江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含附加題

1、江蘇省南京師范大學(xué)隸屬中學(xué)2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含附帶題江蘇省南京師范大學(xué)隸屬中學(xué)2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含附帶題江蘇省南京師范大學(xué)隸屬中學(xué)2020屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題含附帶題江蘇省南師附中2020屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)考生在答題前請仔細(xì)閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1本試卷共4頁，包含填空題（共14題）、解答題（共6題），滿分為160分，考試時間為120分鐘考試結(jié)束后，請將答題卡交回2答題前，請您務(wù)勢必自己的姓名、考試號等用書寫黑色筆跡的0.5毫米署名筆填寫在答題卡上3作答題目一定用書寫黑色筆跡的0.5毫米署名筆寫在答題卡上的指定地點(diǎn)，在其他地點(diǎn)

2、作答一律無效如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑、加粗，描繪清楚，x2，xn的方差s21n21n參照公式：1樣本數(shù)據(jù)x1xix，此中xxi；ni1ni12圓錐的體積V1h是高Sh，此中S是圓錐的底面圓面積，3一、填空題：本大題共14小題，每題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)地點(diǎn)上1會合A0,ex，B1,0,1，若ABB，則x_12i（i是虛數(shù)單位）的虛部是_2復(fù)數(shù)zi3log24log42_4履行以以下圖的程序框圖，輸出的s值為_5在ABC中，a4，b5，c6，則sin2A_sinC已知函數(shù)fxsinx3cosx，x，若fx是奇函數(shù)，則60f6的值為_7已知fxlog3x，若a，

3、b滿足fa1f2b1，且a2b，則ab的最小值為_8將黑白2個小球隨機(jī)放入編號為1，2，3的三個盒子中，則黑白兩球均不在1號盒子的概率為_9若拋物線x24y的點(diǎn)到雙曲線C：x2y21（a0，b0）的近線距離等于1，則雙曲線C的a2b23離心率為_10設(shè)m，n為空間兩條不一樣的直線，為空間兩個不一樣的平面，給出以下命題：若mP，mP，則P；若若mP，mPn，則nP；若m，mP，則；m，P，則m此中的正確命題序號是_rrrr1l設(shè)x0，y0，向量a1x,4，bx,y，若aPxy的最小值為_b，則12在ABC中，點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，已如CP3，CA4，則CPCA_13已知正數(shù)a，b，c滿足b22ac

4、bac0，則bc的最大值為_a14若m2x10m0對全部x4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_mx1二、解答題：本大題共6小題，共90分請?jiān)诖痤}卡指定地區(qū)內(nèi)作答解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算15如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD為矩形，且AB=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)，PADE(1）求證：EFP平面PAD；（2）求證：平面PAC平面PDE16在三角形ABC中，已知tanB110，cosC210（1）求角A的值；（2）若ABC的面積為3，求邊BC的長1017建筑一個容積為8m3、深為2m的無蓋長方體形的水池，已知池底和池壁的造價分別為120元/m2和80元/m2（

5、1）求總造價y（單位：元）對于底邊一邊長x（單位：m）的函數(shù)分析式，并指出函數(shù)的定義域；（2）假如要求總造價不超出2080元，求x的取值范圍；（3）求總造價y的最小值18在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：x2y21，若圓O：x2y2R2R0的一條切線與橢圓C63uuuruuur有兩個交點(diǎn)A，B，且OAOB0（1）求O的方程；（2）已知橢圓C的上極點(diǎn)為M，點(diǎn)N在圓O上，直線MN與橢圓C訂交于另一點(diǎn)uuuuruuurQ，且MN2NQ，求直線MN的方程19已知函數(shù)fxax22xlnxax21aR2（1）若曲線yfx在x1處的切線的斜率為2，求函數(shù)fx的單一區(qū)間；（2）若函數(shù)fx在區(qū)間1,e上有零點(diǎn)，

6、務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范田（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e271828L）20已知數(shù)列an、bn、cn，對于給定的正整數(shù)k，記bnanank，cnananknN*若對隨意的正整數(shù)n滿足：bnbn1，且cn是等差數(shù)列，則稱數(shù)列an為“Hk”數(shù)列（1）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2，證明：an為Hk數(shù)列；（2）若數(shù)列an為H1數(shù)列，且a11，b11，c25，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列an為H2數(shù)列，證明：an是等差數(shù)列數(shù)學(xué)（附帶題）2l【選做題】此題包含A、B、C三小題，請選定此中兩題，并在相應(yīng)的理睬地區(qū)內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評分，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修4-2：矩陣與變換（

7、本小題滿分10分）已知矩陣A102aBA0，B0，且AB21（1）務(wù)實(shí)數(shù)a；（2）求矩陣B的特色值B選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）x3t在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：5（t為參數(shù)）現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸y4t5為極軸成立極坐標(biāo)系，設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為2cos，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長C選修4-5：不等式選講已知x1，x2，x30,，且滿足x1x2x33x1x2x3，證明：x1x2x2x3x3x13【必做題】第22題、第23題，每題10分，合計(jì)20分請?jiān)诖鹁砜ㄖ付ǖ貐^(qū)內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）uuu

8、ruuur如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知棱AB，AD，AP兩兩垂直，長度分別為1，2，2若DCABR，uuuruuur15且向量PC與BD夾角的余弦值為15（1）求的值：（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值2n12n1，nN*記Tnk01x2k1ank23已知a0a1xa2x2La2n1xn（1）求T2的值；（2）化簡Tn的表達(dá)式，并證明：對隨意的nN*，Tn都能被4n2整除參照答案102-13545516-173284262993101191265214113,2215證明：（1）取PD中點(diǎn)G，連AG，F(xiàn)G，F(xiàn)，G分別是PC，PD的中點(diǎn)FGPCD，且FG1CD2又E為AB中點(diǎn)AEP

9、CD，且AE1CD2AEPFGAEFG四邊形AEFG為平行四邊形EFPAG，又EF平面PAD，AG平面PADEFP平面PAD（2）設(shè)ACIDEH，由AEH:CDH及E為AB中點(diǎn)，得AHAE1CHCD2又AB2，BC1AC3，AH1AC333AHAB2AEAC3又BAD為公共角GAE:BACAHEABC90即DEAC又DEPA，PAIACADEPACDEPDE16解：（1）在ABC中，tanB1103103，cosC得sinC，故tanC21010tanBtanC132因此tanAtanBC1Q0A，因此A1tanBtanC11342a310（2）由（1）知A45，設(shè)BCa，利用正弦定理ABBC

10、1035得，AB2a，sinCsinA52sinB15又cosB2，解得sinB5sin2Bcos2B1因此ABC的面積為S1ABBCsinB135aa53a23，因此a1，即BC12255101017（1）底邊一邊長x，另一邊長為842x，xy2x42808120320 x4480，即y320 x4480 x0；x2xx（2）y320 x44802080，解得1x4；xx1,4時，總造價不超出2080元；（3）記fxx4，設(shè)0 x1x22，則x1x20，x1x240，xfx1fx2x14x24x1x2x1x240，即fx1fx2，fx遞減，x1x2x1x2同理x2時，fx遞加，因此函數(shù)y32

11、0 x4480在0,2上遞減，在2,上遞加，xx2時，ymin3202448017602x2m，總造價最小為1760元ykxb,18（1）設(shè)的切為ykxb，點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2由方程組x2y2得631,12k2x24kbx2b260，得x1x24kb，x1x22b2b12k212k2uuuruuur由于OAOB0，因此x1,y1x2,y20，即x1x2y1y20又由于點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2在直線ykxb上，因此x1x2kx1bkx2b0，22221k2b6即1k2x1x2kbx1x2b20因此4kbb20，化簡得b22k22，12k212k2因此圓O的半徑Rb2，因此圓O的方程為

12、x2y221k2x2uuuruuur0此時，當(dāng)切線為時，易證滿足OAOBuuuuruuur2x0,2y03（2）設(shè)點(diǎn)Qx0,y0，點(diǎn)M0,3，由MN2NQ，得N3，代入橢圓和圓得3x02y021,x032,32632x0,22解得或許22x02y0333.2,y0y03322因此點(diǎn)Q32,3或Q32,32222故直線MN的方程為y6x3或y6x32219（1）函數(shù)fx的定義域?yàn)?，fx2ax2lnxax22x1ax2ax1lnx2ax22ax1lnx1，x則f12a12，因此a0，此時fx2xlnx1，定義域?yàn)?,，fx2lnx1，令fx1；令fx0，解得x10，解得x；ee因此函數(shù)fx的單一

13、增區(qū)間為1,，單一減區(qū)間為0,1ee（2）函數(shù)fxax22xlnxalnx21在區(qū)間1,e上的圖象是一條不中斷的曲線2由（1）知fx2ax1lnx1，1）當(dāng)a0時，對隨意x1,e，ax10，lnx10，則fx0，因此函數(shù)fx在區(qū)間1,e上單一遞加，此時對隨意x1,e，都有fxf1a10成立，從而函數(shù)fx在區(qū)間1,e上無零2點(diǎn)；2）當(dāng)a0時，令fx0，得x1111，或，此中e1ea若1，即a1，則對隨意x1,e，fx0，剛以函數(shù)fx在區(qū)間1,e上單一遞減，由題1意得f1a10，且feae22eae210，解得2a22e1，3e22222e1222e1此中13e4e2，即1，因此a的取值范是2a1

14、；3e23e23e20若1e，即1a0，則對任x1,e，fx0，因此函數(shù)fx在區(qū)間1,e上單一遞加，此aea時對隨意x1,e，都有fxf110成立，從而函數(shù)fx在區(qū)間1,e上無零點(diǎn)；2若11e，即1a1，則對隨意x1,1，fx0；因此函數(shù)fx在區(qū)間1,1上aeaa單一遞加，對隨意x1,1，都有fxf1a10成立；a2對于隨意x1,e，fx0，函數(shù)fx在區(qū)間1,e上單一遞減，由題意得aafeae22eae210，解得a292e1，23e2此中22e113e4e2e21，3e2e3e23e2e因此a的取值范圍是1a22e1e2綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2a22e13e220（1）當(dāng)n2時，anS

15、nSn1n2n122n1，當(dāng)n1時，a1S1a吻合上式，則an2n1n1，bn2k，cn4n2k2，則bnbn1，cn1cn4對隨意的正整數(shù)n滿足bnbn1，且cn是公差為4的等差數(shù)列，an為Hk數(shù)列（2）Qa1，b11，a22，由數(shù)列an為H1數(shù)列，則cn是等差數(shù)列，且c13，c25cn2n1即anan12n1，an1n1ann，則ann是常數(shù)列，Qa110，ann考證：bnanan11，bnbn1對隨意正整數(shù)n都成立ann又由anan12n1，an1an22n3，兩式相減得；an2an2，a2k1a12k12k1，a2ka22k12k，ann（3）由數(shù)列an為H2數(shù)列可知：cn是等差數(shù)列，

16、記公差為dcn2cnan2an1anan2bnbn22d，bn1bn32d則bnbn1bn2bn32d2d0又bnbn1，bnbn1，數(shù)列bn為常數(shù)列，則bnanan2b1cnanan22anbn由cncn2an1and，an1andan1，是等差數(shù)列2解：（1）由于AB102a2aBA2a1022aABBA21A，且，所020102010202以a0（2）由于B20，矩陣B的特色多項(xiàng)式為f21，令f，解得2，101x3tB解：直線l：5（t為參數(shù)）化為一般方程為4x3y0y4t5圓C的極坐標(biāo)方程2cosx1221，化為直角坐標(biāo)方程為y則圓C的圓心到直線1的距離為d44，因此AB21d2622

17、5543C解：由于x1，x2，x30,，x1x2x33x1x2x3，因此1113，x2x3x3x1x1x2又xxxxxx11111129，122331x2x3x3x1x1x2因此x1x2x2x3x3x13，當(dāng)且僅當(dāng)x1x2x31時取等號【點(diǎn)睛】此題主要觀察柯西不等式的應(yīng)用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈巧運(yùn)用22（1）依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AP分別為x、y，z軸成立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyzB1,0,0，D0,2,0uuuruuur,2,0，P0,0,2，由于DCAB，因此Cuuuruuuruuur15，解得10（舍去）或2從而PC,2,2，則由cosPC,BD15uuur2,2,2uuur0,2,2rx,y,z，（2）易得PC，PD，設(shè)平面PCD的法向量nruuurruuur0，即xyz0，且yz0，因此x0則nPC0，nPD，不如取yzruuur1,0,21，則平面PCD的一個法向量n0,1,1，又易得PB，uuurruuurrPBn1010故cosPB,n，因此直線PB與平面PCD所成角的正弦值為uuurr55PBn23（1）由二項(xiàng)式定理得aiC2ni1，T2a23a15a0；（2）Tn2n1C2nnC2nn2n1C2nn11C2nn122n1C2nn1，從而可獲取結(jié)論分析：由二項(xiàng)式定理