信息光學(xué)姜永遠(yuǎn)io

1、信息光學(xué)Information Optics姜哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系HIT第一章 光信息描述光波的數(shù)學(xué)描述1.1一、標(biāo)量波動(dòng)方程可見光：350 nm 770 nm波長(zhǎng)頻率： 3.9 1014 Hz 8.6 1014 Hzu( p,t)任一空間無(wú)源點(diǎn)上電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量滿足標(biāo)量波動(dòng)方程211v 2u u 0t2xy z v2球面波和平面波是波動(dòng)方程的基本解HIT二、單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅表示212u u 0t2v2簡(jiǎn)諧振動(dòng)特解:單色光場(chǎng)中某點(diǎn)在時(shí)刻的光振動(dòng)可表示成u ( p, t) a ( p) cos2 vt ( p) j 2 vt ( p ) Rej ( p )e j 2 vt Re ReU ( p)

2、e j2 vt 單色光波場(chǎng)的復(fù)振幅HITu ( p, t) U ( p)e j2 vt波的復(fù)振幅：H輻射能流密度坡印亭矢量S ncE 2011TS dt nc UI SE 22pnc光強(qiáng)00T20（ W/m2 ）相對(duì)分布，光強(qiáng)簡(jiǎn)化為HIT三、亥姆方程21j 2 vtu ( p, t) U ( p)e2u u 0t2v2亥姆方程k 2 2v空間的單色振幅都滿足該不含時(shí)間的偏微分方程U P aU (x, y, z) a exp jkxp(x cose jkrrz cos )y cosHIT四、球面波的復(fù)振幅表示從點(diǎn)光源發(fā)出的光波，在各向同性介質(zhì)中時(shí)形成球形波面，稱為球面波。球面波的等位相面是一組同

3、心球面，每個(gè)點(diǎn)上的振幅與該點(diǎn)到球心的距離成反比。當(dāng)直角坐標(biāo)原點(diǎn)與球面波中心重合時(shí)，單色球面波復(fù)振幅可寫作:U ( p) a0e jkr發(fā)散rU ( p) a0e jkr會(huì)聚rHITU ( p) a0e jkr發(fā)散ra0e jkrU ( p) 會(huì)聚r1/ 2)2 r (x x( y y(z z)2)2000y0y(x, y, z)xx0rs(x0 , y0 , z0 )zZHIT球面波在平面上的復(fù)振幅分布當(dāng)點(diǎn)光源或會(huì)聚點(diǎn)位于空間任一點(diǎn)時(shí)，有r x x y y z z z z 的平面 x y 上的光場(chǎng)分布。r與其相距可寫為x x y y r z x x zy y z x xy y如果傍軸近似z x

4、 x y yr z 利用二項(xiàng)式展開，并略去高階項(xiàng)，得到z將近似式代入發(fā)散球面波表達(dá)式，得到在平面上平面波復(fù)振幅分布為 y y U x, y a exp jkzexpj k zx xzHIT球面波的位相因子和等位相線 y y U x, y a k zexp jkzexpjx xz發(fā)散球面波在平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布的位相因子:exp jkz常量位相因子與距離有關(guān)隨平面坐標(biāo)變化有關(guān)項(xiàng)稱作二次位相因子（球面位相因子） y y k zx xexpj位相相同的點(diǎn)的軌跡，即等位相線方程為同心圓族x x y y CHIT球面波在平面上的等位相線x x y y C U x, y a k zexp jkzexpj

5、x xy yzUx, y a0 expjkzexp jkx x2y y22z 00zHITkx五、平面波的復(fù)振幅表示在任意時(shí)刻、與波矢量相垂直的平面上振幅和位相為常數(shù)的光波稱為平面波cos2 cos2 cos2 1zk 2 cos, cos , coscos 1 cos 2 cos2 y平面波到空間某點(diǎn)的復(fù)振幅的一般表達(dá)式為：U (x, y, z) a exp( jk r) a exp jk (x cos y cos z cos )U (x, y) Aexp jk (x cos y cos ) cos cos )A a exp( jkzHITx yU (x, y) Aexp jk (x cos

6、 y cos )平面波在面上的等位相線與坐標(biāo) x y有關(guān)的線性位相因子exp jk (x cos y cos )是表征平面波特點(diǎn)的x cos y cos C等位相線是平行直線族平面波等位相線方程為圖中虛線表示相位值相差 的一組波面與平面 x y 的交線，即等位相線是一組平行等距的斜直線1.2平面波的空間頻率光波場(chǎng)復(fù)振幅U(x,y,z)是空間坐標(biāo)(x,y,z) 的函數(shù)U (x, y, z) a exp jk (x cos y cos z cos ),位于 x0 z平面的平面波在k平面上的空間頻率 kx cos等相位面相位相位差 沿x方向距離x k cos空間周期：相位差為2 的兩平面沿x方向距離

7、2X=kcoscoscos=0HITk 在x-z平面內(nèi)(cos=0)2X 空間周期：相位差為2 的兩平面沿x方向距離k coscos1Xcos cos 空間頻率: ff= 0fxxyxz平面內(nèi)等相位面HIT空間頻率為負(fù)值cos01Xcosf=x空間頻率的正負(fù)僅表示平面波的不同方向HIT方向余弦為（ cos,cos ）的一般情形U Aexp jk(x cos y cos )(x,y)平面等相位線x cos y cos 常數(shù)X Y 空間周期cos cos cos cos ff空間頻率xyHIT空間頻率的物理意義x，y ，z 方向上平面波的空間頻率定義為： cos cos cosfffxyz：U (

8、x, y, z) a exp j ( xfx yf zfz )平面波復(fù)振幅的一般表達(dá)式為yX , Y , Z 空間頻率的倒數(shù)即為振蕩周期空間頻率表示在 x 、y 、z 軸上coscoscos距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面波空間頻率的物理意義空間頻率與平面波的方向有關(guān)，波矢量與軸的夾角越大，則在軸上的投影就越大，也就是在該方向上的空間頻率就越小，空間頻率的最大值是波長(zhǎng)的倒數(shù)HIT用,的余角表示 , xy22 cos sin x sin y cos ffxykxk 在x-z平面內(nèi)(cos=0)方向與z軸（光軸）夾角為 cos sinx0zfxz長(zhǎng)度內(nèi)周期函數(shù)變化的空間頻率：（：周/mm，

9、線對(duì)/mm，線/mm等）HIT平面波的復(fù)振幅的22z 1) 三個(gè)空間頻率不能相互獨(dú)立2y平面波的復(fù)振幅即平面波方程可以寫為yf)exp( j )U (x, y, z) a exp j ( xfz f fxyxy U (x, y,) exp( j )z f fxyU (x, y,) a exp j ( xfx yf y )其中表明：在任意z平面上的復(fù)振幅分布，由z=0 平面上的復(fù)振幅和與了距離及方向有關(guān)的一個(gè)復(fù)指數(shù)函數(shù)的乘積給出，說(shuō)明過(guò)程對(duì)復(fù)振幅分布的影響-最基礎(chǔ)的平面波衍射問(wèn)題HIT1.3常用非初等函數(shù)和特殊函數(shù)1、階躍函數(shù) (Step-function)一維階躍函數(shù)的作 用如同一個(gè)“開關(guān)”s

10、tep(x)x 0 x 0 x 011112step(x) 20 x0HIT例 直邊的擋光作用HIT 0, xx0 1bxb注意x 、b取值和+、-號(hào)含義：x x0 x) step(0,0b x0X=x 處是函數(shù)值間斷點(diǎn)（轉(zhuǎn)折點(diǎn)）0b的符號(hào)表示函數(shù)取值方向b 2b 1, xbbHIT二維階躍函數(shù)：f (x, y) step(x)二維階躍函數(shù)可光學(xué)直邊（或刀口）的透過(guò)率HIT2、符號(hào)函數(shù) （Sign-function）sgn(x)1x 0 x 0 x 0sgn(x) 0110-1xHIT1,xbx0b0b x0sgn(bbxb1,b注意：b取+、-號(hào)的作用用途：在x0逆轉(zhuǎn)某一函數(shù)的極性HIT3、

11、矩形函數(shù) (Rectangle-function)rect( x ) 1x a / 2rect( x )a0aelse10 x-a/2a/2Gating FunctionHIT0,x x012 12bx0 rect(b 21,bx x120b光學(xué)：?jiǎn)为M縫HITrect( x x0 )x 2rect()b3Area=|b|Area=3110-4-3-2-10 xx取值：高=1，中心x=x0,寬=b，面積=b1=b X0取+、-號(hào)確定函數(shù)中心點(diǎn)位置HIT1x a , y b) xyxy) rect() rect(rect(,22abab0elsea 0,b 0HITrect( x x0, y y0

12、 ) rect( x x0 )rect( y y0 )bdbdHIT4、三角形函數(shù)(Triangle function)x atri(0aaaelsea 0HIT三角形函數(shù) （Triangle function）0,x x0 1x xb) tri( 0 xb1 10bbtri( x 2)x x1tri(0 )bArea=|b|Area=11 10213xx2|0b|0 xHITx y ( x , y ) ( x ) ( y ) 1 a 1 b x a, y b,a bab0elsea 0,b 0HITtri( x x0, y y0 ) tri( x x0 )tri( y y0 )bdbdHIT

13、5、Sinc函數(shù) ( Sinc-function)sin x xa a 0sinc() a xasin c( x ) 0 x= na (n=1,2,3,)aHITsin( x-x0)sinc函數(shù)sinc( x-x0)= b( x-x0b)bx0:中心點(diǎn)；b:寬度零點(diǎn)：x=nb x0,n 0HITHITsin c( x , y ) sin c( x ) sin c( y )ababa 0,b 0HITSinc2 函數(shù) (Sinc-square function)x0:中n 0HITsin c( x x0, y y0 ) sin c( x x0 ) sin c( y y0 )bx0=y0b=2d體

14、積|bd|dbdHIT6、函數(shù)(Gaussian function) x 2x) aGauss(eaa 0Area aHITGauss 函數(shù) （Gauss function）Gauss( x x0 ) exp ( x x0 )2 b:中心點(diǎn)；bx0b:寬度1：光滑函數(shù)，導(dǎo)數(shù)連續(xù)2：變換也是函數(shù)HIT x 2 y 2 b xya) eGauss(,aba 0,b 0Volume abHITGaus( x x0, y y0 ) Gaus( x x0 )Gaus( y y0 )bdbdx0=y0b=2d體積|bd|HIT7、圓域函數(shù) (Circle function)y2x2r) circ(circ

15、()r0r0 1y2 rx2r=else001、圓域函數(shù)與無(wú)關(guān)，是關(guān)于原點(diǎn)的徑2、圓域函數(shù)用極坐標(biāo)表示，是二維函數(shù)3、r是非負(fù)的實(shí)函數(shù)稱函數(shù)HIT8、函數(shù)(Delta function)x=x0 , y y0else (x x , y ) y定義1：000 (x x, y y)dxdy 1x=0, y 0 else00lim f(x, y) 0N定義2：N f(x, y)dxdy 1limNN (x, y) lim fN (x, y)N 函數(shù)的運(yùn)算： (x, y)(x, y)dxdy (0, 0)HITHITHITHITHIT篩選性質(zhì) (x x , y y ) f (x, y)dxdy f (

16、x , y )0000比例變化性質(zhì) ( x x0 ) b (x x )0 1 (ax, by) (x, y)bab (0 )與普通函數(shù)的乘積f (x, y) (x x0 , y y0 ) f (x0 , y0 ) (x x0 , y y0 ) (x) (x)偶函數(shù)？HIT9、梳狀函數(shù) (Comb function)Comb( x) ( x n)nComb( x x0 ) b (x xnb)0bnx x0comb()Comb(x)b1|b|xx0-2bx0-2-10(b)x0+b0 x0-bxx0+2b12(a)HITcomb 0 )HITcomb y comb x comb y x , x x

17、 y y x0 y00000m,n (x mx0 , y ny0 )HITcomb(x, y) comb(x)comb( y)HIT10、寬邊帽函數(shù) (Sombrero function)(r )2Jr1dsomb() drdJ1第一類函數(shù)圓形相干脈沖響應(yīng)HIT圓形非相干脈沖響應(yīng)HIT1.4卷積和相關(guān)一、卷積(Convolution)1、定義：卷積既是一個(gè)由含參變量的無(wú)窮積分定義的函數(shù)，同時(shí)又代表一種運(yùn)算。兩個(gè)一維復(fù)函數(shù)f(x)和h(x)的卷積定義為：g(x) f ( )h(x )d f (x)* h(x)g(x, y) f (, )h(x , y )dd f (x, y)*h(x, y)線性

18、系統(tǒng)的輸出輸入與系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的卷積HIT2、卷積計(jì)算g(x) f (x) * h(x) f ( )h(x )dHITf(x)23x0h(x)13x-1HITx 1,g(1) 0 x 6,g(6) 0HIT3、卷積性質(zhì)(1)(2)分配性av(x) bw(x)* h(x) av(x) * h(x) bw(x) * h(x)HIT(3)結(jié)合性v(x) * w(x)* h(x) v(x) *w(x) * h(x) v(x) *h(x) * w(x) h(x) * v(x) * w(x)HIT(4)若則平移不變性f (x) * h(x) f ( )h(x )d g(x)f (x x0 ) * h(x)

19、g(x x0 )f (x) * h(x x0 ) g(x x0 )HIT21AB透鏡透過(guò)函數(shù)（脈沖響應(yīng)函數(shù)）：h(x)像平面光場(chǎng)分布：g(x)=f(x)*h(x)平移x0，像平面光場(chǎng)分布：g(x- x0)=f(x- x0)*h(x)卷積平移而大小形狀不變HIT(5)若定標(biāo)性質(zhì)f (x) * h(x) g(x)f ( x ) * h( x ) b g( x )則bbb注意：(6) 函數(shù)的卷積f (x) * (x) f (x)函數(shù)與任何函數(shù)卷積僅重新產(chǎn)生該函數(shù)HIT(7)卷積下的面積一個(gè)卷積下的面積等于被卷函數(shù)的面積之積 g( )d f ( )d h( )d HIT(8)二元函數(shù)的卷積g(x, y

20、) f (x, y) h(x, y) f (, )h(x , y )dd與函數(shù)的卷積f (x, y) (x x0 ) f (x, y) ( y y0 ) f (x x0 , )df (, y y0 )dHIT4、卷積的展寬和平滑作用卷積的寬度近似等于被卷函數(shù)寬度之和若兩個(gè)被卷函數(shù)都具有緊湊底座則嚴(yán)格成立有限區(qū)間外恒為零HITg(x) f1(x) f2 (x) fn (x)重復(fù)卷積HITex step(x)的重復(fù)自卷積HIT多個(gè)函數(shù)卷積產(chǎn)生一個(gè)比任一被卷函數(shù)都光滑得多的函數(shù)當(dāng)被卷函數(shù)越來(lái)越多時(shí)，卷積結(jié)果越來(lái)越象函數(shù)g(x) n f1(x) f2 (x) fn (x)g(x) Gauss函數(shù)Gau

21、ss函數(shù)最光滑？HIT中心縱坐標(biāo)：1面積：|b|HIT卷積的光滑作用脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x)是對(duì)光學(xué)系統(tǒng)性能的定量評(píng)價(jià)若h(x)為函數(shù)理想線性系統(tǒng)無(wú)像差、無(wú)點(diǎn)擴(kuò)散h(x)越寬成像質(zhì)量越差HIT卷積運(yùn)算定律f (x, y)*h(x, y) h(x, y)* f (x, y) f (x, y) g(x, y)*h(x, y) f (x, y)*h(x, y) g(x, y)*h(x, y) f (x, y)* g(x, y)* h(x, y) f (x, y)*g(x, y)* h(x, y) f ( ,) ( x, y)d d f (x, y)HIT二、相關(guān) (Correlation)1、互相關(guān)既是

22、一個(gè)由含參變量的無(wú)窮積分定義的函數(shù)，同時(shí)又代表一種運(yùn)算。rfg (x, y) f (, )g ( x, y)dd f (x, y) g(x, y)*let x , y rfg (x, y) f ( x, y)g ( , )d d f (x, y) g(x, y)*f(x) g(x) f ( )g( x)dHITf (x) g(x) f ( )g*( x)df ( )g* ( x )d=1=f (x)* g* (x)當(dāng)g(x)為實(shí)的偶函數(shù)rgf (x) g(x) f (x)rfg (x) f (x) g(x)rfg (x) r gf (x)*HIT2、自相關(guān)(Auto Correlation)既是一個(gè)由含參變量的無(wú)窮積分定義的函數(shù)，同時(shí)又代表一種運(yùn)算。f (, ) f *( x, y)dd f (x