2022屆上海市實驗學(xué)校高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁第 Page * MergeFormat 17 頁 共 NUMPAGES * MergeFormat 17 頁2022屆上海市實驗學(xué)校高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1“”是“關(guān)于x的實系數(shù)方程沒有實數(shù)根”的（）條件A必要不充分B充分不必要C充要D既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】因為關(guān)于x的實系數(shù)方程沒有實數(shù)根時，所以，得，所以當(dāng)時，方程不一定沒有實根，而當(dāng)沒有實根時，成立，所以“”是“關(guān)于x的實系數(shù)方程沒有實數(shù)根”的必要不充分條件，故選：A22020年3月14日是全球首個國際圓

2、周率日（ Day）歷史上，求圓周率的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似數(shù)學(xué)家阿爾卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正邊形的周長和外切正邊形（各邊均與圓相切的正邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值按照阿爾卡西的方法，的近似值的表達(dá)式是（）ABCD【答案】A【分析】計算出單位圓內(nèi)接正邊形和外切正邊形的周長，利用它們的算術(shù)平均數(shù)作為的近似值可得出結(jié)果.【詳解】單位圓內(nèi)接正邊形的每條邊所對應(yīng)的圓心角為，每條邊長為 ，所以，單位圓的內(nèi)接正邊形的周長為，單位圓的外切正邊形的每條邊長為，其周長為，則.故選：A.【點睛】本題考查圓周率的近似值的計算，根據(jù)題意計算出單位圓內(nèi)接正邊

3、形和外切正邊形的周長是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.3已知點是曲線上的動點，若拋物線上存在不同的兩點、滿足、的中點均在上，則、兩點的縱坐標(biāo)是以下方程的解（）ABCD【答案】A【分析】設(shè)出，的坐標(biāo)，用中點公式求出，的中點坐標(biāo)后代入拋物線方程，再由根與方程的關(guān)系即可得出【詳解】設(shè)，則的中點，的中點，即，同理得，因此是方程的兩根故選【點睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)以及中點公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力4已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）ABCD【答案】D【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個

4、零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.二、填空題5已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則_【答案】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的公式求解【詳解】解：，則故答案為【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)的計算題6不等式的解集為_【答案】【分析

5、】轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組即得解.【詳解】由題得所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題主要考查分式不等式的解法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.7函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域為_【答案】【分析】根據(jù)平移的相關(guān)知識知，函數(shù)與函數(shù)的值域相同，而函數(shù)是由函數(shù)中的值不變，值變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，即可求出【詳解】因為函?shù)的值域是，將函數(shù)圖象向左平移一個單位，得到函數(shù)，其值域仍是，而函數(shù)是由函數(shù)中的值不變，值變?yōu)樵瓉淼?倍得到，所以其值域為故答案為【點睛】本題主要考查由簡單函數(shù)的值域求復(fù)合函數(shù)的值域8求值：_【答案】【分析】根據(jù)二項式定理展開式配湊，即可求出【詳解】 故答案為【點睛】本題主要考查二項式

6、定理的應(yīng)用,考查學(xué)生對二項展開式的理解9已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則圓錐的體積為_.【答案】【分析】由側(cè)面展開圖求出圓錐的底面半徑和高，再由體積公式計算【詳解】由題意圓錐的母線長為，設(shè)圓錐底面半徑為，則，所以高為，體積為故答案為：10若實數(shù)集合與僅有一個公共元素，則集合中所有元素之積的值為_【答案】0【分析】根據(jù)兩集合僅有一個公共元素,所以有或或或，解出的值,即可求出集合中所有元素之積【詳解】依據(jù)題意得， 或或或，解得 或，所以集合中所有元素之積的值為0故答案為0【點睛】本題主要考查集合的交集并集的定義以及其運算11已知函數(shù)（且）的反函數(shù)為，若在上的最大值和最小值互為相反數(shù)，則的值

7、為_【答案】【分析】先求出函數(shù)的反函數(shù)，由單調(diào)性即可求出其在上的最大值和最小值，列出方程，即可求出【詳解】設(shè)，解得，則，由于其在上單調(diào)，所以其最大值和最小值之和為，即有，解得故答案為【點睛】本題主要考查反函數(shù)以及其最值的求法12一名信息員維護(hù)甲乙兩公司的5G網(wǎng)絡(luò)，一天內(nèi)甲公司需要維護(hù)和乙公司需要維護(hù)相互獨立，它們需要維護(hù)的概率分別為0.4和0.3，則至少有一個公司不需要維護(hù)的概率為_【答案】0.88【分析】根據(jù)相互獨立事件概率計算公式和對立事件的概率計算公式直接求解即可【詳解】至少有一個公司不需要維護(hù)的對立事件是兩公司都需要維護(hù)，所以至少有一個公司不需要維護(hù)的概率為，故答案為0.88【點睛】本

8、題主要考查概率的求法以及相互獨立事件概率計算公式和對立事件的概率計算公式的應(yīng)用13將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是_.【答案】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14已知數(shù)列滿足：，且，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的范圍為_【答案】或【分析】先求出數(shù)列的通項公式，再求出其最大值，然后求出在上的最小值，即可解不等式組求出【詳解】由得，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列所以，即，因為在上單調(diào)，所以，因此可得即，解得

9、或故答案為或【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法、數(shù)列最大項的求法，不等式恒成立問題的解法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運算能力15某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BCDG，垂足為C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直線DE和EF的距離均為7 cm，圓孔半徑為1 cm，則圖中陰影部分的面積為_cm2【答案】【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個

10、單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)，由題意，所以，因為,所以，因為，所以，因為與圓弧相切于點，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，因為，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在實際中應(yīng)用，把陰影部分合理分割是求解的關(guān)鍵，以勞動實習(xí)為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.16已知、是不共線的兩個向量，的最小值為，若對任意的m、，的最小值為1，的最小值為2，則的最小值為_【答案】4【分析】設(shè)的夾角為，由題得可得可得結(jié)合可得到，由即可得到答案.【詳解】設(shè)的夾角為，的最小值為，所以，因為的最小值為1, 的最小值為2，所以，兩式相乘可得（）而，結(jié)合（

11、）可得，解得，則 所以的最小值為4.故答案為：4三、解答題17在三棱錐ABCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO平面BCD，AO=2，E為AC的中點（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設(shè)二面角FDEC的大小為，求sin的值【答案】（1）（2）【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結(jié)果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設(shè)平面一個法向量為令設(shè)平面一個法向量為令因此【點睛】本題考查

12、利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.18在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）方法一：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.方法二【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E在中，由，可得，又，所以在中，因此（2）方法一：兩角和的正弦公式法由于，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.方法二【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正

13、切公式法在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而又由（1）可得，所以方法三：幾何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得在中，所以在中，由正弦定理可得，由此可得方法四：構(gòu)造直角三角形法如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G在（1）的方法二中可得由，可得在中，由（1）知，所以在中，從而在中，所以【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45角的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進(jìn)而求解；方法二：適當(dāng)作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，

14、使用正弦定理求得的正弦值，進(jìn)而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進(jìn)而求解，也是很優(yōu)美的方法.19某電器專賣店銷售某種型號的空調(diào)，記第天（，）的日銷售量為（單位；臺）函數(shù)圖象中的點分別在兩條直線上，如圖，該兩直線交點的橫坐標(biāo)為，已知時，函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的解析式；（2）求的值及該店前天此型號空調(diào)的銷售總量；（3）按照經(jīng)驗判斷，當(dāng)該店此型號空調(diào)的銷售總量達(dá)到或超過臺，且日銷售量仍持續(xù)增加時，該型號空調(diào)開始旺銷，問該店此型號空調(diào)銷售到第幾天時，才可被認(rèn)為開始旺銷？【答案】（1）（）；（2），臺；（3）第天【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，圖像為直線，可用待定系數(shù)法設(shè)，

15、（），根據(jù)圖像可知圖像經(jīng)過、兩點，代入解析式求解即可。（2）根據(jù)題意，函數(shù)與函數(shù)在第天的日銷售量相同，故，可求出的值，則天前的銷售總量即直線與坐標(biāo)軸所圍成梯形面積。（3）根據(jù)題意，可設(shè)空調(diào)銷售到第天時，可被認(rèn)為開始旺銷，則銷售總量：，解出即可?！驹斀狻浚?）根據(jù)題意，當(dāng)時，設(shè)，（），（），（2）時，函數(shù)；當(dāng)時，該店前天此型號空調(diào)的銷售總量臺；（3）設(shè)該店此型號空調(diào)銷售到第天時，才可被認(rèn)為開始旺銷，則銷售總量，該店此型號空調(diào)銷售到第天時，才可被認(rèn)為開始旺銷【點睛】本題主要考查函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，運用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)解析式和實際問題。20設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點為,過作直線交拋物線

16、于兩點.（1）求線段中點的軌跡；(2)若線段的垂直平分線交對稱軸于),求的取值范圍；(3)若直線的斜率依次取時,線段的垂直平分線與對稱軸的交點依次為，當(dāng)時，求：的值.【答案】(1) 拋物線位于直線右方的兩段拋物線弧.(2) .(3) .【分析】（1）設(shè)直線：，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解的中點為，求解軌跡方程，得到軌跡為該拋物線位于直線右方的兩段拋物線?。唬?）設(shè)的中點為，求出線段的垂直平分線的方程，然后求解；（3）求出中點的橫坐標(biāo)，求出點的橫坐標(biāo)，通過數(shù)列為一無窮遞縮等比數(shù)列，求解所有項的和【詳解】(1)設(shè)直線,聯(lián)立，得： ，由且得到: .設(shè)的中點為,則，消去得, .實際軌跡為該拋物線位于直線右方

17、的兩段拋物線弧.(2)設(shè)的中點為，則線段的垂直平分線的方程為: .令,得 ，由，得.(3) 由(1)知中點的橫坐標(biāo)，.則當(dāng)時,點的橫坐標(biāo)，同理的橫坐標(biāo)，.數(shù)列為一無窮遞縮等比列，所有項的和為.【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和，數(shù)列與函數(shù)以及解析幾何相結(jié)合的應(yīng)用，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.21已知數(shù)列的首項a1=1，前n項和為Sn設(shè)與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有成立，則稱此數(shù)列為“k”數(shù)列（1）若等差數(shù)列是“1”數(shù)列，求的值；（2）若數(shù)列是“”數(shù)列，且an0，求數(shù)列的通項公式；（3）對于給定的，是否存在三個不同的數(shù)列為“3”數(shù)列，且an0?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由，【答案】（1）1（2）（3）【分析】（1）根據(jù)定義得，再根據(jù)和