5講條件概率與乘法規(guī)則

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第五講8/27/20221條件概率乘法法則8/27/20222 條件概率是概率論中一個(gè)重要而實(shí)用的概念，通俗的講，條件概率是事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。 先來(lái)看兩個(gè)例子。8/27/20223例1 100個(gè)產(chǎn)品中有60個(gè)一等品, 30個(gè)二等品, 10個(gè)廢品. 規(guī)定一,二等品都是合格品.試驗(yàn): 從100個(gè)產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)假設(shè): A,B為抽到的是一,二等品, C為抽到的是合格品, 則C=A+B則一等品率為P(A)=60/100, 二等品率為P(B)=30/100. 合格率為P(C)=90/100如果改變?cè)囼?yàn)為: 從合格品中任抽一件, 則合格品中的一等品率為P(A|C)=6

2、0/90.8/27/20224例2 丟一顆均勻的骰子，B： “奇數(shù)點(diǎn)” ，A：“點(diǎn)數(shù)大于1”，則P(B)=3/6, P(A)=5/6 若將這顆骰子丟下后，告訴你一個(gè)“點(diǎn)數(shù)大于1”的信息，再考慮“是奇數(shù)點(diǎn)”的概率，即“已知A(點(diǎn)數(shù)大于1)發(fā)生的條件下，求B(奇數(shù)點(diǎn))的概率”，這就是條件概率，記為：P(B|A)。8/27/20225一、條件概率1定義 在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下, 事件B發(fā)生的概率, 稱為事件B在給定A下的條件概率, 簡(jiǎn)稱為B對(duì)A的條件概率, 記作P(B|A) 相應(yīng)地, 把P(A)稱為無(wú)條件概率. 這里, 只研究作為條件的事件A具有正概率即P(A)0的情況.8/27/20226 條件

3、概率，一理解；二計(jì)算 例2：丟一顆均勻的骰子，B :“奇數(shù)點(diǎn)” ，A :“點(diǎn)數(shù)大于1”。 方法1：由定義來(lái)計(jì)算 AB=奇數(shù)點(diǎn)且大于1=3,5,P(AB)=2/6,則 方法2：“改變樣本空間”法 將這顆骰子丟下后，樣本空間是S=1,2,3,4,5,6，準(zhǔn)備在S的基礎(chǔ)上計(jì)算“奇數(shù)點(diǎn)”的概率，當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)信息A:“點(diǎn)數(shù)大于1”,則轉(zhuǎn)而在新樣本空間A=2,3,4,5,6的基礎(chǔ)上計(jì)算，在A的5個(gè)元素中，有2個(gè)奇數(shù)，于是P(B|A) =2/5.8/27/20227條件概率:樣本空間的壓縮或者可以認(rèn)為是基本事件的減少而導(dǎo)致的試驗(yàn). 以事件B為條件的條件概率, 意味著在試驗(yàn)中將B提升為必然事件.SBBS 8/2

4、7/20228例3 市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中, 甲廠的產(chǎn)品占70%, 乙廠占30%, 甲廠產(chǎn)品的合格率是95%, 乙廠的合格率是80%, 若用事件A,A分別表示甲乙兩廠的產(chǎn)品, B表示產(chǎn)品為合格品, 試寫出有關(guān)事件的概率和條件概率。解 依題意注: 在解題過(guò)程中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是將條件概率寫成無(wú)條件概率!8/27/20229例4 全年級(jí)100名學(xué)生中, 有男生(以事件A表示)80人, 女生20人, 來(lái)自北京的(以事件B表示)有20人, 其中男生12人,女生8人,免修英語(yǔ)的(用事件C表示)40人中有32名男生,8名女生,求P(A)，P(B)， P(B|A)， P(A|B)，P(AB)， P(C) ，P(C|A

5、) 解：P(A)=80/100=0.8P(B)=20/100=0.2P(B|A)=12/80=0.15P(A|B)=12/20=0.6P(AB)=12/100=0.12P(C)=40/100=0.48/27/202210因此, 在概率論中把某一事件B在給定另一事件A(P(A)0)下的條件概率P(B|A)定義為乘法法則 P(AB)=P(A)P(B|A) (若P(A)0) P(AB)=P(B)P(A|B) (若P(B)0)8/27/202211n個(gè)事件A1,A2,An的乘法公式為: P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)證明略。8/27/20

6、2212 無(wú)論是兩個(gè)事件的乘法公式還是多個(gè)事件的乘法公式都是非常重要的。 通常, P(A|B) 好算, P(AB)往往不好算. 8/27/202213再回到例3 市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中, 甲廠產(chǎn)品(A)占70%, 乙廠(A)占30%, 甲廠產(chǎn)品合格率是95%, 乙廠合格率是80%, B表示產(chǎn)品為合格品。解 依題意8/27/202214例5 10個(gè)考簽中有4個(gè)難簽, 3人參加抽簽(不放回), 甲先, 乙次, 丙最后, 求甲抽到難簽, 甲,乙都抽到難簽, 甲沒(méi)抽到難簽而乙抽到難簽以及甲,乙,丙都抽到難簽的概率.解 設(shè)事件A,B,C分別表示甲乙丙各抽到難簽8/27/202215古典概型的方法：用這種思路

7、可以知道P(B)和P(C)也都是4/108/27/202216 事實(shí)上, 即使這十張難簽由10個(gè)人去抽, 因?yàn)槠渲杏?張難簽, 因此每個(gè)人抽到難簽的概率都是4/10, 與他抽的次序無(wú)關(guān). 正如十萬(wàn)張彩票如果只有10個(gè)特等獎(jiǎng), 則被十萬(wàn)個(gè)人去抽, 無(wú)論次序如何, 每個(gè)人的中獎(jiǎng)概率都是十萬(wàn)分之十, 即萬(wàn)分之一.這在概率論中叫抽簽原理. 8/27/202217例如(考研題,3分) 一批產(chǎn)品有10個(gè)正品和2個(gè)次品, 任意抽取兩次, 每次抽一個(gè), 抽出后不放回, 則第二次抽出的是次品的概率為_(kāi).因產(chǎn)品總數(shù)是12, 次品數(shù)是2, 因此答案是2/12.(考研題,3分)袋中有50個(gè)乒乓球, 其中20個(gè)是黃球,

8、 30個(gè)是白球. 今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球, 取后不放回, 則第2個(gè)人取得黃球的概率是_.因共有50個(gè)乒乓球, 20個(gè)黃球, 因此答案是2/5.8/27/202218例6 甲乙兩選手進(jìn)行乒乓球單打比賽, 甲發(fā)球成功后, 乙回球失誤的概率為0.3, 若乙回球成功, 甲回球失誤的概率為0.4, 若甲回球成功, 乙再回球時(shí)失誤的概率為0.5, 試計(jì)算這幾個(gè)回合中, 乙輸?shù)粢环值母怕?解 設(shè)Ai為甲在第i回合發(fā)(回)球成功的事件, Bi為乙在第i回合回球成功的事件(i=1,2), A為兩個(gè)回合中乙輸?shù)粢环值氖录? 則8/27/202219則因8/27/202220例7 5人以摸彩方式?jīng)Q定誰(shuí)得1

9、張電影票. 今設(shè)Ai表示第i人摸到(i=1,2,3,4,5), 則下列結(jié)果中有1個(gè)不正確, 它是( )8/27/202221解.則P(A3|A1A2)是指在前兩個(gè)人沒(méi)有抽到條件下第3個(gè)人抽到的事件, 則第3個(gè)人抽時(shí)只有三張彩票, 則抽中的條件概率當(dāng)然是1/3. 因此選項(xiàng)(A)正確. 此外, 每個(gè)人抽中的無(wú)條件概率顯然是1/5, 因此選項(xiàng)(D)正確. 選項(xiàng)(B)和(E)可由乘法法則求得為因此選項(xiàng)(C)不正確, 答案為(C)8/27/202222 小結(jié)1 條件概率有兩種計(jì)算方法：“定義計(jì)算”和“改變樣本空間”法，簡(jiǎn)單的條件概率可由第二種方法直接得到，較復(fù)雜的用定義計(jì)算。2 乘法公式是利用條件概率計(jì)

10、算交事件的概率： P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)乘法公式推廣到3個(gè)事件： P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)乘法公式推廣到n個(gè)事件：P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2A1) P(An|An-1.A1) 乘法公式是普遍成立的，只要作為“條件的事件”的概率不等于零即可。8/27/202223 在實(shí)際問(wèn)題中哪些是條件概率，條件是什么，要根據(jù)具體問(wèn)題去理解，看清具體隨機(jī)試驗(yàn)的過(guò)程，一步一步的先后次序、步與步之間是否有影響。在初學(xué)階段，盡可能用字母A,B去表示事件，進(jìn)而表示概率，這有助于對(duì)事件關(guān)系的理解及對(duì)概率及條件概率的理解。3 對(duì)P(C|A)和P(AC)的區(qū)別，要根據(jù)具體問(wèn)題去理解。如“甲廠產(chǎn)品的次品率”，這要理解為：產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的條件下的次品率，是條件概率P(C|A)；而“甲廠的次品”的概率，應(yīng)理解為產(chǎn)品既是甲廠生產(chǎn)的，又是次品的概率，是交事件的概率P(AC)。8/27/2022244 條件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)中的A和B是事件，可以是簡(jiǎn)單事件，也可以是有幾個(gè)事