勾股定理證明方法的應(yīng)用

1、課題： 勾股定理證明方法的應(yīng)用 老師：鄭燕 時(shí)間： 2022 年 5 月 9 日（星期三）第 6 節(jié) 班級(jí)： 初二（ 7）班（數(shù)學(xué)試驗(yàn)班）教學(xué)目標(biāo)： 嫻熟把握勾股定理的幾種常見證明方法（趙爽弦圖法、劉 徽青朱出入法、歐幾里得面積法等） ,懂得證明思路；運(yùn)用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問題；體驗(yàn)學(xué)問的遷 移和方法的運(yùn)用過程,從而提高分析、類比的才能,提高解決問題的才能；感受勾股定理中折射出的數(shù)學(xué)文化,體驗(yàn)數(shù)學(xué)美 . 教學(xué)重點(diǎn)： 勾股定理證明方法的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)： 歐幾里得面積法的懂得和應(yīng)用,應(yīng)用 教學(xué)過程：一、 鞏固學(xué)問、引出問題：劉輝青朱出入法的懂得和復(fù)習(xí)勾股定理的幾種常見

2、的證明方法（演示自制的 flash 課件）1 趙爽弦圖法（構(gòu)造以斜邊c 為邊長(zhǎng)的正方形）：2 劉徽青朱出入法（面積割補(bǔ)） ：3 歐幾里得面積法（三角形全等、平行線間的等積變形）：世界上各個(gè)古代文明中幾乎都能找到勾股定理的影子,到了近代勾股定理的證明方法更有數(shù)百種之多,成為數(shù)學(xué)大花園中的一朵奇葩,而勾股定理的各種證明方法中也包蘊(yùn)著精妙的數(shù)學(xué)思想方法,值得我們好好學(xué)習(xí)體會(huì) . 二、 運(yùn)用方法,挑戰(zhàn)中考試題：例 1（趙爽弦圖法的應(yīng)用）（2022 年煙臺(tái)）四年一度的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于 2022 年 8 月在北京市召開 . 大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖 a. 它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,

3、如大正方形的面積為13,每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是 5,求：（1）中間小正方形的面積；（2）現(xiàn)有一張長(zhǎng)為6.5cm,寬為 2cm 的紙片,如圖b,請(qǐng)你將它分割成6 塊,再拼成一個(gè)正方形 . a b此題比較簡(jiǎn)潔, 由同學(xué)獨(dú)立摸索完成, 師生小結(jié)趙爽弦圖法對(duì)解題的作用,體驗(yàn)運(yùn)用趙爽弦圖法的過程 . 例 2（歐幾里得面積法的應(yīng)用）2022 年北京市海淀區(qū)中考題）已知ABC ,分別以 AB 、 BC 、 CA 為邊向形外作等邊三角形 ABD 、等邊三角形 BCE 、等邊三角形 ACF 如圖,當(dāng)ABC 中只有 ABC 60 時(shí),請(qǐng)你證明 S ABC 與 S ACF 的和等于 S BCE 與 S ABD

4、的和D A F 此題為 05 海淀中考最終一題, 難度較大,方法不唯獨(dú),歐幾里得證明勾股B C 定理時(shí)所使用的面積法為解決此題提供了很奇妙的證明思路,但題目的外 E 形與勾股定理有較大的出入, 需要同學(xué)經(jīng)過辨別、 分析才能夠熟悉到 . 另外,使用方法時(shí),平行線間的等積變形是一個(gè)難點(diǎn),為突破這一難 點(diǎn),一方面：借助自制的 flash 和幾何畫板課件可以幫忙同學(xué)直觀的、清晰的熟悉基本圖形,明白基本方法；另一方面,要分析清晰,已知中“ABC60” 為“ 平行線” 、“ 等積變形” 供應(yīng)了條件,是解題的關(guān)鍵. 簡(jiǎn)潔證明：連接 AE、BF,得AEC FBC ,SAECSFBC由 AB EC SAECSB

5、ECC B F SA B C F SS A B CSBECSFBC同理：SABDSABFSA B DSB E CSA B F S此題先讓同學(xué)充分的獨(dú)立摸索、相互爭(zhēng)論,最終師生共同完成,并反思?xì)W幾里得面積法對(duì)解決此題的作用 同學(xué)課下摸索 . 三、 運(yùn)用方法,動(dòng)手操作：. 此題的其他證明方法,由勾股定理的各種證明方法, 除了為我們解決一些中考題供應(yīng)了思 路,仍給我們供應(yīng)了很好玩的拼圖嬉戲 . 例 3（劉徽青朱出入法的應(yīng)用）把兩個(gè)小正方形,剪切幾刀,重新組合成一個(gè)大正方形,這不就是勾股定理的證明,不需借助任何文字與符號(hào), 更能拼出那么多美麗的圖案,讓我們來比比看, 看誰剪拼得又快又美麗？請(qǐng)表達(dá)出你的

6、幫助線（剪開線）,并簡(jiǎn)要說明拼圖的方法 和成立的理由 . 此題是一個(gè)發(fā)散性的題目, 源于同學(xué)利 用課余時(shí)間搜集到的勾股定理有關(guān)材料,在 動(dòng)手實(shí)踐中, 摸索全等和對(duì)應(yīng)的關(guān)系, 利用 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等幾何變換,運(yùn)用幾何語言（幫助線的作圖）敘 述剪、拼過程,提高識(shí)圖才能、分析才能、表達(dá)才能 . 同學(xué)可以在活 動(dòng)中,發(fā)揮自身的想象力與制造性,嘗試更多合理的拼圖方案,并且 觀看和摸索其中的規(guī)律, 體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的歡樂和成就感, 感受數(shù)學(xué)的美 . 四、 小結(jié)作業(yè) 同學(xué)小結(jié)作業(yè)：1（2022 北京市中考題）請(qǐng)閱讀以下材料：?jiǎn)栴}： 現(xiàn)有 5 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形, 排列形式如圖一個(gè)新的正方形 要求： 畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖均為 1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形1,請(qǐng)把它們分割后拼接成（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為 x x 0依題意, 割補(bǔ)前后圖形的2面積相等,有 x 5,解得 x 5由此可知新正方形的邊長(zhǎng)等于兩個(gè)正方形組成的矩形對(duì)角線的長(zhǎng)于是,畫出如圖 2 所示的分割線,拼出如圖 3 所示的新正方形圖 1 圖 2 圖 3 請(qǐng)你參考小東同學(xué)的做法,解決如下問題：現(xiàn)有 10 個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形,排列形式如圖 4,請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)