初三數(shù)學銳角三角函數(shù)含

1、初三數(shù)學銳角三角函數(shù)中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求認識銳角三角函數(shù)（正弦、余由某個角的一個三角函數(shù)值，會求能用三角函數(shù)解決與銳角三角函數(shù)弦、正切、余切），知道特別這個角其余兩個三角函數(shù)值；會求直角三角形相關(guān)的簡角的三角函數(shù)值含有特別角的三角函數(shù)值的計算單問題會解直角三角形；能依據(jù)問題的需能綜合運用直角三角要增加輔助線構(gòu)造直角三角形；會解直角三角形知道解直角三角形的含義形的性質(zhì)解決相關(guān)問解由兩個特別直角三角形構(gòu)成的題組合圖形的問題例題精講模塊一三角函數(shù)基礎(chǔ)一、銳角三角函數(shù)的定義以以下圖，在RtABC中，a、b、c分別為A、B、C的對邊BacCbA（1）正弦：RtABC中，銳角A的對邊與斜邊

2、的比叫做A的正弦，記作sinA，即sinAac（2）余弦：RtABC中，銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作cosA，即cosAbc（3）正切：RtABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作tanA，即tanAab注意：正弦、余弦、正切都是在直角三角形中給出的，要防范應(yīng)用時對任意三角形隨意套用定義sinA、cosA、tanA分別是正弦、余弦、正切的數(shù)學表達符號，是一個整體，不可以理解為sin與A、cos與A、tan與A的乘積在直角三角形中，正弦、余弦、正切分別是某個銳角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比值，當這個銳角確立后，這些比值都是固定值二、特別角三角函數(shù)初中數(shù)學銳角三角

3、函數(shù)C級.第01講教師版Page1of14三角函數(shù)030456090sinA01231222cosA13210222tanA03133這些特別角的三角函數(shù)值必定要牢牢記??！三、銳角三角函數(shù)的取值范圍在RtABC中，C90，a0，b0，c0，ac，bc，又sinAa，cosAb，tanAa，所ccb以0sinA1，0cosA1，tanA0四、三角函數(shù)關(guān)系1同角三角函數(shù)關(guān)系：22sinAsinAcosA1，tanAcosA2互余角三角函數(shù)關(guān)系：(1)任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值：sinAcos90A；(2)任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值：cosAsin90A；(3)任意銳角的正切值等

4、于它的余角的余切值：tanAcot90A3銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：(1)A、B是銳角，若AB，則sinAsinB；若AB，則sinAsinB(2)A、B是銳角，若AB，則cosAcosB；若AB，則cosAcosB(3)A、B是銳角，若AB，則tanAtanB；若AB，則tanAtanB【例1】已知在ABC中，A、B是銳角，且sinA5，tanB2，AB29cm，則SABC13【分析】過C作CDAB于D，這樣由三角函數(shù)定義獲取線段的比：sinACD5，tanBCD2，AC13BD設(shè)CD5m，AC13m，CD2n，BDn，解題的要點是求出m、n值BDnCD5m，ADAC2CD2(13m)2(5

5、m)212m22所以ABADBD5292912mmm22所以m2，CD10，SABC1145ABCD2小結(jié)：設(shè)ABC中，a、b、c為A、B、C的對邊，R為ABC外接圓的半徑，不難證明：與銳角三角函數(shù)相關(guān)的幾個重要結(jié)論：初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page2of14（1）SABC111bcsinAacsinBabsinC；222（2）abc2RsinAsinBsinC【答案】145【堅固】如圖，點A在半徑為R的O上，以A為圓心，r為半徑作A，設(shè)O的弦PQ與A相切，求證PAQA為定值【答案】證明線段乘積為定值，聯(lián)想到三角形的面積，可以和三角函數(shù)聯(lián)系起來SAPQ1PAQAsinA，SAP

6、Q1rPQ，22PAQAsinArPQPA在APQ中，sinAPQ，PAQArPQPQ，2R2RPAQA2Rr為定值【例2】求tan1tan2tan3tan89的值【答案】tancot1，tancot(90)tan1tan89tan1cot11，tan2tan88tan2cot2tan44tan46tan44cot441，而tan451，tan1tan2tan3tan891【堅固】化簡：sincossin21tan2sincos2sincos222【分析】原式cossincossincos2sin2sincoscossin【答案】sincossin1cos21sincos【例3】已知tan3，

7、求（1）2（2）1sina1sincossin22sin2O，sincos（090）Qsin1cossinsinsincossin【答案】coscos1cos2cossin2acoscos2cossinsinsinsin1sin12121sinsinsin21sin1sin2cos2coscos2cossinsin，cos2cos3sincos初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page3of14【堅固】已知tan2，求4sin2cos5cos3sin4sin2cos4sin2226cos【答案】45cos3sin3sin532115cos【例4】已知為銳角，且2sin25cos10，求的

8、度數(shù)221【答案】sincos2(12)5cos10，即：2cos25cos30cos(2cos1)(cos3)0解得：cos3或cos120cos1，cos1，602【堅固】若為銳角，且2cos27sin50，求的度數(shù)【答案】由為銳角，可知0sin1又由27sin5221可知2cos0，sincos2sin27sin30，解之得sin1302【例5】已知sincos2（為銳角），求作以1和1為兩根的一元二次方程sincos【分析】sincos2，兩邊平方得：sin2cos22sincos2又sin2cos21，sincos1211sincos22，112sincossincoscossin以

9、1和1為兩根的一元二次方程為：x222x20sincos【答案】x222x20【堅固】若方程22ax210的一個根是sin，則它的另一個根必是cos或cos2xa【答案】不如設(shè)方程的另一根為m，由一元二次方程的根系關(guān)系可知sinma，msina21，2故msin(sinm)21，整理可得2msin(sinm)1，即sin2m21，22又sin2cos21，故mcos【堅固】已知：ABC中，方程(sinB2(sinAsinC)x(sinCsinB)0的兩根相等，求證B60sinA)x【答案】兩根相等則鑒識式為0，但是觀察系數(shù)的規(guī)律，能否有其余的好方法呢？此方程系數(shù)之和為0，x1必為此方程的根初中

10、數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page4of14又此方程兩根相等，x1x21，x1x2sinCsinB1sinBsinA又由正弦定理，有cbba，bca2再由余弦定理，有c2a2b2a2c2(c2a)23(a2c2)2ca6ca2ca1cosB2ca2ca8ca8ca2B60，且等號不會建立，不然方程就不存在了【堅固】在ABC中，A60，最大邊與最小邊的邊長分別是方程227x320的兩個根，求ABC3x的外接圓半徑和內(nèi)切圓的面積【答案】題目中涉及到邊長的關(guān)系，以及外接圓半徑，這為正弦定理供給了便利條件A60，且明顯此三角形有兩邊不等（即以已知方程為根的兩邊），ABC中，A既不是最大角也不

11、是最小角，不防設(shè)b為最大邊，c為最小邊，由韋達定理，有bc9，bc32，3又由余弦定理，有：2222bccosAabcb2c2bc(bc)23bc813249a7（a7舍去）又由正弦定理，有Ra77，abc79162sinA33232S1bcsinAPr（此中Pabc，r為內(nèi)切圓半徑）22即8r1323，r3內(nèi)切圓面積Sr22223131【例6】若030，且sinkm(k為常數(shù)，且k0)，則m的取值范是3030sin0sinsin300sin1【答案】，即20km11，所以1km1，又因為k032361m16k3k模塊二解直角三角形一、解直角三角形的看法依據(jù)直角三角形中已知的量（邊、角）來求解

12、未知的量（邊、角）的過程就是解直角三角形初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page5of14二、直角三角形的邊角關(guān)系如圖，直角三角形的邊角關(guān)系可以從以下幾個方面加以概括：（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2(勾股定理)A（2）銳角之間的關(guān)系：AB90cb（3）邊角之間的關(guān)系：sinAcosBa,cosAsinBb,tanAaccbCBa三、解直角三角形的四種基本種類（1）已知斜邊和向來角邊(如斜邊c，直角邊a)，由sinAaA，則B90A，bc2a2；求出c（2）已知斜邊和一銳角(如斜邊c，銳角A)，求出B90A，acsinA，bccosA；（3）已知向來角邊和一銳角(如a和銳角A)，求出

13、B90A，batanB，ca；sinA（4）已知兩直角邊(如a和b)，求出ca2b2，由tanAa，得B90Ab詳盡解題時要擅長采納公式及其變式，如sinAa可寫成acsinA，a等ccsinA四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括為：“有斜(斜邊)用弦(正弦，余弦)，無斜用切(正切，余切)，寧乘毋除，取原避中”這幾句話的意思是：當已知或求解中有斜邊時，就用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切或余切；當所求的元素既可用乘法又可用除法時，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時，則用原始數(shù)據(jù)，盡量防范用中間數(shù)據(jù)五、解直角三角形的技巧及注意點在RtABC中，AB90，故sinAco

14、s(90A)cosB，cosAsinB利用這些關(guān)系式，可在解題時進行等量代換，以方便解題六、如何解直角三角形的非基本種類的題型對解直角三角形的非基本種類的題型，平常是已知一邊長及一銳角三角函數(shù)值，可經(jīng)過解方程(組)來轉(zhuǎn)變成四種基本種類求解；（1）假如有些問題一時難以確立解答方式，可以依照題意畫圖幫助分析；（2）對有些比較復雜的問題，常常要經(jīng)過作輔助線構(gòu)造直角三角形，作輔助線的一般思路是：作垂線構(gòu)成直角三角形；利用圖形自己的性質(zhì)，如等腰三角形頂角均分線垂直于底邊等七、直角三角形中其余重要看法1）仰角與俯角：在視野與水平線所成的角中，視野在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角如圖2的比叫做

15、坡度（或叫做坡比），用字母表示為ih（）坡角與坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l，l坡面與水平面的夾角記作，叫做坡角，則ih坡度越大，坡面就越陡如圖tanl初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page6of14（3）方向角（或方向角）：方向角一般是指以觀察者的地址為中心，將正北或正南方向作為初步方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），平常表達為北（南）偏東（西）度如圖視野北鉛仰角水平線hi=h:l垂俯角線視野l(fā)圖(1)圖(2)圖(3)八、解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題：1）分析題意，依據(jù)已知條件畫出它的平面或截面表示圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等看法

16、的意義；2）找出要求解的直角三角形有些圖形固然不是直角三角形，但可增加適合的輔助線，把它們切割成一些直角三角形和矩形（包含正方形）；3）依據(jù)已知條件，選擇適合的邊角關(guān)系式解直角三角形；4）依照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進行近似計算，檢驗能否吻合實質(zhì)，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位【例7】如圖，某高層樓房與上海東方明珠電視塔隔江想望，甲、乙兩學生分別在這樓房的A，B兩層，甲在A層測得電視塔塔頂D的仰角為，塔底C的俯角為，乙在B層測得塔頂D的仰角為，因為塔底的視野被擋住，乙沒法測得塔底的俯角，已知A，B之間的高度差為a，求電視塔高CD（用含，a的代數(shù)式表示）【分析】作AECD于E，BFCD于F

17、，設(shè)DEx在RtADE中，由tanDE，得AEDEx，AEtantan在RtDBF中，由tanDF，得BFBFDFxa，因為AEBF，tantan所以xxa，解得xatan，從而AEtanatantantantantan在RtAEC中，由tanEC，得ECAEtanatanAEtantan所以CDDEatanatanatantanECtantantantantantanDAEaBF【答案】atantantantan黃浦江C【例8】一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面以以下圖，此中背水面的整個坡面是長為90米、寬為5初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page7of14米的矩形現(xiàn)需將其整修并進

18、行美化，方案以下：將背水坡AB的坡度由1:0.75改為1:3；用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9塊同樣的矩形地域，挨次相間地種草與種花（1）求整修后背水坡面的面積；（2）假如種花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，那么種植花草最少需要多少元？【答案】（1）作AEBC于E本來的坡度是1:0.75，AE14EB0.753設(shè)AE4k，BE3k，AB5k，又AB5米，k1，則AE4米DBC設(shè)整修后的斜坡為AB，由整修后坡度為1:3，有AE1，ABE=30，EB3AB2AE8米整修后背水坡面面積為908720米2（2）將整修后的背水坡面分為9塊同樣的矩形，則每一地域的面積為

19、80米2解法一：要挨次相間地種植花草，有兩種方案：第一種是種草5塊，種花4塊，需要20580+25480=16000元；第二種是種花5塊，種草4塊，需要20480+25580=16400元應(yīng)選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花銷16000元解法二：要挨次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，而種花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花銷較少即：需要花銷20580+25480=16000元【例9】如圖，在某海域內(nèi)有三個港口A、D、C港口C在港口A北偏東60方向上，港口D在港口A北偏西60方向上一艘船以每小時25海里的速度沿北偏東

20、30的方向駛離A港口3小時后抵達B點地址處，此時發(fā)現(xiàn)船艙漏水，海水以每5分鐘4噸的速度滲透船內(nèi)當船艙滲透的海水總量超出75噸時，船將沉入海中同時在B處測得港口C在B處的南偏東75方向上若船上的抽水機每小時可將8噸的海水排出船外，問此船在B處最少應(yīng)以如何的航行速度駛向近來的港口?？浚拍鼙ＷC船在抵達港口前不會淹沒（要求計算結(jié)果保留根號）？并指出此時船的航行方向初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page8of14【分析】連結(jié)AC、AD、BC、BD，延長AT，過B作BTAT于T，AC與BT交于點E過B作BPAC于點P由已知得BAD90，BAC30，AB32575（海里），在BEP和AET中，B

21、PEATE90，AETBEP，EBPEAT30BAT60，BAP30，從而BP17537.5（海里）2港口C在B處的南偏東75方向上，CBP45在等腰RtCBP中，BC2BP752（海里），BC2BAD是Rt，BDAB綜上，可得港口C離B點地址近來此船應(yīng)轉(zhuǎn)向南偏東設(shè)由B駛向港口C船的速度為每小時x海里，75方向上直接駛向港口C則據(jù)題意應(yīng)有37.52548)5，解不等式，得x202（海里）x(60答：此船應(yīng)轉(zhuǎn)向沿南偏東75的方向向港口C航行，且航行速度最少不低于每小時202海里，能保證船在抵達港口前不會淹沒【答案】此船應(yīng)轉(zhuǎn)向沿南偏東75的方向向港口C航行，且航行速度最少不低于每小時202海里，能

22、保證船在抵達港口前不會淹沒【堅固】海面上B處有一貨輪正在向正南方向航行，其航行路線是當它抵達正南方C時，在駛向正西方的目的地A處，且CACB200海里，在AB中點O處有一客輪，其速度為貨輪的一半，此刻客輪要截住貨輪取一件貨物，于是選擇某一航向行駛?cè)ソ刈∝涊?，那么當客輪截住客輪時最少航行了多少海里，它所選擇了如何的方向角？（行程保留整數(shù)海里，角度精確到度）【分析】如圖，由題意可知，ABC為等腰直角三角形，假設(shè)客輪截住貨輪的地址在BC邊上時，過ODBC于D，OD為客輪抵達BC邊的最短距離，即客輪航行的行程為OD，由貨輪速度為客輪的2倍可知，貨輪航行的距離為2ODBC，即貨輪此時抵達了C點，客輪截住

23、貨輪的地址不行能在BC邊上初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page9of14客輪截住貨輪的地址在AC邊上設(shè)在AC邊上的F點兩船相遇，設(shè)客輪航行的距離為x，即OEx，則BCCE2x，CE2x200，過O作OFAC于F，則OF1BC100海里，F(xiàn)C1AC100海里，22EF3002x在RtDEF中，OF2EF2OE2，即1002(3002x)2x2，解得x6001006，即x1282，x21183OEOA141x1282不吻合題意，x118即當客輪截住貨輪時，航行了118海里在RtOEF中，cosEOF1000.8475118BODEOF32客輪的航行方向應(yīng)為南偏東32【答案】客輪的航行方

24、向應(yīng)為南偏東32AFEC課堂檢測1（遼寧比賽）如圖，湖心島上有一涼亭，現(xiàn)欲利用湖岸邊的廣闊平坦地帶，丈量涼亭頂端到湖面所在平面的高度AB(見表示圖)，可供使用的工擁有測傾器、皮尺AB（1）請你依據(jù)現(xiàn)有條件，設(shè)計一個丈量涼亭頂端到湖面所在平面的高度AB的方案，畫出丈量方案的平面表示圖，并將丈量的數(shù)據(jù)注明在圖形上（所測的距離用m，n表示，角用，表示，測傾器高度忽視不計）；（2）依據(jù)你所丈量的數(shù)據(jù)，計算涼亭到湖面的高度AB(用字母表示)初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page10of14ABCmD【分析】（1）以以下圖，在點C測得ACB，在點D測得ADB，測得DCm（2）在RtABC中，設(shè)A

25、Bx，BCxtan在RtABD中，BDxtanBDBCm，即xxmtantan解得xtantanmtantan【答案】（1）DCm；（2）tantanmtantan2化簡：tan1tan2tan892sin22sin12.sin89【分析】tan1tan2tan89tan451sin21sin22.sin289sin21cos21sin22cos22.sin24544189222，故原式89【答案】2893如圖1、圖2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（與地面平行）或繞定點P（固定在垃圾桶底部的某一地址）上下轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動過程中一直保持APAP，BPBP）經(jīng)過向下踩踏點A到A（與地面接觸點）使點B上升

26、到點B，與此同時傳動桿BH運動到BH的地址，點H繞固定點D旋轉(zhuǎn)（DH為旋轉(zhuǎn)半徑）至點H，從而使桶蓋打開一個張角HDH如圖3，桶蓋打開后，傳動桿HB所在的直線分別與水平直線AB、DH垂直，垂足為點M、C，設(shè)HCBM測得AP6cm，PB12cm，DH8cm要使桶蓋張開的角度HDH不小于60，那么踏板AB離地面的高度最少等于多少cm？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）初中數(shù)學銳角三角函數(shù)C級.第01講教師版Page11of14（圖1）【分析】過點A作ANAB垂足為N點，在RtHCD中，若HDH不小于60，則HCsin603，HD2即HC343，HD2BMHC43，RtANPRtBMPHHHDHDCBBABAMBPPAA圖3圖2HHCDANAP，BMBPANAPBM643233.5cm，BP12踏板AB離地面的高度最少等于3.5cm【答案】踏板AB離地面的高度最少等于3.5cmBANPMBA課后作業(yè)1化