu)造，利用單調(diào)性可證，此處略. 法五：利用“對(duì)數(shù)平均”不等式 參變分離得：，由得，將上述等式兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得，化簡(jiǎn)得：，故由對(duì)數(shù)平均不等式得：，從而 等價(jià)于： 由，故，證畢. (2010天津理)已知函數(shù) .如果，且.證明：.設(shè)函數(shù) ，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得： = 1 * GB3 = 2 * GB3 = 1 * GB3 - = 2 * GB3 得：，即： KS5UKS5UKS5U招式演練：已知

17、函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)為.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析.KS5UKS5UKS5U【解析】試題分析：（1）在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，即與有兩個(gè)交點(diǎn)，研究函數(shù) 單調(diào)性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果；（2）， ，兩式相除可得，設(shè)，只需證明即可.試題解析：（1）在上有兩個(gè)零點(diǎn)，方程，則，于是時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ，即在 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性進(jìn)而求最值、不等式恒成立問(wèn)題以及不等式證明問(wèn)題，屬于難題.對(duì)于求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，在可能的情況下把參數(shù)分離出來(lái)，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù), 這樣就把

18、問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù), 另一端是參數(shù)的不等式，便于問(wèn)題的解決. 但要注意分離參數(shù)法不是萬(wàn)能的, 如果分離參數(shù)后,得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜, 性質(zhì)很難研究, 就不要使用分離參數(shù)法.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明:當(dāng)時(shí)，.【解析】 (1) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)由(1)知當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，因?yàn)?，即，則，要證明，即，只需證明，即KS5UKS5UKS5U而等價(jià)于，令，則，令，則，所以單調(diào)遞減，即，所以單調(diào)遞減，所以，得證已知函數(shù)，若任意不同的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求證：.方案一（差為自變量）：法三：令，原式，則令，設(shè)，則在為減函數(shù)，則時(shí)有最大值，故，證畢.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）討

19、論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明： .【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】（） 當(dāng)時(shí)， ，則函數(shù)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)當(dāng)時(shí)，令，則若，則， 在上是單調(diào)減函數(shù)；若，則， 在上是單調(diào)增函數(shù).KS5UKS5UKS5U七、含函數(shù)選取的偏移問(wèn)題于極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，前文已多次提到其解題策略是將多元問(wèn)題（無(wú)論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題，過(guò)程都需要構(gòu)造新函數(shù). 那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會(huì)選取不同的函數(shù).已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，其極值點(diǎn)為（1）求的取值范圍；（2）求證：；（3）求證：；（4）求證：解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增， 至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；則必有，得在上遞減

20、， 在上遞增，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則須有（嚴(yán)格來(lái)講，還需補(bǔ)充兩處變化趨勢(shì)的說(shuō)明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）（3）由所證結(jié)論可以看出，這已不再是的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，誰(shuí)的極值點(diǎn)會(huì)是1呢？回到題設(shè)條件：（ii）構(gòu)造函數(shù)，則 （4）（i）同上；（ii）構(gòu)造函數(shù)，則 當(dāng)時(shí)，但因式的符號(hào)不容易看出，引進(jìn)輔助函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（iii）將代入（ii）中不等式得，又，在上遞增，故， 點(diǎn)評(píng)：雖然做出來(lái)了，但判定因式及的正負(fù)時(shí)，均需要輔助函數(shù)的介入，費(fèi)了一番功夫，雖然的極值點(diǎn)是1，理論上可以用來(lái)做（3）、（4）兩問(wèn)，但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)略顯麻煩，我們還沒(méi)有找到理想的函數(shù)再次回到題設(shè)條件：，記函數(shù)

21、，則有接下來(lái)我們選取函數(shù)再解（3）、（4）兩問(wèn)（3）（i），得在上遞減，在上遞增，有極小值，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 由不妨設(shè) 【點(diǎn)評(píng)】用函數(shù)來(lái)做（3）、（4）兩問(wèn)，過(guò)程若行云流水般，格外順暢這說(shuō)明在極值點(diǎn)偏移問(wèn)題中，若函數(shù)選取得當(dāng)，可簡(jiǎn)化過(guò)程，降低難度注1：第（2）問(wèn)也可借助第（4）問(wèn)來(lái)證：將，相加得注2：在第（ii）步中，我們?yōu)槭裁纯偸墙o定的范圍？這是因?yàn)榈姆秶^的范圍小，以第（3）問(wèn)為例，若給定，因?yàn)樗鶚?gòu)造的函數(shù)為，這里，且，得，則當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，被迫分為兩類(lèi)：若，則，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，類(lèi)似于原解答 而給字，則不會(huì)遇到上述問(wèn)題當(dāng)然第（4）問(wèn)中給定或的范圍均可，請(qǐng)讀者自己體會(huì)其中差別【思考】練習(xí)1：（

22、查看熱門(mén)文章里極值點(diǎn)偏移（1）應(yīng)該用哪個(gè)函數(shù)來(lái)做呢？提示：用函數(shù)來(lái)做，用函數(shù)來(lái)做 練習(xí)2 ：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測(cè)）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè), ，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證.提示：將，兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程處理.【招式演練】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.只要證：即證：，即證：，由的單調(diào)性知，只需證：， 同理構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明，下略.已知的圖像上有兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，且.（1）證明：；（2）證明：.又構(gòu)造函數(shù)：，則，故在上單調(diào)遞增，由于時(shí)，且，故必存在，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又時(shí)，且，故在上恒成立，也即在上恒成立，令，有， 再由，且在上單調(diào)遞增，故，即證：成立

23、.綜上：即證成立.從而對(duì)恒成立，同理得出：.綜上：即證成立，也即原不等式成立. 已知函數(shù)（1）若曲線過(guò)點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， ，求證： 【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ；（3）證明見(jiàn)解析.試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得因?yàn)?，所以切線的斜率為0，所以切線方程為（2）因?yàn)?，?dāng)時(shí)， ， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)， ， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則； 當(dāng)，即時(shí)， ， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則綜上，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 令，則，于是，令（），則，故函

24、數(shù)在上是增函數(shù)，所以，即成立，所以原不等式成立所以，即成立，所以原不等式成立 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與切線的問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)與極值、最值的問(wèn)題，考查構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的方法.第一問(wèn)涉及求函數(shù)的參數(shù)，只需代入點(diǎn)的坐標(biāo)解方程即可，涉及切線問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)和斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系易得.第二問(wèn)求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值，需要對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)的依據(jù)是導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi).第三問(wèn)要證明不等式，先將其轉(zhuǎn)化為同一個(gè)參數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最小值來(lái)求.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿(mǎn)足條件.

25、證明： 1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.（2）若對(duì)于任意xe,e2，都有f(x)4lnx成立，求的取值范圍 ；（3）若x1x2,且f(x1)=f(x2),證明：x1x21,所以f(x)=lnx-k0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間,無(wú)極值；當(dāng)k0時(shí)，令lnx-k=0,解得x=ek，當(dāng)1xek時(shí)，f(x)ek,f(x)0所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,ek)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ek,+)，在區(qū)間(1,+)上的極小值為f(ek)=(k-k-1)ek=-ek,無(wú)極大值 由題意，f(x)-4lnx0,即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為(x-4)lnx-(k+1)x(x-4)lnxx對(duì)于xe,e

26、2恒成立,令g(x)=(x-4)lnxx,則g(x)=4lnx+x-4x2,令t(x)=4lnx+x-4,xe,e2,則t(x)=4x+10,所以t(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e0,故g(x)0,所以g(x)在區(qū)間e,e2上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)max=g(e2)=2-8e2要使k+1(x-4)lnxx對(duì)于xe,e2恒成立,只要k+1g(x)max,又f(x1)=f(x2),即證f(x1)f(e2kx1),構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(e2kx)=(lnx-k-1)x-(lne2kx-k-1)e2kx,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k(l

27、nxx-k-1x2),x(0,ek)KS5UKS5Uh(x)=lnx+1-(k+1)+e2k(1-lnxx2+k-1x2)=(lnx-k)(x2-e2k)x2,因?yàn)閤(0,ek),所以lnx-k0,x20,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,ek)上單調(diào)遞增,故h(x)h(ek),而h(ek)=f(ek)-f(e2kek)=0,故h(x)0,所以f(x1)f(e2kx1),即f(x2)=f(x1)f(e2kx1),所以x1x2e2k成立點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問(wèn)題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭(zhēng)第一二問(wèn)答對(duì)，第三問(wèn)爭(zhēng)取能寫(xiě)點(diǎn)，一般

28、涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類(lèi)討論，對(duì)于恒成立問(wèn)題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問(wèn)題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì)已知函數(shù)()求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)極值點(diǎn)為，若存在，且，使，求證：【答案】（1）增區(qū)間為： 減區(qū)間為： ；（2）見(jiàn)解析.試題解析：（） 的定義域?yàn)椋傻? 由得增區(qū)間為： 由得減區(qū)間為： （）要證，只需證由（）知在上為增函數(shù)， 在上是增函數(shù)， ，即又成立，即已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明： .【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

29、見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)， ， 遞增，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有一零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價(jià)轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明，只需證明 ，即證明，即證明，再令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最值： 在上遞增，所以，即可證得結(jié)論.試題解析：(1) 的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)， ， 遞增當(dāng)時(shí)， 遞增； 遞減綜上：當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為 即證明，即證明 令，則則， 在上遞減， ，在上遞增， 所以成立，即點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差

30、函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).（1）不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（2）設(shè)在內(nèi)的實(shí)根為， ，若在區(qū)間上存在，證明： .【答案】（1）1（2）見(jiàn)解析 ：要證： ，即證： ，只要證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中.利用導(dǎo)數(shù)可得 在上單調(diào)遞增，即得試題解析：（1）由，所以，設(shè)，.由， 在上單調(diào)遞增；， 在上單調(diào)遞減，所以，即，所以實(shí)數(shù)的最大值為.而，故，而，從而，因此當(dāng)，即單調(diào)遞增.從而當(dāng)時(shí)， ，即，故得證.已知函數(shù)為實(shí)數(shù))

31、的圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時(shí)， .【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析. 已知.（）求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】（）見(jiàn)解析； （）見(jiàn)解析.【解析】試題分析: （）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，由得， 時(shí)， ， 時(shí)， ，即可得出單調(diào)區(qū)間；（）由（）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為不妨設(shè)，由條件知，即，構(gòu)造函數(shù)， 與圖像兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， ，利用單調(diào)性只需證構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性極值及恒成立問(wèn)題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題處理導(dǎo)數(shù)大

32、題時(shí)，注意分層得分的原則，力爭(zhēng)第一二問(wèn)答對(duì)，第三問(wèn)爭(zhēng)取能寫(xiě)點(diǎn)，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性及極值時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類(lèi)討論，對(duì)于恒成立問(wèn)題一般要分離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問(wèn)題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì)已知函數(shù)， （）若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)， ，且，證明： 【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析.若，即，方程的兩根為， ，當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)單調(diào)遞增，不符合題意綜上，若函數(shù)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以

33、在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，即在有兩個(gè)不等的實(shí)根， ，于是， 且滿(mǎn)足， ，同理可得，令， ， ，又時(shí)， ，則在上單調(diào)遞增，所以，即，得證已知函數(shù)與的圖象在點(diǎn)處有相同的切線（）若函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：【答案】（）；（）證明過(guò)程見(jiàn)解析；KS5UKS5UKS5U （）由題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，令，得，其判別式，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)， ，等價(jià)于方程在內(nèi)有兩不等實(shí)根，又，故所以，且， ，令， ，則，由于，故在上單調(diào)遞減故所以，所以九、含函數(shù)偏移問(wèn)題的極終手段下面給出引例，通過(guò)探究，歸納總結(jié)出解決此類(lèi)問(wèn)題的一般性方法.已知，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：（為自然對(duì)數(shù)

34、的底數(shù)）解法一：齊次構(gòu)造通解偏移套路于是又，設(shè)，則因此，要證，即證：， 即：當(dāng)時(shí)，有設(shè)函數(shù)，則，所以，為上的增函數(shù)注意到，因此， 于是，當(dāng)時(shí)，有所以，有成立， 解法二 變換函數(shù)能妙解證法2：欲證，需證若有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)又，所以，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根顯然，否則，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，不符合題意由，解法三 構(gòu)造函數(shù)現(xiàn)實(shí)力證法3：由，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根得，令，由于，因此，在， 設(shè)，需證明，只需證明，只需證明，即，即KS5U 微信公眾號(hào) 中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落即，故在，故，即令，則，因?yàn)椋?，所以，?解法四 巧引變量（一）證法4：設(shè)，則由得，設(shè)，則，欲證，解法五 巧引變量（二）證法5：設(shè)，則由得，設(shè)，則，欲證，需證，即只需證明，即，設(shè)，故在，因此，命題得證 已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求證：.欲證：，結(jié)合的單調(diào)性，即證：等價(jià)于證明：令，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得原不等式成立，略.法二：接后續(xù)解:由得：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)由單調(diào)性易得在恒成立，又因?yàn)?，故成?法三：接后續(xù)解：視為主元，設(shè)則在上單調(diào)遞增，故，再結(jié)合，故成立.法四：構(gòu)造函數(shù)， 則，從而在上單調(diào)遞增，故，即對(duì)恒成立，從而，則，由，且在單調(diào)遞增， 故，即，從而成立. 招式演練：已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 求的最值；證明： 【答案】（1），無(wú)