兩個(gè)重要極限無(wú)窮小的比較

1、第1頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日11. 夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則 ：準(zhǔn)則 ：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.2.單調(diào)有界準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則第2頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日例1解由兩邊夾法則得第3頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日證明略準(zhǔn)則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.2、單調(diào)有界準(zhǔn)則第4頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日證(舍去).)的極限存在式n例2(重根證明數(shù)列第5頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日二、兩個(gè)重要極限設(shè)單位圓O，圓心角作單位圓的切線第6頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31

2、分，星期日注意：（令 ）2) 作用：第7頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日解：解：1.=1例1.求例2.例3.解：第8頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日例4.解：思考 ：第9頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日我們從三方面來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)極限：2)第二項(xiàng)與指數(shù)互為倒數(shù).極限形式是3)不管自變量如何變，滿足前兩個(gè)條件，極限值=e(e=括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)是1，中間是“+”號(hào)，證明略如:1)第10頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日例5.解:第11頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日補(bǔ)例.解:解:經(jīng)驗(yàn) ：含冪

3、指函數(shù) 型 極限 常用第二個(gè)重要極限第12頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日解例8計(jì)算第13頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日解例10第14頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日思考與練習(xí)第15頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日兩個(gè)重要極限:第16頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日 第一章 都是無(wú)窮小,第六節(jié)引例 .但 無(wú)窮小的比較可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同，兩個(gè)無(wú)窮小商的極限用來(lái)比較兩個(gè)窮小無(wú)趨向于零的速度“快慢”第17頁(yè)，共32

4、頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日1.定義:注：判斷無(wú)窮小的階,實(shí)際上就是求兩個(gè)無(wú)窮小商的極限.第18頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日注意：1.無(wú)窮小的比較是無(wú)窮小與無(wú)窮小比較的；2. 零是階最高的,一般是比較非零無(wú)窮小的;3.無(wú)窮小的階的高低是相對(duì)的;并依賴于極限過(guò)程的;4.無(wú)窮小的比較是 型極限的另外一種說(shuō)法；5.有兩個(gè)重要的符號(hào)例如第19頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日證:例1.則第20頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日證:即有等價(jià)關(guān)系: 1)上述證明過(guò)程也給出了關(guān)系: 例2. 證明:2) 常用等價(jià)無(wú)窮小:

5、說(shuō)明:把所有 換成 也成立第21頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日證:必要性充分性意義:由等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式2.等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)第22頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日例如,（自反性）（對(duì)稱性）（傳遞性）第23頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日定理2 (等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證：說(shuō)明：即定理?xiàng)l件滿足時(shí),可以只代換無(wú)窮小的分子或分母.即定理?xiàng)l件滿足時(shí),可以代換積中因式的無(wú)窮小.第24頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日3.無(wú)窮小的商或乘積的極限可分別用無(wú)窮小代替，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別等價(jià)代換

6、.這是求極限的又一種好方法, 注意適用條件.例3.求解:第25頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日只可對(duì)函數(shù)的乘積因子作等價(jià)無(wú)窮小代換,對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別等價(jià)代換.切記:補(bǔ)例4.解:錯(cuò)解:第26頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日內(nèi)容小結(jié)1. 兩個(gè)重要極限：代表相同的表達(dá)式2. 無(wú)窮小的比較：設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小 是 的 k 階無(wú)窮小第27頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日3.等價(jià)無(wú)窮小代換定理：5.常用的等價(jià)無(wú)窮小：4.注意事項(xiàng)：1)并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.不可比.2)只可對(duì)函數(shù)的乘積因子或商作等價(jià)無(wú)窮小代換,對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能隨意等價(jià)代換.第28頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日最記得注意的是：當(dāng)時(shí)第29頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)31分，星期日新增求極限的方法：8.重要極限法9.等價(jià)無(wú)窮小代換法注意各種求極限方法的理論依據(jù)、使用條件與范圍.作業(yè):P54 1(1)(3)(5)(6) (7)(8);2; 3 (2)P661（2,4）;2 ；3；4 (2)第30頁(yè)，共32頁(yè)，2022年，5