內積外積混和積

1、向量的內積、外積、混和積 18/29/20221向量的內積 向量是一個具有很強的物理背景的概念，尤其在流體力學、電磁場理論等中有很多的應用，要利用向量及其運算來反映諸多物理現(xiàn)象中量的關系，僅僅只有向量的線性運算就遠遠不夠了，還要不斷充實向量的運算。這一節(jié)先引入向量的一種乘法。28/29/20222例: 物體放在光滑水平面上，設力F以與水平線成角的方向作用于物體上，物體產生位移S，求力F所作的功。于是功W為: W=|F|cos|S|=|F|S|cos 為反映這一類物理現(xiàn)象，引入向量的內積。FS 解: 根據(jù)物理知識，F(xiàn) 可以分解成水平方向分力和垂直方向分力 。其中只有與位移平行的分力 作功，而 不

2、作功。 38/29/20223根據(jù)內積的定義，上例中的功可寫作：內積及其運算規(guī)律 定義 兩個向量與的內積是一個數(shù)，它等于這兩個向量的長度與它們夾角=(，)余弦的乘積，記為 ，即有48/29/20224(1)向量的內積又稱為點積或數(shù)量積(3)(2)(4)(5) 注：向量內積不滿足結合律具有以下性質：58/29/20225例：用向量證明余弦定理ACB證明：68/29/20226例：證明：直徑所對應的圓周角為直角.ABCO證明：因此所以78/29/20227例：證明：88/29/20228內積的坐標表示對任意向量(1)證：98/29/20229(2)(3)108/29/202210向量的外積 上一節(jié)

3、討論了向量的一種乘法：兩個向量的內積，其運算結果是一個數(shù)。為了反映另一物理現(xiàn)象，本節(jié)引入了兩個向量的另一種乘法，叫做外積，它的運算結果是一個向量。118/29/202211定義 兩個向量與的外積是一個向量1 . 外積及其運算規(guī)律的方向與，均垂直，且使，成右手系(2)(1)的模是以，為邊的平行四邊形的面積，滿足注 ： 即：128/29/202212外積又叫叉積或向量積，具有以下性質：（反交換律）138/29/2022132. 外積的應用 (1) 用向量積來求平行四邊形及三角形面積(2) 用向量積來求點到直線的距離(3) 用向量積來求證兩個向量共線148/29/202214例: 已知，不共線，當k

4、取何值時，向量k+9與4+k共線。解：又 ，因為，不平行，故有 ，據(jù)題設 （k+9）（4+k）k4kk94+9k即因而所以 即 k=6 158/29/202215例：證明：所以，168/29/202216例：解：且178/29/202217外積的坐標表示由定義直接可以得到:188/29/202218因此:（自己算）198/29/202219例：解法一：解法二：208/29/202220解：構造向量 ，以AB，AC為邊的平行四邊形面積所以三角形ABC的面積是 例: 求以 ， ， 為頂點的三 角形ABC的面積.那么218/29/202221例：求與 垂直的單位向量。解：設 ，可見是與同方向的單位向

5、量， 因此，與及都垂直的單位向量是設=，則與及都垂直，則有而228/29/202222向量的混合積 混合積的定義定義 三個向量，的混合積是一個數(shù)，它等于向量，先作向量積，然后再與作數(shù)量積，記作(，)即 (，)=() 238/29/202223混合積的幾何意義注 ： 248/29/202224混合積的性質注 ： 258/29/202225定理： 三個向量，共面的充要條件是 ()= 0 .證:當時, = ,當不平行時，必要性如若，共面自然有()= 0垂直于，所在的平面，因而，仍有()= 0。268/29/202226充分性當= 0時，有，如若 ()= 0 有，故，共面；當 0時，從而，共面。又因亦垂直于及，278/29/202227例：證明：288/29/202228例：解：298/29/202229例：證明：308/29/202230混合積的坐標表示注：設318/29/202231分析: 所以，D-ABC的體積 可用混合積求出。例: 求以 ，為頂點的四面體的體積。， 以AB，AC，AD為棱的平行六面體的體積是以三角形ABC為底面，AD為棱的三棱柱體積的2倍，而四面體的體積是三棱柱體積的三分之一。328/29/202232所以解：構造向量以AB，AC，AD為棱的平行