利用“圓”的性質(zhì)巧解物理問題

1、高考將應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題作為重點考察才能之一，要求考生可以根據(jù)題目列出物理量之間的數(shù)學(xué)模型，然后進(jìn)展推導(dǎo)求解問題。常見的處理物理問題的方法主要有圖像法、幾何圖形法、極值法、函數(shù)關(guān)系，以及空間的向量坐標(biāo)運算方法等，在解題中，假設(shè)正確利用圓的性質(zhì)，可將復(fù)雜的物理問題簡單化，從而進(jìn)步解題的效率。本文通過幾個實例，簡要說明如何利用圓的性質(zhì)巧解物理問題。一、等時圓模型求解物體運動問題在豎直平面內(nèi)質(zhì)點從半徑為R的圓上任一點位置從靜止開始沿光滑軌道，運動到最低點的時間都相等，與軌道的傾斜程度和長度都無關(guān)，這樣的圓稱為等時圓。例1如圖1所示，A，B，D，E位于同一豎直圓周上，其中AE是豎直圓的直徑。AB

2、，A，AD都是光滑軌道。一小球從A點靜止開始，分別沿AB，A，AD軌道向下滑動，到達(dá)B、D點的時間分別為t1，t2，t3，證明：t1=t2=t3。證明：設(shè)A與程度方向夾角為，圓的直徑為AE=d。根據(jù)物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速運動，加速度a=gsin，位移為s=dsin，所以運動時間t2=2sa=2dsingsin=2dg=2Rg，依此類推可知t1=t2=t3。由此可見，物體下滑時間與傾斜程度和長度無關(guān)，只與圓的半徑和重力加速度有關(guān)。沿不同軌道運動的時間都相等，且等于小球沿半徑自由落體的時間。將上述結(jié)論直接用于解題，往往能將題目簡單化，下面利用等時圓結(jié)論求解難題。例2運用等效、類比自建等時

3、圓如圖2所示，A、B兩點在同一直線上，相距為h，B點間隔 地面高度為H，試在地面尋找一點P，使得物體沿著AP，BP兩塊光滑木板，從靜止開始下滑到P點的時間相等，并求，P之間的間隔 P。解析：根據(jù)上述等時圓的性質(zhì)可知，當(dāng)A，B位于豎直同一圓周上，P點位于等時圓的最低點時，物體沿著AP，BP下滑到P點的時間相等。如圖3所示，等時圓的半徑為R=1P=H+12h，那么有P=R2-h22=H+h22-h22=HH+h。在求解此類問題的時候，還應(yīng)該考慮在豎直圓上從最高點運動到最低點的時間都相等，那么在球體中的運動時間是否也會相等，雖然書本上沒有，但通過題目推導(dǎo)出來的結(jié)論，同樣也可以用來求解同類型的題目。例

4、3形似質(zhì)異問題的區(qū)分如圖4所示，圓柱體的倉庫內(nèi)有三塊長度不同的滑板分別為a，b，滑板一端固定于圓柱體底部圓心處，一端位于圓柱體側(cè)壁。三塊滑板與程度面夾角分別為30，45，60，假設(shè)物體分別從a，b，處開始下滑不計阻力，那么有。A.a處物體最先到達(dá)點B.b處物體最先到達(dá)點.處物體最先到達(dá)點D.a，b，處物體同時到達(dá)點解析：三個物體雖然從同一圓柱面滑下，但a，b，三點不在同一豎直圓內(nèi)，因此，三者到達(dá)點時間不一定不相等。設(shè)圓柱體底面半徑為R，那么有Rs=12gt2sin，t2=4Rgsin2，因此，當(dāng)=45時，sin2最大，此時t最校當(dāng)=30或=60時，sin2相等。二、利用圓的性質(zhì)求解電磁場問題帶

5、電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動是高中物理的又一大難點，也是高考的熱點。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動問題，綜合性比較強(qiáng)，求解此類問題離不開洛倫磁力，同樣離不開圓的性質(zhì)：圓的方程為x2+y2=R2，圓周上所有點到圓心的間隔 都相等為R，圓的兩條切線夾角平分線必過圓心，圓心角大小是弦切角的2倍等。同時還要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何和解析幾何知識。例4如圖5所示，一束粒子電荷量為e以速度v垂直攝入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場中，穿出磁場時速度方向與射入方向的夾角為30，求電子質(zhì)量和穿透勻強(qiáng)磁場的時間。解析：由于洛倫磁力總是垂直于速度方向，題目中帶電粒子的兩個速度方向，就可以做出兩速度的垂線，找出垂線的交點

6、即為帶電粒子做勻速圓周運動的圓心。電子在磁場中只受洛倫磁力作用，其運動軌跡是圓弧的一部分，又因為洛倫磁力垂直于速度，即Fv，故圓心為電子穿入和穿出磁場時受到洛倫磁力的交點，即點。根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)可知，D=30，D為半徑，那么有r=dsin30=2d，又因為r=vBe，可得到=2dBev，穿越時間t=T12，故t=1122eB=d3v。由此可見，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場的勻速圓周運動與粒子的速率和半徑無關(guān)，只與粒子本身的質(zhì)量、電荷量及磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度有關(guān)。求解此類問題的關(guān)鍵是通過入、出磁場兩點的速度方向畫出勻速圓周運動的軌跡，利用幾何知識確定圓的圓心及半徑，從而找到圓弧所對應(yīng)的圓心角。再根據(jù)圓心角與圓

7、周角的關(guān)系確定帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動時間。三、利用圓的性質(zhì)求解力的合成問題利用圓的半徑相等的性質(zhì)，可以保證在矢量方向改變時大小不變。利用同一段圓弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，可以保證矢量的大小無論如何改變其夾角不變。這些性質(zhì)主要用于力的合成與分解等難題中。例5如圖6所示，位于平面直角內(nèi)的N可繞點旋轉(zhuǎn)，用兩根細(xì)線拉住一個小球，開始時繩A與平行，然后將直角支架順時針旋轉(zhuǎn)90，假設(shè)繩A的拉力為F1，繩B的拉力為F2，那么。A.F1一直增大B.F1先增大后減小.F2一直減小D.F2先減小后增大解析：F1和F2在旋轉(zhuǎn)過程中方向和大小不斷變換，但由于小球所受合力為0。畫出小球所受各力的合成矢量圖，如圖7所示，F(xiàn)1和F2的合力不變，等于小球重力，方