動(dòng)態(tài)幾何形成函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題

1、動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題.動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題.26/26動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題.數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而出色紛呈。動(dòng)向題是最近幾年來(lái)中考的的一個(gè)熱門(mén)問(wèn)題，以運(yùn)動(dòng)的看法研究幾何圖形的變化規(guī)律問(wèn)題，稱之為動(dòng)向幾何問(wèn)題，隨之產(chǎn)生的動(dòng)向幾何試題就是研究在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，陪伴著出現(xiàn)必定的圖形地址、數(shù)目關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運(yùn)動(dòng)對(duì)象而言，有點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)三大類，就其運(yùn)動(dòng)形式而言，有軸對(duì)稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對(duì)稱、轉(zhuǎn)動(dòng)）等，就問(wèn)題種類而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題、最值問(wèn)題、和差問(wèn)題、定值問(wèn)題和存在性問(wèn)題等。解這種題目要“以靜制動(dòng)”，即把動(dòng)向問(wèn)題

2、，變?yōu)殪o態(tài)問(wèn)題來(lái)解，而靜態(tài)問(wèn)題又是動(dòng)向問(wèn)題的特別狀況。以動(dòng)向幾何問(wèn)題為基架而精心設(shè)計(jì)的考題，可謂絢麗醒目、出色四射。動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題是動(dòng)向幾何中的基本問(wèn)題，其考點(diǎn)包含單動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題，雙（多）動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題，線動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題，面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題。在中考中，動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題命題形式主要有選擇題和解答題。其考點(diǎn)種類主要有兩類，一是依據(jù)條件求出函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式判斷函數(shù)圖象或求相應(yīng)變量的值；二是依據(jù)條件研究動(dòng)元素的變化趨向（特別地址）來(lái)判斷函數(shù)圖象。動(dòng)點(diǎn)變化的載體可以是三角形、特別四邊形或圓等平面圖形，也可以是直

3、線、雙曲線或拋物線等函數(shù)圖象。動(dòng)向幾何形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題的要點(diǎn)和難點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想正確地進(jìn)行分類。一.單動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題例1（依據(jù)條件求出函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)關(guān)系式判斷函數(shù)圖象）真題顯示：（2013年河北省3分）如圖，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE=EF=FB=5，DE=12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y=SEPF，則y與t的函數(shù)圖象大體是【】-1-ABCD思路點(diǎn)撥：從點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡分析，分三段考慮，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在DC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，分別求出y與t的函數(shù)表達(dá)式

4、，既而可得出函數(shù)圖象。考點(diǎn)分析：本題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和分類思想對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象進(jìn)行研究，依據(jù)梯形的性質(zhì)，應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)定義求出y與t的函數(shù)關(guān)系，依據(jù)一次函數(shù)（正比率函數(shù)）的圖象作出判斷。拓展延伸：改變已知條件，可使問(wèn)題獲取變形或延伸，如：變形1：將題干中的等腰梯形變形為同一底上的兩底角為特別角的梯形，把應(yīng)用勾股定理求兩腰長(zhǎng)變?yōu)閼?yīng)用等腰直角三角形和含30度角的直角坐標(biāo)三角形的性質(zhì)求兩腰長(zhǎng)：如圖，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE=EF=DE=5，F(xiàn)B=53，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y=SE

5、PF，則y與t的函數(shù)關(guān)系式為。-2-變形2：將題干中的y=SEPF變形為y=SAPF：如圖，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE=EF=FB=5，DE=12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DC-CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，y=SAPF，則y與t的函數(shù)關(guān)系式為。例2（依據(jù)條件研究動(dòng)點(diǎn)的變化趨向或特別地址來(lái)判斷函數(shù)圖象）真題顯示：（2013年北京市4分）如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長(zhǎng)為x，APO的面積為y，則以下圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大體是【】A.B.C.D.思路點(diǎn)撥：由所給的四個(gè)選項(xiàng)分析，應(yīng)用

6、特別元素法，依據(jù)當(dāng)AP=x=1時(shí)，APO的面積y的值來(lái)對(duì)選項(xiàng)作出選擇。滿分答題：如圖，當(dāng)AP=x=1時(shí)，APO為等邊三角形，它的面積y31，44此時(shí)，點(diǎn)（1，3）應(yīng)在y=1的一半與1之間，只有A選項(xiàng)符合。422-3-應(yīng)選A?？键c(diǎn)分析：本題應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想和特別元素法對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象進(jìn)行研究，根據(jù)等邊三角形的判斷和性質(zhì)，應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)所在地址作出判斷。拓展延伸：不改變已知條件，改變問(wèn)題的所求可使問(wèn)題獲取延伸，如：變形1：不改變已知條件，求使y最大時(shí)，x的取值：如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長(zhǎng)為x，APO的面積為y，則使y最大時(shí)，x的取值是【】A.1B.

7、1C.1D.224變形2：不改變已知條件，求使y等于一個(gè)值時(shí)，x的取值：如圖，點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，設(shè)弦AP的長(zhǎng)為x，APO的面積為y，則當(dāng)y=3時(shí)，x的取值是【】4A.1B.1或3D.3C.14例3（以直線、雙曲線或拋物線等函數(shù)圖象為載體，依據(jù)條件求函數(shù)關(guān)系式）真題顯示：（2013年廣西貴港11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yax2bxc交y軸于點(diǎn)C（0，4），對(duì)稱軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，極點(diǎn)為M，且DM=OC+OD1）求該拋物線的分析式；2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x

8、的取值范圍；3）在（2）的條件下，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E，能否存在以O(shè)、P、E為極點(diǎn)的三角形與OPD全等？若存在，央求出直線PE的分析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原由-4-思路點(diǎn)撥：（1）略。（2）當(dāng)點(diǎn)P在MP之間時(shí)，如答圖所示，作輔助線構(gòu)造梯形，利用SS梯形PEOCSCODSPDE求出S關(guān)于x的表達(dá)式；同理可合適點(diǎn)P在CM之間時(shí)，利用SS梯形PEOCSPDESCOD求出S關(guān)于x的表達(dá)式。求出拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，獲取自變量的取值范圍。（3）略。-5-考點(diǎn)分析：應(yīng)用分類思想，作輔助線，構(gòu)造梯形，應(yīng)用變換思想將所求面積變換為梯形面積與兩個(gè)直角三角形面積的關(guān)系來(lái)建立函數(shù)關(guān)系式；依據(jù)曲線

9、上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，構(gòu)造并解一元二次方程，求出自變量的取值范圍。拓展延伸：改變載體的范圍，可使問(wèn)題獲取拓展和延伸，如：變形1：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1x22x4交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x2軸交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍。變形2：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是該拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并求S的最大值：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y1x22x4交y軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x2軸交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P（

10、x，y）是該拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合），PCD的面積為S，（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（2）問(wèn)x為什么值時(shí)，S獲得的最大值，并求出最大值。二.雙（多）動(dòng)點(diǎn)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題-6-例4（已知函數(shù)圖象，依據(jù)圖象商討動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的性質(zhì)）真題顯示：（2013年四川南充3分）如圖（1），點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖（2）（曲線OM為拋物線的一部分），則以下結(jié)論

11、：AD=BE=5cm；當(dāng)0t5時(shí)，22；直線NH的分析式為y529y5tt27；若ABE與QBP相似，則t=24秒。此中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為【】A.4B.3C.2D.1思路點(diǎn)撥：從圖（2）可知，在點(diǎn)M時(shí)BPQ的面積開(kāi)始達(dá)到最大，此時(shí)兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了5秒鐘，對(duì)應(yīng)圖（1），點(diǎn)P、Q分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E、C處，結(jié)合速度都是1cm/秒，獲取BC=BE=5cm，而依據(jù)矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)即可得出正確的結(jié)論。當(dāng)0t5時(shí)，就是點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)，從而依據(jù)銳角三角函數(shù)定義把BPQ的高PF用t來(lái)表示，即可依據(jù)三角形面積公式求出BPQ的面積為y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，從而得出正確的結(jié)論。求出圖（2）中點(diǎn)N、C的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出

12、直線NH的分析式，從而得出錯(cuò)誤的結(jié)論。當(dāng)ABE與QBP相似時(shí)，點(diǎn)P在DC上，依據(jù)相似比列式即可求得t的值，從而得出正確的結(jié)論。滿分答題：依據(jù)圖（2）可得，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒，BC=BE=5cm。AD=BE=5，故結(jié)論正確。如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PFBC于點(diǎn)F，依據(jù)面積不變時(shí)BPQ的面積為10，可得AB=4。ADBC，AEB=PBF。-7-sinPBFsinAEBAB44t。BE。PF=PBsinPBF=55當(dāng)0t5時(shí)，y1BQPF1t4t2t2。故結(jié)論正確。2255依據(jù)57秒面積不變，可得ED=2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，面積變?yōu)?，此時(shí)點(diǎn)P走過(guò)的行程為BE

13、+ED+DC=11，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（11，0）。設(shè)直線NH的分析式為y=kx+b，將點(diǎn)H（11，0），點(diǎn)N（7，10）代入可得：511kb0，解得：k2。7kb1055b2直線NH的分析式為：555yt。故結(jié)論錯(cuò)誤。22如圖2，當(dāng)ABE與QBP相似時(shí)，點(diǎn)P在DC上，tanPBQ=tanABE=3，PQ3，即11t3。4BQ454解得：t=29。故結(jié)論正確。4綜上所述，正確，共3個(gè)。應(yīng)選B?？键c(diǎn)分析：對(duì)雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象的分析，正確使用分類思想，依據(jù)矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、相似三角形的性質(zhì)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，應(yīng)用待定系數(shù)法和上述幾何性質(zhì)求函數(shù)關(guān)系式，對(duì)各選項(xiàng)作出判斷。拓展延伸：改

14、變條件和結(jié)論，或改變研究的載體，可使問(wèn)題獲取變形和延伸，如：變形1：改變條件和結(jié)論，求y與t的函數(shù)關(guān)系式并研究相似三角形的存在性：如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，AB=4cm，AD=BE=5cm，ED=2cm，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，求y與t的函數(shù)關(guān)系式。變形2：改變研究的載體，依據(jù)圖形進(jìn)行研究：-8-如圖（1），點(diǎn)E為等腰梯形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P，點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BEEDDC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1

15、cm/s，設(shè)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖形如圖（2）（曲線OM、NH均為拋物線的一部分），則以下結(jié)論：AD=3cm；cosPBQ4；當(dāng)0t5時(shí)，5y2t2；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離為617。此中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為【】5A.4B.3C.2D.1例5（已知函數(shù)圖象，依據(jù)已知商討雙動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的性質(zhì)，并求函數(shù)關(guān)系式）真題顯示：（2013年江蘇連云港12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t秒）（0t5）以P為

16、圓心，PA長(zhǎng)為半徑的P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連接CD、QC（1）求當(dāng)t為什么值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？（2）設(shè)QCD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系，并求S的最大值？（3）若P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍。思路點(diǎn)撥：（1）依據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，依據(jù)點(diǎn)Q的速度表示出OQ，而后求出AQ，再依據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得ADC=90，再利用BAO的余弦表示出AD，而后列出方程求解即可。（2）利用BAO的正弦表示出CD的長(zhǎng)，而后分點(diǎn)Q、D重合前與重合后兩-9-種狀況表示出QD，再利用三角形的面積公式列式整理，而后依據(jù)二次函數(shù)的最

17、值問(wèn)題解答。（3）分點(diǎn)Q、D重合前和點(diǎn)Q、D重合后兩種狀況談?wù)摗．?dāng)點(diǎn)Q、D重合前，CQ與P相切前，P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，求出CQ與P相切時(shí)t的取值即可求得這一時(shí)間內(nèi)P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)的范圍；點(diǎn)Q、D重合后，P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)。綜合兩者即得結(jié)論。滿分答題：（1）A（8，0），B（0，6），OA=8，OB=6。ABOA2OB2826210。點(diǎn)Q的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，OQ=t。AQ=OAOQ=8t。P的直徑為AC，ADC=90。cosBAOADOA，即AD8，解得AD8t。ACAB2t105當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合時(shí)，AD=AQ，8t8t，解得t40。513當(dāng)t40時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合。9

18、（2）sinBAOCDOB，即CD66t。ACAB2t，解得CD105點(diǎn)Q、D重合前，即40時(shí)，0t13DQAQAD8t8t13t8，55QCD的面積為S1DQCD113t86t39t224t。225525539t224t248，當(dāng)t=20時(shí)，S有最大S39t2025525131313值為48。13點(diǎn)Q、D重合后，即40t5時(shí)，13DQADAQ8t8t13t8，55QCD的面積為S1DQCD113t86t39t224t。2255255S39t224t39t20248，當(dāng)40t5時(shí)，S隨t的增25525131313大而增大。-10-當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值為：S395224515。25539t22

19、4t0t40綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為S25513。39t224t40t5255131548，S的最大值為15。13（3）點(diǎn)Q、D重合前，即0t40時(shí)，CQ與P相切時(shí)t的值最大，此13時(shí)，CQAB，AQ=8t，BAO=QAC，AOB=ACQ=90，ACQAOB。ACAQ，即2t8t，解得t=16。OAAB8107P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為0t16。7點(diǎn)Q、D重合后，即40t5時(shí)，P與線段QC只有一個(gè)交點(diǎn)。13考點(diǎn)分析：依據(jù)勾股定理、圓周角定理和銳角三角函數(shù)定義列出方程求解即可解決問(wèn)題（1）；應(yīng)用分類思想分兩種狀況列二次函數(shù)分析式，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值而解決問(wèn)題（2）；依

20、據(jù)直線與圓的地址關(guān)系和相似三角形的判斷與性質(zhì)解決問(wèn)題（3）。拓展延伸：不改變已知條件，改變問(wèn)題的所求可使問(wèn)題獲取變換，如：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，6）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O、動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，分別沿著OA方向、AB方向均以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0t5）以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D，連接CD、QC1）當(dāng)t為什么值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？2）當(dāng)t為什么值時(shí)，DQ=2AD？3）求線段QC所在直線與P相切時(shí)t的值。-11-.線動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題例6：（直線平移形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）真題

21、顯示：（2013年甘肅天水12分）如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的分析式；（2）將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，獲取的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且NBO=ABO，則在（2）的條件下，求出全部滿足PODNOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）。思路點(diǎn)撥：（1）略。（2）依據(jù)已知條件可求出OB的分析式為y=x，則向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的分析式為：yxm因?yàn)閽佄锞€與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立分析式后獲取的一元二次方程，其根的鑒識(shí)式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)

22、。（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解：進(jìn)行翻折變換，將NOB沿x軸翻折，注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)以后，該點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)也滿足題意，即滿足題意的P點(diǎn)有兩個(gè)。還可以進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，將NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90求解。滿分答題：（1）拋物線的分析式是yx23x(過(guò)程略)。-12-（2）設(shè)直線OB的分析式為y=k1x，由點(diǎn)B（4，4），得：4=4k1，解得：k1=1。直線OB的分析式為y=x。直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的分析式為：yxm。點(diǎn)D在拋物線yx23x上，可設(shè)D（x，x23x）。又點(diǎn)D在直線yxm上，x23xxm，即x24xm0。拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，164m0，解得：m=4。此時(shí)x

23、1=x2=2，yx23x2。D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2）。3）直線OB的分析式為y=x，且A（3，0），點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，3）。依據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出ABO=ABO，設(shè)直線AB的分析式為yk2x3，過(guò)點(diǎn)（4，4），4k2+3=4，解得：k2=1。4直線AB的分析式是1yx3。4NBO=ABO，ABO=ABO，BA和BN重合，即點(diǎn)N在直線AB上。設(shè)點(diǎn)N（n，1n3）。4又點(diǎn)N在拋物線yx23x上，1n3n23n，解得：n1=3，n2=4（不合題44意，舍去）。N點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，45）。4161如圖，將NOB沿x軸翻折，獲取N1OB，則N1（3，-45），B1（4，4）。

24、416O、D、B1都在直線y=x上。由勾股定理，得OD=22，OB1=42，P1ODNOB，NOBN1OB1，-13-P1ODN1OB1。OP1OD221。ON1OB1422點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（3，-45）。8321245，3）。將OPD沿直線y=x翻折，可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P（328綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，-45）或（45，3）。832328考點(diǎn)分析：依據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，應(yīng)用待定系數(shù)法和平移的性質(zhì)求一次函數(shù)的分析式，依據(jù)拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的代數(shù)意義，應(yīng)用一元二次方程根的鑒識(shí)式求出m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；應(yīng)用分類思想，依據(jù)相似三角形的判斷與性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。拓

25、展延伸：改變運(yùn)動(dòng)的主體，可使問(wèn)題獲取變形，如：如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a0）經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)。（1）求拋物線的分析式；（2）將拋物線向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后，獲取的拋物線與直線OB只有一個(gè)公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)。例7：（曲線平移形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）真題顯示：（2013年遼寧大連3分）如圖，拋物線yx2bx9與y軸訂交于點(diǎn)A，2與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線訂交于點(diǎn)B（點(diǎn)B在第一象限）拋物線的極點(diǎn)C在直線OB上，對(duì)稱軸與x軸訂交于點(diǎn)D平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，則平移后的拋物線的分析式為-14-思路點(diǎn)撥：求出點(diǎn)A、D的坐標(biāo)，依據(jù)拋物線平移不改變形狀的性質(zhì)，應(yīng)用待定系

26、數(shù)法即可求出平移后的拋物線分析式。滿分答題：在yx2bx9中，令x=0，則y=9，點(diǎn)A（0，9），222依據(jù)題意，點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，OAB的中位線在對(duì)稱軸上。極點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為199。224449b29依據(jù)極點(diǎn)公式，得2，解得b=3，b=3。41412由圖可知，2b0，b0。b=3。1對(duì)稱軸為直線x=33。點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）。2122設(shè)平移后的拋物線的分析式為y=x2+mx+n，93n0m9則4m2。2，解得n9n922平移后的拋物線的分析式為yx29x9。22考點(diǎn)分析：依據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，依據(jù)三角形中位線定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，依據(jù)平移變換的性

27、質(zhì)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線分析式。拓展延伸：改變已知，可使問(wèn)題獲取變形，如：如圖，拋物線yx2bx9與y軸訂交于點(diǎn)A，與過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線訂交于點(diǎn)2B（點(diǎn)B在第一象限）拋物線的極點(diǎn)C在直線OB上，對(duì)稱軸與x軸訂交于點(diǎn)D。平移拋物線，使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，則平移后的拋物線的分析式為。-15-例8：（直線旋轉(zhuǎn)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）真題顯示：（2013年重慶市B4分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線yx上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線ABx軸。垂足為B，直線AB與直線yx交于點(diǎn)A，且BD=2AD，連接CD，直線CD與直線yx

28、交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。思路點(diǎn)撥：由圖形可知，要求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即求直線CD、OA的交點(diǎn)，因?yàn)橹本€OA已知，故只要求直線CD即可；要求直線CD，只要求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可。從而可作輔助線：過(guò)點(diǎn)P作EFx軸，交y軸與點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，從而求得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。-16-考點(diǎn)分析：經(jīng)過(guò)作輔助線，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，應(yīng)用全等三角形的判斷和性質(zhì)得出EP=DF，從而依據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，從而解方程組求得。拓展延伸：替代已知的等價(jià)條件，可使問(wèn)題不變，如：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線yx上一點(diǎn)P（1，1），C為y軸上一點(diǎn)，連接PC，線段PC繞點(diǎn)P

29、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)900至線段PD，過(guò)點(diǎn)D作直線ABx軸。垂足為B，直線AB與直線yx交于點(diǎn)A，且OB=2，連接CD，直線CD與直線yx交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。四.面動(dòng)形成的函數(shù)關(guān)系和圖象問(wèn)題例9（平面幾何中，面動(dòng)平移形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）-17-真題顯示：（2013年青海西寧3分）如圖，矩形的長(zhǎng)和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，假如此三角形的底和矩形的寬重合，而且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自右向左勻速運(yùn)動(dòng)至等腰三角形的底與另一寬重合。設(shè)矩形與等腰三角形重疊部分（陰影部分）的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大體應(yīng)為【】ABCD思路點(diǎn)撥：把動(dòng)向作靜態(tài)來(lái)對(duì)待，矩形與

30、等腰三角形重疊部分（暗影部分）除開(kāi)始和結(jié)束外是等腰梯形，要求它的的面積y與重疊部分圖形的高為x的函數(shù)圖象，因?yàn)橄碌妆囟?，高為x，故只要把上底用x來(lái)表示即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式從而判斷出函數(shù)的圖象。從而，如圖，連接IE，由EGHECD可求得上底GH關(guān)于x的表達(dá)式，問(wèn)題得到解決。滿分答題：如圖，連接IE，依據(jù)題意，CD=3，EF=4，F(xiàn)I=x，EI=4x，易得，EGHECD，GHEI，即GH4x。GH34x33x。CDEF3444y1GHCDFI133x3x3x23x0 x4。2248y關(guān)于x的函數(shù)圖象是拋物線在0 x4的一段，且當(dāng)x=4時(shí)，y=6。應(yīng)選B。考點(diǎn)分析：經(jīng)過(guò)作輔助線，依據(jù)相似三角

31、形的判斷和性質(zhì)表示出上底的長(zhǎng)，即可依據(jù)梯形面積公式求出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，依據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)作出判斷。-18-拓展延伸：改變條件和結(jié)論，可使問(wèn)題獲取變形和延伸，如：變形1：改變自變量x的定義，求y與x的函數(shù)關(guān)系式：如圖，矩形的長(zhǎng)和寬分別是4和3，等腰三角形的底和高分別是3和4，假如此三角形的底和矩形的寬重合，而且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自左向右勻速運(yùn)動(dòng)至等腰三角形的底與另一寬重合。設(shè)矩形與等腰三角形重疊部分（暗影部分）的面積為y，等腰三角形自左向右運(yùn)動(dòng)的距離為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為。變形2：改變動(dòng)向的主體，使問(wèn)題獲取變形：如圖，矩形的長(zhǎng)和寬分別是3和2，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2，

32、假如此三角形的一邊和矩形的寬重合，而且沿矩形兩條寬的中點(diǎn)所在的直線自右向左勻速運(yùn)動(dòng)至與另一寬重合。設(shè)矩形與等邊三角形重疊部分（暗影部分）的面積為y，重疊部分圖形的高為x，那么y關(guān)于x的函數(shù)圖象大體應(yīng)為【】ABCD例10（直角坐標(biāo)系中，面動(dòng)平移形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）真題顯示：（2013年湖北宜昌12分）如圖1，平面之間坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線y1axxt（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k-19-為常數(shù)，k0）（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A，k=；

33、（2）跟著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=1時(shí)：4請(qǐng)你考據(jù)：拋物線y1axxt的極點(diǎn)在函數(shù)y1x2的圖象上；4當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）直線OA與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)txt+4，y2y1的值隨x的增大而減小，當(dāng)xt+4時(shí)，y2y1的值隨x的增大而增大，求a與t的關(guān)系式及t的取值范圍思路點(diǎn)撥：（1）依據(jù)題意易得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)C的相同，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即是線段AC的長(zhǎng)度；把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線OA的分析式來(lái)求k的值。（2）求得拋物線y1的極點(diǎn)坐標(biāo)，而后把該坐標(biāo)代入函數(shù)y1x2，若該4點(diǎn)滿足函數(shù)分析式y(tǒng)1x2，即表示該極點(diǎn)在函數(shù)y1x2圖象上；反之，該極點(diǎn)不在函數(shù)44y1x2圖象上。4

34、如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EKx軸于點(diǎn)K則EK是ACB的中位線，因此E的坐標(biāo)，把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入拋物線y11t依據(jù)三角形中位線定理易求點(diǎn)xx即可求得4t=2。（3）如圖2，依據(jù)拋物線與直線訂交可以求得點(diǎn)D橫坐標(biāo)是4t，則at4t22t22t4t，由此可以求得a與t的關(guān)系式。由y2y1axa求得at2at2aty2t24y1獲得最小值0，得出y1獲得最大值時(shí)的x值x，同時(shí)由xt時(shí)，y22atat當(dāng)t2x4t時(shí)，y2y1的值隨x的增大而減小，當(dāng)x4t時(shí)，y2y1的值隨2atatat-20-x的增大而增大。從而由題意，得tt21，求出t的取值范圍。2，結(jié)合atat滿分答題：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊A

35、C=4，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（t，4）。4直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k0），4=kt，則k（k0）。t1時(shí)，y11xt12tx，其極點(diǎn)坐標(biāo)為tt2（2）當(dāng)a=xx，。4442161x2，當(dāng)x=t2關(guān)于y時(shí)，y1tt2。424216點(diǎn)t，t2在拋物線y1x2上。2164當(dāng)a=1時(shí)，拋物線y1axxt的極點(diǎn)在函數(shù)y1x2的圖象44上。如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EKx軸于點(diǎn)K，ACx軸，ACEK。點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，K為BC的中點(diǎn)。EK是ACB的中位線。EK=1AC=2，CK=1BC=2。E（t+2，2）。22點(diǎn)E在拋物線y11xxt上，41t2t2t2，解得t=2。4當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，t=2。

36、4yx4（3）如圖2，由t得xaxxt，yaxxt解得x4t，或x=0（不合題意，舍去）。at點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是4t。at當(dāng)4t時(shí)，xy2aty1=0由題意得t44t，即at1。at-21-又22y2y14xaxxtax2at4xaxt2at2，tt2at2at當(dāng)xt2時(shí)，y2y獲得最大值。2at1又當(dāng)x4t時(shí)，y2y1獲得最小值0，at當(dāng)t2x4t時(shí)，y2y1的值隨x的增大而減小，當(dāng)2atat4t時(shí)，y2y1的值隨x的增大而增大。xat由題意，得tt2，將at1代入得tt2，解得t4。2at2綜上所述，a與t的關(guān)系式為at1，t的取值范圍為t4?？键c(diǎn)分析：依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而應(yīng)用

37、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系求出k的值；由二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線y1的極點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系考據(jù)拋物線y1axxt的極點(diǎn)在函數(shù)y1x2的圖象上；依據(jù)平行的判斷和三角形4中位線的性質(zhì)即可求t的值；相同依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系可列式求解方程組獲取a與t的關(guān)系式和t的取值范圍。拓展延伸：改變條件，可使問(wèn)題獲取變形，如：如圖，平面之間坐標(biāo)系中，RtABC的ACB=90o，CAB=30o，直角邊BC在x軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（t，0），直角邊AC=23，經(jīng)過(guò)O，C兩點(diǎn)做拋物線y1axxt（a為常數(shù)，a0），該拋物線與斜邊AB交于點(diǎn)E，直線OA：y2=kx（k

38、為常數(shù)，k0）（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)及k的值：A，k=；（2）跟著三角板的滑動(dòng)，當(dāng)a=1時(shí)：請(qǐng)你考據(jù)：拋物線y1axxt的極點(diǎn)在函數(shù)yx2的圖象上；當(dāng)三角板滑至點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求t的值。-22-例11（平面幾何中，面動(dòng)旋轉(zhuǎn)形成的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題）真題顯示：（2011年廣東省9分）如圖（1），ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90o，固定ABC，將DEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中斷?，F(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開(kāi)始和結(jié)束時(shí)重合的狀況，設(shè)DE，DF(或它們的延伸線)分別交BC(或它的延伸線)于G，H點(diǎn)，如圖(2)（1）問(wèn)：一直與AGC相似的三角形有及；（2）設(shè)CG=x，BH=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（只要求依據(jù)圖（2）的情況說(shuō)明原由）（3）問(wèn)：當(dāng)x為什么值時(shí)，AGH是等腰三角形。思路點(diǎn)撥：（1）要求一直與AGC相似的三角形，依據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的判斷，由等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形外角定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AGC和HAB、HGA各有兩組對(duì)應(yīng)角相等，從而得出結(jié)論。（2）利用AGCHAB得對(duì)應(yīng)邊的比即可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。（3）考慮GAH是等腰三角形底角和頂角兩種狀況分別求解即可。滿分答題：（1）在AGC和HAB中，00AGC=B+BAG=B+90GAC=135GAC，BAH=BAC+E