經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的數(shù)學(xué)分析

1、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的數(shù)學(xué)分析研究社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的開展趨勢和開展速度，歷來受到各國經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)學(xué)家的重視，被列為重點(diǎn)研究課題。而迄今為止，動態(tài)分析理論本身所具有的局限性，使得經(jīng)濟(jì)、統(tǒng)計(jì)學(xué)家及統(tǒng)計(jì)工常常處于一種難于解脫的困境與矛盾之中。簡單地說，詳細(xì)表如今：(1)沒有同“累計(jì)法平均開展速度相對應(yīng)的平均增長量的概念和計(jì)算公式；(2)對含有負(fù)數(shù)的時(shí)間數(shù)列無法進(jìn)展速度分析；(3)根據(jù)平均增長量、“程度法平均開展速度得出的結(jié)論經(jīng)常與事實(shí)相悖。本文將針對這些問題，提出和引進(jìn)新的概念與方法，對動態(tài)分析的理論根底重新進(jìn)展考察，以解決上述出現(xiàn)的和現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中存在的問題與矛盾。一、動態(tài)分析的分類方法為了闡述的方便，在這里把經(jīng)濟(jì)

2、時(shí)間數(shù)列的開展變化稱做經(jīng)濟(jì)運(yùn)行。在對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行動態(tài)考察分析時(shí)，以下將采用類似于物理學(xué)中考察物體直線運(yùn)動時(shí)的那種處理方法，即首先拋開本文是?經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的定量分析與系統(tǒng)分析?課題報(bào)告的主要內(nèi)容，此課題曾榮獲國家統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究成果獎，本文有所增刪。詳細(xì)研究對象，把經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列抽象成一個(gè)沒有質(zhì)的差異的時(shí)間數(shù)列。然后在增長量分析中，以逐期增長量為標(biāo)準(zhǔn)；在速度分析中，先把開展速度從標(biāo)量定義引伸為矢量定義，再以環(huán)比開展速度為標(biāo)準(zhǔn)。對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行進(jìn)展分類考察，并給出相應(yīng)的運(yùn)動規(guī)律。二、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的增長量分析在下面的增長量分析中，以逐期增長量為標(biāo)準(zhǔn)，對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的方式進(jìn)展分類考察，共有三種運(yùn)行方式：(一)恒量運(yùn)行一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間

3、數(shù)列a0，an-1，假如它的各期開展程度都相等，這種運(yùn)行就叫做經(jīng)濟(jì)的恒量運(yùn)行，簡稱恒量運(yùn)行。即：ai=aj(i,j=0,1,n-1)(1)(二)勻增長量運(yùn)行一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列，假如它的逐期增長量都相等，這種運(yùn)行就叫做經(jīng)濟(jì)的勻增長量運(yùn)行，簡稱勻增長量運(yùn)行(從數(shù)學(xué)角度看，此時(shí)構(gòu)成一等差數(shù)列)。即：d=ai+1-ai(i=0,1,n-1)(2)或aj=ai+(j-i)d(i,j=0,1,n-1)(3)此時(shí)逐期增長量d為一常數(shù)。平均開展程度(序時(shí)平均數(shù))a的公式可簡化為：aia0+an-1a(i=0,n-1)(4)n2累計(jì)和s的公式可簡化為：n(a0+an-1)s=(5)2非常顯然，恒量運(yùn)行就是增長量為

4、0的勻增長量運(yùn)行，是后者的特殊情形。在公式(3)中，假如令j=n-1，i=0。an-1-a0那么d(6)n-1這就是現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)原理中的平均增長量的計(jì)算公式，但它僅僅合適于勻增長量運(yùn)行。而無論恒量運(yùn)行還是勻增長量運(yùn)行，其平均增長量就等于逐期增長量，因此，此時(shí)沒有必要專門討論其平均增長量。(三)變增長量運(yùn)行一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列，假如它的逐期增長量不相等，這種運(yùn)行就叫做經(jīng)濟(jì)的變增長量運(yùn)行，簡稱變增長量運(yùn)行，其逐期增長量是一個(gè)變量。經(jīng)濟(jì)的恒量運(yùn)行和勻增長量運(yùn)行，都是對實(shí)際經(jīng)濟(jì)運(yùn)行理想化的抽象，在經(jīng)濟(jì)生活一般是不存在的?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，大量的、最為普遍的是變增長量運(yùn)行，對于這種運(yùn)行方式，如何說明在一定時(shí)期

5、內(nèi)平均每期增長的數(shù)量呢？假設(shè)從a0到an-1有平均增長量d，那么d滿足以下方程：(a0+d)+(a0+(n-1)d)=ai(7)2(ai-a0)即d=(8)n(n-1)這種平均增長量計(jì)算方法的本質(zhì)：從開展程度看，是要求各年根據(jù)d所推算的累計(jì)總和與各年實(shí)際所具有的程度總和相一致，見方程(7)；從增長量看，是要求各年根據(jù)d推算的累計(jì)增長量總和與各年實(shí)際累計(jì)增長量總和相一致。即：d+2d+(n-1)d=(ai-a0)(i=1,n-1)非常顯然，勻增長量運(yùn)行就是逐期增長量為常數(shù)的變增長量運(yùn)行，是后者的特殊情形，所以公式(8)才是普遍適用的平均增長量的計(jì)算公式。為了區(qū)分說明這個(gè)平均增長量和現(xiàn)有經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)原

6、理中的平均增長量之間的本質(zhì)性差異，把前者定義的叫做“累計(jì)法平均增長量，簡稱累計(jì)平均增長量，而把后者定義的叫做“程度法平均增長量。在此，值得說明的是，上述的討論適用于包含有零值負(fù)值的時(shí)間數(shù)列，無論它們是出如今基期、報(bào)告期，還是中間開展程度。三、開展速度的矢量定義經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列負(fù)值的存在性，迫使人們考慮此時(shí)的速度分析方法。如何給出一個(gè)包含負(fù)數(shù)時(shí)間數(shù)列的開展速度呢？其實(shí)答案非常簡單，即只要把開展速度從原來的只有大小沒有方向的標(biāo)量定義，引伸為如今的既有大小又有方向的矢量定義，那么問題將迎刃而解。即開展速度仍是報(bào)告期開展程度和基期程度之比，它是說明社會經(jīng)濟(jì)敁開展方向敋和開展程度的相對指標(biāo)。報(bào)告期程度aj開

7、展速度q=基期程度a0下面根據(jù)基期a0的正負(fù)，分別討論開展速度q所代表的經(jīng)濟(jì)涵義。為使討論表達(dá)方便起見，不妨假設(shè)時(shí)間數(shù)列代表某企業(yè)的利潤額。a00，基期盈利。(1)aj0，報(bào)告期仍盈利，開展速度q0；此時(shí)恰好就是現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)理論中的開展速度，稱為第一類正開展速度，簡稱開展速度，說明企業(yè)在基期與報(bào)告期都盈利。它是一種最為常見的開展速度。(2)aj=0，報(bào)告期利潤額為零，開展速度q=0；稱為第一類零開展速度，說明企業(yè)由基期的盈利轉(zhuǎn)變?yōu)閳?bào)告期的零利潤額。(3)aj0，報(bào)告期虧損，開展速度q0；出現(xiàn)負(fù)開展速度，稱為第一類負(fù)開展速度，說明企業(yè)由基期的盈利轉(zhuǎn)變?yōu)閳?bào)告期的虧損。a00，基期虧損。(1)aj0，報(bào)

8、告期盈利，開展速度q0；也出現(xiàn)負(fù)開展速度，稱為第二類負(fù)開展速度。說明企業(yè)由基期的虧損轉(zhuǎn)變?yōu)閳?bào)告期的盈利，同第一類負(fù)開展速度的經(jīng)濟(jì)含義完全相反。(2)aj=0，報(bào)告期利潤額為0，開展速度q=0；稱為第二類零開展速度，說明企業(yè)由基期的虧損轉(zhuǎn)變?yōu)閳?bào)告期的零利潤額。(3)aj0，報(bào)告期繼續(xù)虧損，開展速度q0，稱為第二類正開展速度，說明企業(yè)在基期與報(bào)告期都虧損。此時(shí)，仍定義：增長速度=開展速度-1四、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的速度分析在下面的速度分析中，以環(huán)比開展速度為標(biāo)準(zhǔn)，對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行進(jìn)展分類考察，共有三種運(yùn)行方式：(一)恒量運(yùn)行見前，此時(shí)開展速度恒為1。(二)勻開展速度運(yùn)行一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列，假如它的環(huán)比開展速度為正且

9、相等，這種運(yùn)行就叫做經(jīng)濟(jì)的勻開展速度運(yùn)行，簡稱勻開展洈速度運(yùn)行(從數(shù)學(xué)角度看，此時(shí)構(gòu)成一等比數(shù)列)。即：ai+1q=(i=0,1,n-1)ai或aj=aiqj-i(i,j=0,1,n-1)(9)此時(shí)環(huán)比開展速度q為一正常數(shù)。累計(jì)和s的公式可寫為：a0(qn-1)s=當(dāng)q1時(shí)q-1s=na0當(dāng)q1時(shí)十清楚顯，恒量運(yùn)行就是開展速度為1的勻開展速度運(yùn)行，是后者的特殊情形。在公式(9)中，令j=n-1，i=0，那么可得：n-1an-1q=(10)a0這就是“程度法平均開展速度的計(jì)算公式。但明顯的是：從方法論的角度看，它僅僅適用于勻開展速度運(yùn)行。而勻開展速度運(yùn)行的平均開展速度就等于環(huán)比開展速度，因此，此

10、時(shí)沒有必要專門討論其平均開展速度。當(dāng)然，對于人口(這種具有數(shù)學(xué)意義上的馬爾可夫性arkv)時(shí)間數(shù)列，由于往往側(cè)重于考察期未程度，那么可例外。(三)變開展速度運(yùn)行一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列，假如它的環(huán)比開展速度不相等或相等且為負(fù)，這種運(yùn)行就叫做經(jīng)濟(jì)的變開展速度運(yùn)行，簡稱變開展速度運(yùn)行。經(jīng)濟(jì)的勻開展速度運(yùn)行，同樣是對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的理想化抽象，在經(jīng)濟(jì)生活中一般是不存在。現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，大量的、最為普遍的是變開展速度運(yùn)行。對于這種運(yùn)行方式，如何說明在一定時(shí)期內(nèi)每期平均開展變化呢？假設(shè)從a0到an-1有平均開展速度x，那么x滿足以下方程：大家知道，即使對于一個(gè)正時(shí)間數(shù)列，如何簡捷、可行地求解它所形成的高次方程(1

11、1)，都一直成為各國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)家研究和急待解決的重大難題；更何況如今取消了時(shí)間數(shù)列為正的限制，其困難將成倍的增加。令人欣喜的是，經(jīng)過一年多艱辛的探究與努力，筆者已構(gòu)造出一整套系統(tǒng)解決上述難題的計(jì)算技術(shù)，并研制出同累計(jì)平均增長量相配套可供實(shí)際大規(guī)模應(yīng)用的計(jì)算機(jī)程序。由于筆者準(zhǔn)備提供給用軟件而不是計(jì)算技術(shù)，所以在此省略極其復(fù)雜的中間過程，僅給出關(guān)鍵性的結(jié)論。定義：一個(gè)經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列a0，an-1，假設(shè)a00。假如aia00，那么稱經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列從a0到an-1是同向性的；并且a00，稱做第一類同向性；a00時(shí)，稱做第二類同向性。相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類正(累計(jì))平均開展速度(其經(jīng)濟(jì)涵義參

12、見開展速度，后同)。假如aia0=0，那么稱經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列從a0到an-1處于臨界態(tài)；并且a00，稱做第一類(或盈虧)臨界態(tài)；a00時(shí)，稱做第二類(或虧盈)臨界態(tài)。相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類零(累計(jì))平均開展速度。假如aia00，那么稱經(jīng)濟(jì)時(shí)間數(shù)列從a0到an-1是異向性的；并且a00時(shí)，稱做第一類異向性；a00時(shí)，稱做第二類異向性。(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，需滿足一定條件下)相應(yīng)地分別存在著第一類、第二類負(fù)(累計(jì))平均開展速度。十清楚顯，這種累計(jì)平均開展速度計(jì)算方法的本質(zhì)，是要求各年根據(jù)x所推算的累計(jì)總和與各年實(shí)際所具有的程度總和相一致。五、動態(tài)分析的一些原那么在動態(tài)分析中，過去由于采用了“程度法平

13、均增長量和平均開展速度，導(dǎo)致所推算的累計(jì)總和不相等，與實(shí)際程度總和也不相等。所以，往往只進(jìn)展速度分析，而不進(jìn)展增長量分析和實(shí)證分析。然而如今，隨著累計(jì)平均指標(biāo)的應(yīng)用，這些問題與矛盾都將迎刃而解。為了表達(dá)動態(tài)分析是增長量分析與速度分析的統(tǒng)一有機(jī)體，是一種定量化的實(shí)證分析方法；同時(shí)，也是為了更加完好地說明經(jīng)濟(jì)開展變化情況，結(jié)合原有的動態(tài)分析理論，明確提出以下一些動態(tài)分析的原那么。序時(shí)平均數(shù)原那么：在動態(tài)分析中，一般應(yīng)該給出這一時(shí)期的序時(shí)平均數(shù)，以說明經(jīng)濟(jì)的平均開展程度。增長量原那么：一般應(yīng)該給出這一時(shí)期的累計(jì)平均增長量，以說明每期平均增長的數(shù)量?；谶x擇原那么：應(yīng)用累計(jì)平均指標(biāo)，在很大程度上減弱了

14、建立在兩根支柱之上的“程度法的缺乏，但并沒有(也無法徹底)擺脫易受不同的參照基準(zhǔn)基期影響的缺陷。為了更加真實(shí)、準(zhǔn)確地考察經(jīng)濟(jì)開展情況，歸納出以下一些基期原那么。(1)政治原那么：在動態(tài)分析中，有時(shí)以特定的歷史時(shí)間的經(jīng)濟(jì)量做為基期來進(jìn)展分析，把這種選擇方式稱為基期的政治原那么。例如，以1945年的經(jīng)濟(jì)量為基期來考察二戰(zhàn)后世界經(jīng)濟(jì)開展情況。(2)侏儒原那么：以某一歷史時(shí)期中的經(jīng)濟(jì)量處于“底谷點(diǎn)的年份為基期，來考察經(jīng)濟(jì)開展情況，從而“跨大了經(jīng)濟(jì)開展速度和增長量。(3)中庸原那么：以某一歷史時(shí)期中的經(jīng)濟(jì)量處于中間程度的年份為基期，以便比擬“公正地考察經(jīng)濟(jì)開展情況。(4)巨人原那么：以某一歷史時(shí)期中的經(jīng)

15、濟(jì)量處于“頂峰點(diǎn)的年份為基期來考察經(jīng)濟(jì)開展情況，從而“降低了經(jīng)濟(jì)開展速度和增長量。(5)平均值原那么：在對不同經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，或?qū)Σ煌髽I(yè)、地區(qū)、部門、國家同一時(shí)期的經(jīng)濟(jì)開展情況進(jìn)展考察時(shí)，由于它們可能處于上述不同的基期原那么，所以往往把連續(xù)三年或五年的簡單算術(shù)平均數(shù)看做是中間一年的值，并以此值為基期，以便比擬“公正地對上述相應(yīng)指標(biāo)的開展情況進(jìn)展考察(由累計(jì)法易知，此時(shí)不包括基期值推算的累計(jì)和等于實(shí)際累計(jì)和)。項(xiàng)數(shù)的偶數(shù)原那么：在動態(tài)分析中，規(guī)定把異向性時(shí)間數(shù)列考察期的項(xiàng)數(shù)取為偶數(shù)，以確保此時(shí)累計(jì)平均開展速度的存在，從而進(jìn)展速度分析。六、一些結(jié)論通過以上問題的提出、分類、定義、推導(dǎo)求解、以及計(jì)算機(jī)軟

16、件、實(shí)際應(yīng)用結(jié)果和闡述，筆者希望可以得到下述結(jié)論：已建立了一套更加普遍和適用的動態(tài)分析的理論框架：在理論上對經(jīng)濟(jì)運(yùn)行進(jìn)展了分類；界定了累計(jì)平均增長量，矢量開展速度；并且系統(tǒng)、簡捷、可行地解決了適用于同向性、臨界態(tài)和異向性時(shí)間數(shù)列的累計(jì)平均增長量、累計(jì)平均開展速度的計(jì)算問題。用累計(jì)平均增長量和累計(jì)平均開展速度所推算的累計(jì)總和相等，且等于實(shí)際(程度總和)，這就消除了用“程度法平均增長量和平均開展速度計(jì)算的累計(jì)總和與實(shí)際程度總和之間的差額，使它們有機(jī)地統(tǒng)一起來，從而表達(dá)出經(jīng)濟(jì)分析的實(shí)證原那么和起始于亞當(dāng)斯密時(shí)代的國民財(cái)富的積累原那么。經(jīng)濟(jì)的恒量運(yùn)行、勻增長量運(yùn)行、勻開展速度運(yùn)行，都是一種理想狀態(tài)下的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行方式；而現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活那么是變增長量運(yùn)行、變開展速度運(yùn)行。假如我們無視現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活的特征，無視過程的變化而進(jìn)展分析考察，雖然到達(dá)了計(jì)算、分析簡化的目的，但可能使我們陷入偏離現(xiàn)實(shí)的危險(xiǎn)；而用偏離現(xiàn)實(shí)的分析做根底來指導(dǎo)現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活，將使我們離生活更遠(yuǎn)！從實(shí)際結(jié)果看，我們已運(yùn)用所編制的程序分別計(jì)算了中國、甘肅省的15項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的累計(jì)平均指標(biāo)，均獲得成功。筆者相信并希望：已給出的方法和編制的程序適用于任何時(shí)間數(shù)列，在國民經(jīng)濟(jì)方案、統(tǒng)計(jì)工作中，將會得到廣泛的應(yīng)