電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題2

1、電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題答案2電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題答案2電磁場(chǎng)與電磁波習(xí)題答案2第二章2-1若真空中相距為d的兩個(gè)電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當(dāng)點(diǎn)電荷q位于q1及q2的連線上時(shí)，系統(tǒng)處于均衡狀態(tài)，試求q的大小及地址。解要使系統(tǒng)處于均衡狀態(tài)，點(diǎn)電荷q遇到點(diǎn)電荷q1及q2的力應(yīng)該大小相等，方向相反，即Fq1qFq2q。那么，由q1qq2qr22r1，同時(shí)考慮到r1r2d，求得40r1240r22r11d,r22d33可見(jiàn)點(diǎn)電荷q可以任意，但應(yīng)位于點(diǎn)電荷q1和q2的連線上，且與點(diǎn)電荷q1相距1d。3z2-2已知真空中有三個(gè)點(diǎn)q2q1電荷，其電量及地址分別q3P為：E3E1q11C,P1(0,0,1)

2、Eq21C,P2(1,0,1)2xq34C,P3(0,1,0)習(xí)題圖2-2試求位于P(0,1,0)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解令r1,r2,r3分別為三個(gè)電電荷的地址P1,P2,P3到P點(diǎn)的距離，則r12，r23，r32。利用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式Eqer，此中er為點(diǎn)電40r2荷q指向場(chǎng)點(diǎn)P的單位矢量。那么，q1在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)盛小為E1q11，方向?yàn)?0r1280er1ez。ey12q2在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)盛小為E2q21，方向?yàn)?0r22120er21exeyez。3q3在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)盛小為E3q31，方向?yàn)?0r3240er3ey則P點(diǎn)的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為EE1E2E311ex12131ey811ez0123812421

3、232-3直接利用式（2-2-14）計(jì)算電偶極子的電場(chǎng)強(qiáng)度。解令點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，r為點(diǎn)電荷q至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。再令點(diǎn)電荷q位于+z坐標(biāo)軸上，r1為點(diǎn)電荷q至場(chǎng)點(diǎn)P的距離。兩個(gè)點(diǎn)電荷相距為l，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為r,）。依據(jù)疊加原理，電偶極子在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)為Eqrr14r3r130考慮到rl，er1=er，r1rlcos，那么上式變成Eqr12r2er4q(r1r)(r1r)er40r2r120r2r121221式中rl2rlcosr1211l22lcosrr2r1221以l為變量，并將1l2l2cos在零點(diǎn)作泰勒展rr2r開(kāi)。因?yàn)閘r，略去高階項(xiàng)后，得r1111lcos1l2cosrrrr利

4、用球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式，求出電場(chǎng)強(qiáng)度為Eq1lcos1qlcoserqlsine40rr2r20r340r32-4已知真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量均為2106C，相距為2cm，如習(xí)題圖2-4所示。試求：P點(diǎn)的電位；將電量為2106C的點(diǎn)電荷由無(wú)窮遠(yuǎn)處緩慢地移至P點(diǎn)時(shí)，外力一定作的功。Prmcq1q1cm1cm習(xí)題圖2-4解依據(jù)疊加原理，P點(diǎn)的合成電位為2q2.5106V40r所以，將電量為2106C的點(diǎn)電荷由無(wú)窮遠(yuǎn)處緩慢地移到P點(diǎn)，外力一定做的功為Wq5J2-5經(jīng)過(guò)電位計(jì)算有限長(zhǎng)線電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。解建立圓柱坐標(biāo)系。令先電荷沿z軸擱置，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)以z軸對(duì)稱，場(chǎng)強(qiáng)與沒(méi)關(guān)。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令場(chǎng)點(diǎn)位于yz平

5、面。設(shè)線電荷的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，密度為l，線電荷的中點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，場(chǎng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為r,z。2z2zrPdlr0lo1y習(xí)題圖2-5利用電位疊加原理，求得場(chǎng)點(diǎn)P的電位為l2Ldl40L2r0式中r0zl2r2。故llnzlzl40zLLzlln2240zLL2z2L2r22L22r22r2因E，可知電場(chǎng)強(qiáng)度的z重量為L(zhǎng)L2zzr2lln22Ezz40zLL2zzr222l1140z2r2zL2Lr222l1140rzL22z211L2rrlrr40r2222rzL2rzL2lsin2sin140r電場(chǎng)強(qiáng)度的r重量為L(zhǎng)L2zzr2Erlln224r0rLL2zzr222lr40zL22r2zL2zL222

6、rrzL22r2zL2zL22r2l140r1zL22zL2zL22rr1r1zL222zL2zL21r1rrl140r11111tan21tan1tan2111111tan2tan122tan22l1cos11cos240rlcos1cos240r式中1arctanr,r，那么，合成電強(qiáng)為L(zhǎng)2arctanzzL22Elsin2sin1ezcos2cos1er0r4當(dāng)L時(shí)，10,2，則合成電場(chǎng)強(qiáng)度為lE20rer可見(jiàn)，這些結(jié)果與教材2-2節(jié)例4完整同樣。2-6l已知分布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度0sin,0，試求圓心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。ydloaEx習(xí)題圖2-6解建立直角坐標(biāo)，令線電荷位于xy

7、平面，且以y軸為對(duì)稱，如習(xí)題圖2-6所示。那么，點(diǎn)電荷ldl在圓心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度擁有兩個(gè)重量Ex和Ey。因?yàn)殡姾煞植家詙軸為對(duì)稱，所以，僅需考慮電場(chǎng)強(qiáng)度的Ey重量，即dEdEyldl2sin0a4考慮到dlad,l0sin，代入上式求得合成電場(chǎng)強(qiáng)度為Eey40sin2d0ey00a80a2-7已知真空中半徑為a的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為l，試求經(jīng)過(guò)圓心的軸線上任一點(diǎn)的電位及電場(chǎng)強(qiáng)度。zProyadlxy習(xí)題圖2-7解建立直角坐標(biāo)，令圓環(huán)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，如習(xí)題圖2-7所示。那么，點(diǎn)電荷ldl在z軸上P點(diǎn)產(chǎn)生的電位為dl40r依據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的合成電位為z12aldll2a

8、dlla400r40r020a2z2因電場(chǎng)強(qiáng)度E，則圓環(huán)線電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為Eezzezlaz32za2z2202-8設(shè)寬度為W，面密度為S的帶狀電荷位于真空中，試求空間任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。zdxww2o2yyxdxrxww2P(x,y)2x(a)(b)習(xí)題圖2-8解建立直角坐標(biāo)，且令帶狀電荷位于xz平面內(nèi)，如習(xí)題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為dx的無(wú)窮長(zhǎng)線電荷，其線密度為sdx。那么，該無(wú)窮長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與坐標(biāo)變量z沒(méi)關(guān)，即dEsdxer20r式中rxx2y2erexxxeyy1exxxeyyrrr得dEsdxy2exxxeyy20 xx2wsdx那么E2exxxe

9、yyw2xx2y220w2wwx22yxxexsln2eysarctan2arctan22yy40 xwy2022-9已知均勻分布的帶電圓盤(pán)半徑為a，面電荷密度為S，位于z=0平面，且盤(pán)心與原點(diǎn)重合，試求圓盤(pán)軸線上任一點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E。zP(0,0,z)oyrdrx習(xí)題圖2-9解如圖2-9所示，在圓盤(pán)上取一半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，該圓環(huán)擁有的電荷量為dq2rdrs。因?yàn)閷?duì)稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度僅的r有z重量。依據(jù)習(xí)題2-7結(jié)果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的z重量為zrsdrdEz2z23220r那么，整個(gè)圓盤(pán)電荷在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為sazrdrsEez0z2r23

10、2ez2020zzzz2a22-10已知電荷密度為S及S的兩塊無(wú)窮大面電荷分別位于x=0及x=1平面，試求x1,0 x1及x0地域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解無(wú)窮大平面電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分布必定是均勻的，其電場(chǎng)方向垂直于無(wú)窮大平面，且分別指向雙側(cè)。所以，位于x=0平面內(nèi)的無(wú)窮大面電荷S，在x0地域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E1exE1。位于x=1平面內(nèi)的無(wú)窮大面電荷S，在x1地域中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E2exE2。由電場(chǎng)強(qiáng)度法向界限條件獲知，0E10E1sx00E20E2sx0即0E10E1sx00E20E2sx1s由此求得E1E220依據(jù)疊加定理，各地域中的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為EE1E2exE1exE20,x0EE1E2exE1e

11、xE2s,0 x10EE1E2exE1exE20,x12-11若在球坐標(biāo)系中，電荷分布函數(shù)為0,0ra106,arb0,rb試求0ra,ar解作一個(gè)半徑為b及rb地域中的電通密度D。的球面為高斯面，由對(duì)稱性可知sDdsqDqer4r2式中q為閉合面S包圍的電荷。那么在0ra地域中，因?yàn)閝=0，所以D=0。在arb地域中，閉合面S包圍的電荷量為qdv1064r3a3v3所以，D106r3a3er3r2在rb地域中，閉合面S包圍的電荷量為qdv1064b3a3v3所以，D106b3a3er3r22-12若帶電球的內(nèi)外處域中的電場(chǎng)強(qiáng)度為q,rar2Eerqr,raa試求球內(nèi)外各點(diǎn)的電位。解在ra地域

12、中，電位為a2r2rEdrEdrEdrqqarra2aa在ra地域中，rEdrqrr2-13已知圓球坐標(biāo)系中空間電場(chǎng)分布函數(shù)為r3,raEera5r2,ra試求空間的電荷密度。解利用高斯定理的微分形式E，得知在球坐標(biāo)0系中r0E01dr2Err2dr那么，在ra地域中電荷密度為r1dr550r20r2dr在ra地域中電荷密度為r1da500r2dr2-14已知真空中的電荷分布函數(shù)為r2,0ra(r)0,ra式中r為球坐標(biāo)系中的半徑，試求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解因?yàn)殡姾煞植紦碛星驅(qū)ΨQ性，取球面為高斯面，那么依據(jù)高斯定理在0ra地域中4r2r2drr5qrdvr4v051451r3Eer4r25r0

13、50er在ra地域中4r2r2dra5qrdva4v051451a5Eer4r25a05r20er2-15已知空間電場(chǎng)強(qiáng)度E3ex4ey5ez，試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點(diǎn)間的電位差。解設(shè)P1點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,0,0,）,P2點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1,2,），那么，兩點(diǎn)間的電位差為VP2EdlP1式中E3ex4ey5ez,dlexdxeydyezdz，所以電位差為V1,1,23V3dx4dy5dz0,0,02-16已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b。若填補(bǔ)介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)r2。試求在外導(dǎo)體尺寸不變的狀況下，為了獲取最高耐壓，內(nèi)外導(dǎo)體半徑之比。解已知若同軸線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電

14、荷量為q1，則同軸線內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度Eq1er。為了使同軸線獲取最高耐壓，應(yīng)在2r保持內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差V不變的狀況下，使同軸線內(nèi)最大的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最小值，即應(yīng)使內(nèi)導(dǎo)體表面ra處的電場(chǎng)強(qiáng)度達(dá)到最小值。因?yàn)橥S線單位長(zhǎng)度內(nèi)的電容為q12q12C1bVVblnlnaa則同軸線內(nèi)導(dǎo)體表面ra處電場(chǎng)強(qiáng)度為bE(a)VVabblnbalnaa令b不變，以比值b為變量，對(duì)上式求極值，獲知當(dāng)比a值be時(shí)，Ea獲得最小值，即同軸線獲取最高耐壓。a2-17若在一個(gè)電荷密度為，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場(chǎng)強(qiáng)度。arrPodob習(xí)題圖2-17解此題

15、可利用高斯定理和疊加原理求解。第一設(shè)半徑為a的整個(gè)球內(nèi)充滿電荷密度為的電荷，則球內(nèi)P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E1P14r3err40r2330式中r是由球心o點(diǎn)指向P點(diǎn)的地址矢量，再設(shè)半徑為b的球腔內(nèi)充滿電荷密度為的電荷，則其在球內(nèi)P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E2P14r3err40r2330式中r是由腔心o點(diǎn)指向P點(diǎn)的地址矢量。那么，合成電場(chǎng)強(qiáng)度E1PE2P即是原來(lái)空腔內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，即EPE1PE2Prr3d300式中d是由球心o點(diǎn)指向腔心o點(diǎn)的地址矢量?？梢?jiàn)，空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的。2-18已知介質(zhì)圓柱體的半徑為a，長(zhǎng)度為l，當(dāng)沿軸線方向發(fā)生z均勻極化時(shí)，極化強(qiáng)度為P，試a求介質(zhì)中約束電荷在圓柱內(nèi)外軸lPP

16、y線上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度。y解建立圓柱坐標(biāo)，且令圓柱的下x端面位于xy平面。因?yàn)槭蔷鶆驑O習(xí)題圖2-18化，故只考慮面約束電荷。并且該約束電荷僅存在圓柱上下端面。已知面約束電荷密度與極化強(qiáng)度的關(guān)系為Pen式中en為表面的外法線方向上單位矢量。由此求得圓柱體上端面的約束電荷面密度為s1P，圓柱體下端面的約束面電荷密度為s2P。由習(xí)題2-9獲知，位于xy平面，面電荷為s的圓盤(pán)在其軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為sE20zzz2ez2za所以，圓柱下端面約束電荷在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為PzzE2zz2ez20a2而圓柱上端面約束電荷在z軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為PzlzlezE1zl(zl)220a2那么，上下端面約束電荷在

17、z軸上任一點(diǎn)產(chǎn)生的合成電場(chǎng)強(qiáng)度為EezPzlzla2zz2z20zlzl2za22-19已知內(nèi)半徑為a，外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為，若在球心擱置一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷，試求：介質(zhì)殼內(nèi)表面面上的約束電荷；各地域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解先求各地域中的電場(chǎng)強(qiáng)度。依據(jù)介質(zhì)中高斯定理Ddsq4r2DqDq2ers4r在0ra地域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為Dq2erE0r04在arb地域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為DqerEr24在rb地域中，電場(chǎng)強(qiáng)度為Dq2erE0r04再求介質(zhì)殼內(nèi)表面面上的約束電荷。因?yàn)镻0E，則介質(zhì)殼內(nèi)表面上約束電荷面密度為snPerPq10q04a24a2表面面上約束電荷面密度為q0qsnPerP04b2

18、14b22-20將一塊無(wú)窮大的厚度為d的介質(zhì)板放在均勻電場(chǎng)E中，四周媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板的介電常數(shù)為，均勻電場(chǎng)E的方向與介質(zhì)板法線的夾角為1，如習(xí)題圖2-20所示。當(dāng)介質(zhì)板中的電場(chǎng)線方向2時(shí)，試求角度1及4介質(zhì)表面的約束電荷面密度。00E1en12en2E221Ed習(xí)題圖2-20解依據(jù)兩種介質(zhì)的界限條件獲知，界限上電場(chǎng)強(qiáng)度切向重量和電通密度的法向重量連續(xù)。所以可得Esin1E2sin2；Dcos1D2cos2已知D0E,D2E2，那么由上式求得tantan10tan10tan201arctan02已知介質(zhì)表面的約束電荷senPen(D0E)，那么，介質(zhì)左表面上約束電荷面密度為s1en1P2e

19、n110D210en1D2100Ecos1介質(zhì)右表面上約束電荷面密度為s2en2P2en210D210en2D2100Ecos12-21已知兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為3106C，相距很遠(yuǎn)。若以導(dǎo)線相連后，試求：電荷挪動(dòng)的方向及電量；兩球最后的電位及電量。解設(shè)兩球相距為d，考慮到da,db，兩個(gè)帶電球的電位為1121q2q1qq；1ad2d4040b兩球以導(dǎo)線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應(yīng)該守恒，即12及q1q2q6106C，求得兩球最后的電量分別為q1adbq1q210adbd2ab3q2bdaq2q410adbd2ab366CC可見(jiàn)，電荷由半徑小的導(dǎo)體

20、球轉(zhuǎn)移到半徑大的導(dǎo)體球，挪動(dòng)的電荷量為1106C。兩球最后電位分別為11q13105V4a021q23105V40b2-22已知兩個(gè)導(dǎo)體球的重量分別為m1=5g，m2=10g，電量均為5106C，以無(wú)重量的絕緣線相連。若絕緣線的長(zhǎng)度l=1m，且遠(yuǎn)大于兩球的半徑，試求；絕緣線切斷的瞬時(shí)，每球的加速度；絕緣線切斷許久今后，兩球的速度。解絕緣線切斷的瞬時(shí)，每球遇到的力為q1q251065106F240.225N40r0所以，兩球獲取的加速度分別為a1F0.22545ms2m10.005a2F0.22522.5ms2m20.01當(dāng)兩球相距為l時(shí)，兩球的電位分別為1q1q2；1q2q11r1l2r2l4

21、040此時(shí)，系統(tǒng)的電場(chǎng)能量為11q11W2q222絕緣線切斷許久今后，兩球相距很遠(yuǎn)(la,lb)，那么，兩球的電位分別為q1;q210r12440r2因而可知，絕緣線切斷許久的前后，系統(tǒng)電場(chǎng)能量的變化為W1q2q11q1q2q20.225(J)240l240l40l這部分電場(chǎng)能量的變化轉(zhuǎn)變成兩球的動(dòng)能，依據(jù)能量守恒原理及動(dòng)量守恒定理可得以下方程：W1m1v121m2v22，m1v1m2v2022由此即可求出絕緣線切斷許久今后兩球的速度v1和v2：v17.74ms；v23.87ms2-23如習(xí)題圖2-23所示，半徑為a的導(dǎo)體球中有兩個(gè)較小的球形空腔。若在空腔中心分別擱置兩個(gè)點(diǎn)電荷q1及q2，在距

22、離ra處擱置另一個(gè)點(diǎn)電荷q3，試求三個(gè)點(diǎn)電荷遇到的電場(chǎng)力。aq3q1q2r習(xí)題圖2-23解依據(jù)原書(shū)2-7節(jié)所述，封閉導(dǎo)體空腔擁有靜電障蔽特征。所以，q1與q2之間沒(méi)有作用力，q3對(duì)于q1及q2也沒(méi)有作用力。但是q1及q2在導(dǎo)體表面面產(chǎn)生的感覺(jué)電荷-q1及-q2，對(duì)于q3有作用力?？紤]到ra，依據(jù)庫(kù)侖定律獲知該作用力為q1q2q3f0r242-24證明位于無(wú)源區(qū)中任一球面上電位的均勻值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布特征沒(méi)關(guān)。解已知電位與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為E，又知，由此獲知電位滿足以下泊松方程20利用格林函數(shù)求得泊松方程的解為rG0r,rrG0r,rrrG0r,rdsdvV0S式中G01?？紤]

23、到G0r,r1rrr,r4r3，代入4rrr上式得1r1rrrVrrdvrrr3rrds404Sr若閉合面S內(nèi)為無(wú)源區(qū)，即0，那么r1rrrrds4Srr3rr若閉合面S為一個(gè)球面，其半徑為a，球心為場(chǎng)點(diǎn)，則ra，那么上式變成r1rrdsrr4Saa3考慮到差矢量rr的方向?yàn)樵撉蛎娴陌霃椒较?，即與ds的方向恰好相反，又E,則上式變成r1ds1Erds4aS4a2S因?yàn)樵赟面內(nèi)無(wú)電荷，則Eds0，那么Sr1rds24aS由此式可見(jiàn)，位于無(wú)源區(qū)中任一球面上的電位的均勻值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布沒(méi)關(guān)。2-25已知可變電容器的最大電容量Cmax100pF，最小電容量Cmin10pF，外加直

24、流電壓為300V，試求使電容器由最小變成最大的過(guò)程中外力一定作的功。解在可變電容器的電容量由最小變成最大的過(guò)程中，電源作的功和外力作的功均轉(zhuǎn)變成電場(chǎng)儲(chǔ)能的增量，即W電源W外We式中W電源VqV(CmaxVCminV)8.1106(J)所以，外力一定作的功為W外4.05106J2-26若使兩個(gè)電容器均為C的真空電容器充以電壓V后，斷開(kāi)電源互相并聯(lián)，再將此中之一填滿介電常數(shù)為r的理想介質(zhì)，試求：兩個(gè)電容器的最后電位；轉(zhuǎn)移的電量。解兩電容器斷開(kāi)電源互相并聯(lián)，再將此中之一填滿相對(duì)介電常數(shù)為r理想介質(zhì)后，兩電容器的電容量分別為C1C,C2rC兩電容器的電量分別為q1,q2，且q1q22CV因?yàn)閮蓚€(gè)電容器

25、的電壓相等，所以q1q2q2C1C2q1r聯(lián)立上述兩式，求得q12CV，2CVq21r1rr所以，兩電容器的最后電位為q1q22VVC21rC1考慮到q2q1，轉(zhuǎn)移的電量為qq2CVrrCV12-27同軸圓柱電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，其內(nèi)一半填補(bǔ)介電常數(shù)為1的介1a2質(zhì)，另一半填補(bǔ)介質(zhì)的介電常b數(shù)為2，如習(xí)題圖2-27所示。習(xí)題圖2-27當(dāng)外加電壓為V時(shí)，試求：電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度；各界限上的電荷密度；電容及儲(chǔ)能。解設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的表面面上單位長(zhǎng)度的電量為q，外導(dǎo)體的內(nèi)表面上單位長(zhǎng)度的電量為q。取內(nèi)外導(dǎo)體之間一個(gè)同軸的單位長(zhǎng)度圓柱面作為高斯面，由高斯定理Ddsqarbs求得rD1D2q已

26、知D11E1,D22E2，在兩種介質(zhì)的分界面上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向重量一定連續(xù)，即E1E2，求得E1E2Eqr12內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位差為VEdrqlnbba12a即單位長(zhǎng)度內(nèi)的電荷量為q112Vlnba故同軸電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為VErlnbera因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度在兩種介質(zhì)的分界面上沒(méi)法向重量，故此界限上的電荷密度為零。內(nèi)導(dǎo)體的表面面上的電荷面密度為s11erE1V；s22erE2Valnbalnbaa外導(dǎo)體的內(nèi)表面上的電荷面密度為s11erE1V；s22erE2Vblnbblnbaa單位長(zhǎng)度的電容為q12CbVlna電容器中的儲(chǔ)能密度為we11E2dv112E2dv21V212V12V222blna2-

27、28一平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-28所示，間距為d，極板面積為ll。試求：接上電壓V時(shí)，移去介質(zhì)前后電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度、電通密度、各界限上的電荷密度、電容及儲(chǔ)能；斷開(kāi)電源后，再計(jì)算介質(zhì)移去前后以上各個(gè)參數(shù)。l/2l/2KdV習(xí)題圖2-28解接上電源，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)界限上電場(chǎng)強(qiáng)度切向重量一定連續(xù)，所以，介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度E是相等的，即電場(chǎng)強(qiáng)度為EV。但是介質(zhì)內(nèi)外的電通密度不等，介VdV質(zhì)內(nèi)DE，介質(zhì)外D00Ed0d。兩部分極板表面自由電荷面密度分別為V，Vsds00d電容器的電量ql2l2Vss0022d電容量為Cq0l2V2d電容器儲(chǔ)能為W1qV(0)l2V224d若接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)，

28、那么電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為EVd電通密度為極板表面自由電荷面密度為Vs0E0d電容器的電量為ql2s0l2Vd電容量為Cq0l2Vd電容器的儲(chǔ)能為W1qVl2V2202d斷開(kāi)電源后，移去介質(zhì)前，各個(gè)參數(shù)不變。但是若移去介質(zhì)，因?yàn)闃O板上的電量q不變，電場(chǎng)強(qiáng)度為EqV00l22d0電通密度為DV00E2d極板表面自由電荷面密度為sV02d兩極板之間的電位差為V0VEd20ql20電容量為CdV1qVl2V22電容器的儲(chǔ)能為W028d02-29若平板電容器的結(jié)構(gòu)如習(xí)題圖2-29所示，尺寸同上題，計(jì)算上題中各種狀況下的參數(shù)。d/2d/2l習(xí)題圖2-29解接上電壓，介質(zhì)存在時(shí)，介質(zhì)內(nèi)外的電通密度均為Dql

29、2，所以，介質(zhì)內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為Eq；E0q2l2l0兩極板之間的電位差為VdEE0qd0。22l20則2l2V0E2V0,E02Vqd0d0d0則電位移矢量為DE2V0；D02V0d0E00d0極板表面自由電荷面密度為2V0；2V0sds0d00介電常數(shù)為的介質(zhì)在湊近極板一側(cè)表面上約束電荷面密度為0E2V0ss00d介電常數(shù)為與介電常數(shù)為0的兩種介質(zhì)界限上的約束電荷面密度為s0EE02V000d此電容器的電量ql2sl2s02Vl200d則電容量為Cq2l20Vd0電容器的儲(chǔ)能為W1qV2V2l22020d接上電壓時(shí)，移去介質(zhì)后：電場(chǎng)強(qiáng)度為EVd電位移矢量為D0E0Vd極板表面自由電荷面密

30、度為Vs0d電容器的電量ql2s0l2Vd電容量為Cq0l2Vd電容器的儲(chǔ)能為W1qV0l2V222d斷開(kāi)電源后，介質(zhì)存在時(shí)，各個(gè)參數(shù)與接上電源時(shí)完整同樣。但是，移去介質(zhì)后，因?yàn)闃O板上的電量q不變，電容器中電場(chǎng)強(qiáng)度為Eq2V，電通密度為0l20dD2V00E0d極板表面自由電荷面密度為s2V0d0兩極板之間的電位差為VEd2V0電容量為ql2C0dV電容器的儲(chǔ)能為1qV2V2l220W2d202-30已知兩個(gè)電容器C1及C2的電量分別為q1及q2，試求二者并聯(lián)后的總儲(chǔ)能。若要求并聯(lián)前后的總儲(chǔ)能不變，則兩個(gè)電容器的電容及電量應(yīng)滿足什么條件解并聯(lián)前兩個(gè)電容器總儲(chǔ)能為1q12q22W前Wc1Wc22C1C2并聯(lián)后總電容為CC1C2，總電量為qq1q2，則總儲(chǔ)能為W后1q21q1q222C2C1C2要使W前W后，即要求1221q12q1q2q22C1C22C1C2方程兩邊同乘C1C2，整理后得C22C1q2q22qqC11C212方程兩邊再同乘C1C2，可得C22q2C2q22CCqq1121212即C2q1C1q220由此獲知兩個(gè)電容器的電容量及電荷量應(yīng)該滿足的條件為q1C1q2C22-31若平板電容器中介電常數(shù)為(x)21x1d平板面積為A，間距為d，如習(xí)題2-31所示。試求平板電容器的電容。解設(shè)極板上的電荷密度分別為XAAd0