采樣周期的選取

1、8-1采樣周期的采用8-1-1采樣定理采樣定理也稱香農(nóng)(Shannon)定理,其結(jié)論如下:如果采樣角頻次s(或頻次fs)大于或等于2m(或2fm),即s2m(8-1)式中m(或fm)是連續(xù)信號(hào)頻譜的上限頻次,見圖8-1,則經(jīng)采樣獲得的脈沖序列能無失真的再恢復(fù)到原連續(xù)信號(hào).|(j)|-m0m圖8-1連續(xù)信號(hào)頻譜從物理意義上來理解采樣定理那就是,如果選擇這樣一個(gè)采樣頻次,使得對(duì)連續(xù)信號(hào)所含的最高頻次來說,能做到在其一個(gè)周期內(nèi)采樣兩次以上,則在經(jīng)采樣獲得的脈沖序列中將包含連續(xù)信號(hào)的全部信息.反之,如果采樣次數(shù)太少,即采樣周期太長,那就做不到無失真的再現(xiàn)原連續(xù)信號(hào).8-1-2采樣周期的采用采樣周期T0

2、是數(shù)字控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)重點(diǎn)因素,必須恩賜充分注意.工程實(shí)踐證明,采樣周期T0根據(jù)表8-1給出的參照數(shù)據(jù)采用時(shí),能夠取得滿意的控制效果.對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng),采樣周期的采用在很大程度上取決于系統(tǒng)的性能指標(biāo).在一般情況下,控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻次響應(yīng)擁有低通濾波特性,當(dāng)隨動(dòng)系統(tǒng)輸入信號(hào)的頻次高于其閉環(huán)幅頻特性的諧振頻次r時(shí),信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)將會(huì)很快衰減,而在隨動(dòng)系統(tǒng)中,一般可近似認(rèn)為,開環(huán)頻次響應(yīng)幅頻特性的剪切頻次c與閉環(huán)頻次響應(yīng)幅頻特性的諧振頻次r相當(dāng)湊近,即幅頻特性的諧振頻次.也就是說,經(jīng)過隨動(dòng)系統(tǒng)的控制信號(hào)的最高頻次分量,超過的分量經(jīng)過系統(tǒng)時(shí)將被大幅度的衰crcc減掉.根據(jù)工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),隨動(dòng)系統(tǒng)的采樣頻次s

3、可選為10sc(8-2)考慮到T=2/,則按式(8-2)采用的采樣周期0sT與系統(tǒng)剪切頻次0的關(guān)系為c1T05c(8-3)從時(shí)域性能指標(biāo)來看,采樣周期T0經(jīng)過單位階躍響應(yīng)的上漲時(shí)間tr及調(diào)整時(shí)間ts可按下列經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式采用,即T01tr(8-4)10T01ts40(8-5)8-2信號(hào)保持表8-1采樣周期T0的參照數(shù)據(jù)信號(hào)保持是指將離散信號(hào)脈沖序列變換成(或恢復(fù)到)連續(xù)信號(hào)的變換過程.用于控制過程采樣周期(s)流量1壓力5液面5這種變換過程的元件稱為保持器.從數(shù)學(xué)意義上來講,保持器的任務(wù)是解決各采樣時(shí)刻之間的插值問題.8-2-1零階保持器零階保持器是在數(shù)字控制系統(tǒng)中應(yīng)用最寬泛的且擁有常值外推功能的

4、保持器,用符號(hào)H0來表示.也就是說,對(duì)于零階保持器有下式建立,即nT0p式中p為常值,的變化范圍是0T0.顯然,在=0時(shí),式(8-6)也建立,這時(shí)有nT00由式(8-6)及(8-7)求得nT0nT0,0T0(8-8)說明零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器.它把前一個(gè)采樣時(shí)刻nT0的采樣值(nT0)不增不減的保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T0到來以前的一瞬間.當(dāng)下一個(gè)采樣時(shí)刻(n+1)T0到來時(shí),應(yīng)以(n+1)T0為常值持續(xù)外推.也就是說,任何一個(gè)采樣時(shí)刻的采樣值只能作為常值保持到下一個(gè)相鄰的采樣時(shí)刻到來以前,其保持時(shí)間顯然是一個(gè)為采樣周期T0.零階保持器的輸出信號(hào)H(t)如圖8-2所示零階

5、保持器的時(shí)域特性gH(t)如圖8-3(a)所示,它是高度為1,寬度為T0的方脈沖.高度等1,說明采樣值經(jīng)過保持器既不放大,也不衰減;寬度等于T0,說明零階保持器對(duì)采樣值只能不增不減地保持一個(gè)采樣周期.由圖求得零階保持器的傳達(dá)函數(shù)GH(s)為由式求得零階保持器的頻次響應(yīng)為1eT0s從圖GHs,它并不等于采樣前8-2看到,經(jīng)由零階保持器變換獲得的連續(xù)信號(hào)擁有階梯形狀sinT0sj0的連續(xù)信號(hào)(t).平均地看,由零階保持器轉(zhuǎn)T換獲得的連續(xù)信號(hào)(圖8-2中的點(diǎn)劃線特性)在GHsT02e20時(shí)間上要遲后于采樣前的連續(xù)信號(hào).式表示,這個(gè)遲后時(shí)間等于采樣周期的一半,即T/2.8-2-2一階保持器T02(nT

6、0)與(n+1)T0按線性外推規(guī)律保持脈沖序一階保持器是一種鑒于兩個(gè)采樣值列(t)的保持器.線性外推函數(shù)的斜率為,而外推函數(shù)值為*nT0n1T0T0nT0nT0n1T0nT0T0式中=t-nT0;nT0t(n+1)T0.鑒于線性外推規(guī)律獲得的一階保持器的輸出信號(hào)(t)示于圖8-4.根據(jù)輸出信號(hào)HH(t)可求取一階保持器的時(shí)域特性gH(t),并由時(shí)域特性gH(t)求得相應(yīng)的頻次響應(yīng)為T022sin2jT0arctgT0GHjT01T0eT02從式(8-12)可見,一階保持器的遲后相移較零階保持器的遲后相移為大,其平均相移約等于零階保持器平均相移的兩倍.因此,數(shù)字控制系統(tǒng)普遍采用零階保持器.(8-

7、6)(8-7)(8-8)(8-9)(8-10)8-3Z變換8-3-1Z變換1.設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)可進(jìn)行拉氏變換,其象函數(shù)為X(s).考慮到t1,則上式可寫成下列閉式,即1z1z1z2zn1z1z1z1z1(8-18)因?yàn)槭街?Res,所以條件|z|1意味著0.這也就是單位階躍函數(shù)能進(jìn)行拉氏變換的條件.zeT0seT0部分分式法設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換X(s)為復(fù)變量s的有理函數(shù),并擁有如下形式:MsXsNs其中M(s)及N(s)分別為復(fù)變量s的多項(xiàng)式,并且有degM(s)degN(s),以及degN(s)=n.將X(s)展開成部分分式和的形式,即nAiX(s)i1ssi式中siN(

8、s)的零點(diǎn),即X(s)的極點(diǎn);AMssidiN為s常系數(shù);NiNdsissi由拉氏變換知,與Ai/(s+si)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)Aiesit,又根據(jù)式Zet1T1zT1e0zze0ZAiAizsizesiT0s便可求得因此,函數(shù)x(t)的Z變換由相函數(shù)X(s)求得為(8-20)例2.試求取擁有拉氏變換為/s(s+)的連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換.XznAizi1zesiT0解首先寫出x(t)的拉氏變換X(s)的部分分式展開式,即Xs11ssss其次對(duì)上式逐項(xiàng)求取拉氏變換,獲得最后根據(jù)上列時(shí)間函數(shù)逐項(xiàng)寫出響應(yīng)的Z變換,即得連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的變換,即XzzzeTz1eT0 x(t)1(t)2T0T

9、0z1zeT01ezez留數(shù)計(jì)算法已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的拉氏變換相函數(shù)X(s)及其全部極點(diǎn)si(i=1,2,n),則x(t)的Z變換可經(jīng)過下列留數(shù)計(jì)算式求得,即nzXzresXsizesiT0i1n1dri1riXszssii1ri1!dsri1zesT0ssi式中ri重極點(diǎn)si的個(gè)數(shù);n彼此不等的極點(diǎn)個(gè)數(shù).常用時(shí)間函數(shù)的Z變換及其相應(yīng)的拉氏變換列入表8-1.例3.試求取連續(xù)時(shí)間函數(shù)0,t0 x(t)t,t0Z變換.首先寫出x(t)的拉氏變換,即X(s)1s2由上式求得X(s)的重極點(diǎn)si=0,其個(gè)數(shù)ri=2,以及n=1.其次根據(jù)式(8-22)求取的Z變換,即(8-23)8-3-2Z變換的

10、基本定理1d1z(1)線性定理02Xzs2sT設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t),x(t)及x(t)的Z變換分別為X(z),X(z)及X(z),0并設(shè)為常數(shù)或與1221!dss1zes02時(shí)間t及復(fù)變量z,則有T0zzZ2xtXz1(8-24)Zx1tx2tX1zX2z(8-25)(8-24)及(8-25)所表達(dá)的便是Z變換的線性定理.遲后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)當(dāng)t0時(shí)為零,且擁有Z變換,則有ZxtkT0zkXz(8-26)式(8-26)所示為Z變換的遲后定理,它說明當(dāng)原函數(shù)x(t)在時(shí)間上產(chǎn)生k個(gè)采樣周期(kT0)的遲后時(shí),其相應(yīng)的Z變換擁有經(jīng)過z-k表示的k步負(fù)偏移或k步遲后.終值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函

11、數(shù)x(t)的Z變換為X(z),并設(shè)X(z)不含z=1的二重以上極點(diǎn),以及在z平面單位圓外無極點(diǎn),則x(t)的終值經(jīng)過其Z變換X(z)求之為limxtlimz1Xztz1(8-27)式(8-27)所表達(dá)的便是Z變換的終值定理.8-3-3Z反變換長除法將連續(xù)時(shí)間函數(shù)x(t)的Z變換X(z)展開成z-1的無窮級(jí)數(shù),即Xzx0 xT0z1x2T0z2xnT0zn(8-28)設(shè)象函數(shù)X(z)為復(fù)變量z的有理函數(shù),即式中XMzMzb1z2bzm;bzbz012NzmNza0a1z1a2z2akzk;km.經(jīng)過分子多項(xiàng)式M(z)除以分母多項(xiàng)式N(z)的長除法,可獲得擁有式(8-28)所示形式的無窮級(jí)數(shù).級(jí)數(shù)

12、中z-n項(xiàng)系數(shù)x(nT0)(n=0,1,2,)將是采樣脈沖序列x*(t)的脈沖強(qiáng)度.因此,根據(jù)x(nT0)(n=0,1,2,)便可寫出原函數(shù)x*(t),即x*txnT0tnT0n0注意應(yīng)用長除法求取式(8-28)所示無窮級(jí)數(shù)時(shí),多項(xiàng)式M(z)及N(z)均需寫成z-1的升冪形式.例4試求取的反變換x*(t).解由Xz10zz1z2應(yīng)用長除法求得Xz10z130z270z3150z4Xz10z10z1z1z213z12z2比較式(8-28),由上獲得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70因此,脈沖序列x*(t)可寫成xt10tT030t2T070t3T0150t4T0部分

13、分式法由已知的象函數(shù)X(z)求出極點(diǎn)z1,z2,zn,再將X(z)/z展開成部分分式和的形式,即XznAizi1zzi由X(z)/z求取X(z)的表達(dá)式X(z),即nAizXzi1zzi最后,逐項(xiàng)的經(jīng)過查Z變換表求取Aiz/(z-zi)對(duì)應(yīng)的Z反變換,并根據(jù)這些反變換寫出與象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)x*(t),即xtZ1AiztnT0n0zzi(8-29)式中Z-1是對(duì)括號(hào)內(nèi)的象函數(shù)求Z反變換的符號(hào).例5試應(yīng)用部分分式法求取的Z反變換.Xz10z,即z1z2解將原式展開成部分分式和的形式Xz1010zz1z2Xz10z110zzz2由上式求取,即經(jīng)過查變換表,求得Z1z1z1Z最后,寫出對(duì)應(yīng)的

14、原函數(shù)為12nz2xt1012ntnT0n0其中xnT01012nn0,1,2,即由此求得X(0)=0X(T0)=10X(2T0)=30X(3T0)=70留數(shù)計(jì)算法應(yīng)用留數(shù)及算法求取已知X(z)的Z反變換,首先求取x(nT0)(n=0,1,2,即),resXzzn1resXzn1xnT0z其中留數(shù)和可寫為l1dri1riXzresXzzn1riri1zzizn1i11!dzzzi式中zi(i=1,2,為,l)X(z)彼此不相等的極點(diǎn),這些極點(diǎn)的總數(shù)為l;ri為重極點(diǎn)zi的重復(fù)個(gè)數(shù).其次由求得的x(nT0)可寫出與已知象函數(shù)X(z)對(duì)應(yīng)的原函數(shù)脈沖序列xtxnT0tnT0n06.試求取X(z)=

15、z/(z-)(z-1)2的Z反變換.應(yīng)用留數(shù)及算法求取X(z)的Z反變換.首先根據(jù)已知的X(z),經(jīng)過式(8-30)計(jì)算出x(nT0).為此,由X(z)求得其極點(diǎn)為z1=及z2=1,其中z1為單極點(diǎn),即r1=1,z2為二重極點(diǎn),即r2=2.由式(8-30)計(jì)算出最后,求得已知X(z)的Z反變換為zzn1xnT0zz12nzzn1xt1d2tn1nT02z2n0z1z1z1z8-4脈沖傳達(dá)函數(shù)21!dz12z1n變換與輸入脈沖序列的Z變換之比.如脈沖傳達(dá)函數(shù)的定義是,輸出脈沖的序列的Zn1n0,1,2,圖8-5所示開環(huán)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的連續(xù)部分的脈沖2傳達(dá)函數(shù)G(z)為2111GzZctCzZt

16、z脈沖傳達(dá)函數(shù)G(z)可經(jīng)過連續(xù)部分的傳達(dá)函數(shù)G(s)來求取.圖8-6所示為線性數(shù)字控制系統(tǒng)開環(huán)方框圖的三種形式.其中G0(s)為前向通道傳達(dá)函數(shù),H(s)為主反應(yīng)通道傳達(dá)函數(shù);圖(a)為單位反應(yīng)系統(tǒng)方框圖,圖(b)及(c)為非單位反應(yīng)系統(tǒng)方框圖.下面分三種情況解析線性數(shù)字控制系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù).串通環(huán)節(jié)間無同步采樣開關(guān)間隔時(shí)的脈沖傳達(dá)函數(shù)8-7(a)所示串通環(huán)節(jié)間無同步采樣開關(guān)間隔時(shí),其脈沖傳達(dá)函數(shù)G(z)=c(z)/(z)由描繪連續(xù)工作狀態(tài)的傳達(dá)函數(shù)G1(s)與G2(s)的乘積G1(s)G2(s)來求取,記為GzZG1sG2sG1G2z(8-33)設(shè)二串通環(huán)節(jié)的傳達(dá)函數(shù)分別為G1(s)

17、=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.求取它們之間無同步采樣開關(guān)間隔時(shí)的脈沖傳達(dá)函數(shù),按式(8-33)要求,首先計(jì)算G1sG2s111s0.1s1ss10然后由G(z)=ZG1(s)G2(s)求得脈沖傳達(dá)函數(shù)z1e10T0GzG1G2z1ze10T0z對(duì)于圖(8-6)(a)所示單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng),其開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)GzZG0sG0z其中G0(s)能夠是若干(如m個(gè))無同步采樣開關(guān)間隔的串通環(huán)節(jié)的等效傳達(dá)函數(shù).在這種情況下,開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)G(z)為GzZG1sG2sGmsG1G2Gmz(8-34)GzZG0sHsG0Hz對(duì)于圖(8-6)(b)所示非單位線性數(shù)字控制系統(tǒng),其開環(huán)脈沖傳

18、達(dá)函數(shù)(2)串通環(huán)節(jié)間有同步采樣開關(guān)間隔時(shí)的脈沖傳達(dá)函數(shù)8-7(b)所示串通環(huán)節(jié)間有同步采樣開關(guān)間隔時(shí),其脈沖傳達(dá)函數(shù)G(z)=c(z)/(z)等于各串通環(huán)節(jié)的脈沖傳達(dá)函數(shù)G1(z)與G2(z)之積,即GzG1zG2z(8-35)其中G1(z)=ZG1(s)及G2(z)=ZG2(s)分別由相應(yīng)的傳達(dá)函數(shù)G1(s)及G2(s)求取.設(shè)圖8-7(b)中的G1(s)=1/(0.1s+1)及G2(s)=1/s.按式(8-35)求取它們之間有同步采樣開關(guān)間隔時(shí)的脈沖傳達(dá)函數(shù),首先需計(jì)算G1zZG1s10ze10T0zG2zZG1sz1z然后由式(8-35)求得脈沖傳達(dá)函數(shù)為10z2GzG1zG2z10T

19、0z1ze對(duì)于圖8-6(c)所示非單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng),由式(8-35)求得其開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為GzZG0sZHsG0zHz其中若G0(s)為若干個(gè)環(huán)節(jié)無同步采樣開關(guān)間隔時(shí)的串通傳達(dá)函數(shù),則相應(yīng)的G0(z)需按式(8-34)求取.(3)環(huán)節(jié)與零階保持器串通時(shí)的脈沖傳達(dá)函數(shù)設(shè)零階保持器的傳達(dá)函數(shù)(1-e-T0s)/s以及另一串通環(huán)節(jié)的傳達(dá)函數(shù)為G2(s),它是復(fù)變量s的有理分式.顯然,在這種情況下,兩個(gè)串通環(huán)節(jié)之間無同步采樣開關(guān)間隔.為求取總的脈沖傳達(dá)函數(shù),首先需要計(jì)算Tss1T0sG1e0eG2s1,G2sGs2sG1sG2ssG1sG2s其中直接按式(8-33)來計(jì)算G1G2(z),但由

20、G1s1seT0s1eT0sG2s.由于不是復(fù)變量s的有理分式,故不能G1sG2s1eT0sG2sG2sG2seT0s看出,G代表兩個(gè)時(shí)域特性的組合,其中-T0s是時(shí)域特性L-1G2(s)在擁有1(s)G2(s)G2(s)e時(shí)滯等于一個(gè)采樣周期T0的遲后特性.因此,鑒于Z變換的遲后定理,求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持器串通時(shí)總的脈沖傳達(dá)函數(shù)為G2sGzZG1sG2sZG2sG2seT0sG2sZG2sZG2sz11z1ZG2s(8-36)式中/s.設(shè)與零階保持器串通的環(huán)節(jié)的傳達(dá)函數(shù)為G2kss其中k與為常量.按式(8-36)求得環(huán)節(jié)G2(s)與零階保持器串通的脈沖傳達(dá)函數(shù)為8-4-2線性數(shù)字控制

21、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)11k8-8所示.首先求取在控制信號(hào)r(t)作用下線典型線性數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖Gz1zZsss.從圖8-8可寫出下列關(guān)系式:性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)C(s)=G1(s)G2(s)(s)111*1z1Zks2Y(s)=H(s)C(s)2sskT01eT0z1e2z1zeT0T0eT0T0(8-37)(s)=R(s)-Y(s)由上列各式求得sRsG1sG2sHss(8-38)其中*(s)代表對(duì)偏差信號(hào)(s)進(jìn)行采樣所得脈沖序列的拉氏變換,也就是離散偏差的變換,即有sz(8-39)將式(8-39)代入式(8-38),并對(duì)式(8-38)等號(hào)兩邊各項(xiàng)取Z變換,可得zR

22、zG1G2HzzzRz11G1G2Hz由上式求得偏差信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為(8-40)考慮到CzCzG1G2zzG1G2zRz1G1G2Hz由式(8-40)求出被控信號(hào)對(duì)于控制信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為其次,求取在擾動(dòng)信號(hào)f(t)獨(dú)自作用下線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù),從8-8可寫出CzG2zFzG1G2zzCzzHzzCzG2Fz1G1G2zHz由上列二式最終求得被控制信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為對(duì)于單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng),由于,故式(8-40)(8-42)分別變成例7.試求取圖8-9所示線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù).圖中1eT0s/s為零階保持器的傳達(dá)函數(shù)

23、;k/s(s+)為連續(xù)部分的傳達(dá)函數(shù),k與均為常數(shù).z1Rz1G1G2zCzG1G2zRz1G1G2zCzG2zFz1G1G2zGzkT01eT0z1eT0T0eT02z1zeT0kGs1eT0ssss解經(jīng)過Z變換,根據(jù)開環(huán)傳達(dá)函數(shù)GzZGs1z1Z1ksss求取開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)由式(8-37)求得給定系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為由于給定系統(tǒng)是單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng),故由上式所示開環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)根據(jù)式(8-43)及(8-44)可求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為z2z1zeT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5線性數(shù)字控制系統(tǒng)的時(shí)域解析CzkT01eT0z1eT

24、0T0eT0Rz2z2kT01eT021eT0zk1eT0T0eT02eT08-5-1線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過程應(yīng)用Z變換方法解析線性數(shù)字控制系統(tǒng),需根據(jù)其閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)C(z)/R(z),經(jīng)過給定輸入信號(hào)的Z變換R(z),求取被控制信號(hào)的Z變換C(z),最后經(jīng)Z反變換求取被控制信號(hào)的脈沖序列c*(t).c*(t)代表線性數(shù)字控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)過程.鑒于超調(diào)量p,調(diào)整時(shí)間ts=T0(為大于零的整數(shù),T0為采樣周期)為穩(wěn)態(tài)誤差等項(xiàng)性能指標(biāo),根據(jù)線性數(shù)字控制系統(tǒng)的響應(yīng)過程c*(t)便可解析系統(tǒng)的動(dòng)向與穩(wěn)態(tài)性.例8.試應(yīng)用Z變換方法解析圖所示線性數(shù)字控制系統(tǒng).已知r(t)=1(t)以及參

25、數(shù)k=1,=1及采樣周期T0=1s.解將已知參數(shù)k=1,=1以及采樣周期T0=1sec代入在例獲得的對(duì)于閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)(z)/R(z),C(z)/R(z)的表達(dá)式求得給定系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為z21.368z0.368Rzz2z0.632Cz0.368z0.264Rzz2z0.632求取給定系統(tǒng)r(t)=1(t)在作用下的單位階躍響應(yīng).為此,將R(z)=z/(z-1)代入上列閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)C(z)/R(z),求得被控制信號(hào)的Z變換經(jīng)過長除法,將C(z)展成無窮級(jí)數(shù)形式,即Cz0.368z20.264z2z21.632z0.632z3C(z)=0.368z-1+z-2+1.4z-3+1.4

26、z-4+1.147z-5+0.895z-6+0.802z-7+0.868z-8+0.993z-9+1.077z-10+1.081z-11+1.032z-12+0.981z-13+0.961z-14+0.973z-15+0.997z-16+1.015z-17+1.017z-18+1.0072z-19+0.996z-20+鑒于Z變換定義,由上式求得被控制信號(hào)c(t)在各采樣時(shí)刻的函數(shù)值c(nT0)(n=0,1,2,為)C(0)=0C(7T0)=0.802C(14T0)0.961C(T0)=0.368C(8T0)=0.868C(15T0)=0.973C(2T0)=1C(9T0)=0.993C(16T

27、0)=0.997C(3T0)=1.4C(10T0)=1.077C(17T0)=1.015C(4T0)=1.4C(11T0)=1.081C(18T0)=1.017C(5T0)=1.147C(12T0)=1.032C(19T0)=1.0072C(6T0)=0.895C(13T0)=0.981C(20T0)=0.996根據(jù)上列c(nT0)(n=0,1,2,數(shù))值繪制的給定線性數(shù)字控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c*(t)如圖8-10所示.從圖求得給定系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量p=40%,調(diào)整時(shí)間ts12s(以誤差小于5%計(jì)算).8-5-2線性數(shù)字控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差線性數(shù)字控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可經(jīng)過誤差系數(shù)和輸入信

28、號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)在采樣時(shí)刻上的數(shù)值來求取.設(shè)線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)理想單位脈沖(t)的響應(yīng)誤差為K*e(t),則該系統(tǒng)響應(yīng)輸入脈沖序列的響應(yīng)誤差為trnT0tnT0r*n*0*t2T0etr0KetrT0KetT0r2T0KernT0Ke*tnT0響應(yīng)誤差e*(t)在采樣時(shí)刻的數(shù)值為enT0r0KenT0rT0Ken1T0r2T0Ken2T0rnT0Ke0考慮到t0時(shí)r(t)=0,上式可寫成enT0KekT0rnkT0k0若系統(tǒng)的輸入信號(hào)r(t)對(duì)于所有的t,前m階導(dǎo)數(shù)均存在,則可將r(t-)展成泰勒級(jí)數(shù),即23rtrtrtrtrtm2!3!1mrmtm!在式(8-47)中,令t=nT0及=kT0

29、,可得rnkT0rnT0kT0rnT01kT02rnT01kT02!1mmmnT0rm!將式(8-48)代入式(8-46),可得式中enT0KekT0rnT0kT0KekT0rnT00kT02KekT0rnT02!c0KekT0k01m1kT0mKekT0rmnT0c1m!kT0kT0Kec2k02KekT0kT0kT0KekT0rnT0KenT0rnT0k0cmmm1kT0KekT0k0(8-50)系數(shù)c0,c1,c2,cm,定義為線性數(shù)字控制系統(tǒng)的誤差系數(shù).從式(8-49)可見,在已知誤差系數(shù)以及輸入信號(hào)及其各階導(dǎo)數(shù)情況下,便可求出在采樣時(shí)刻nT0上系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*s

30、s(t)的數(shù)值ess(nT0).如果對(duì)于n=0,1,2,各采樣時(shí)刻的ess(0),ess(T0),ess(2T0),都按式(8-49)計(jì)算出來,則可寫出線性數(shù)字控制系統(tǒng)響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)essessnT0tnT0n0下面介紹經(jīng)過線性數(shù)字控制系統(tǒng)的閉環(huán)誤差脈沖傳達(dá)函數(shù)e(z)計(jì)算誤差系數(shù)的方法.設(shè)ez01z12z2kzk(8-51)由于Z-1e(z)=K*e故對(duì)上式取反變換,獲得(t),Ket0t1tT02t2T0ktkT0kKekT0k0,1,2,(8-52)式中將zeT0s代入式(8-51),可得ezT0ses01eT0s2e2T0skekT0sze取上式對(duì)s的各階

31、導(dǎo)數(shù),獲得desT01eT0s22e2T0s33e3T0skkekT0sds在上列各式中,令s=0,可得d2es2T0s22T0s23e3T0sk2kekT0sds2T01e22e3dmes1mT0m1eT0s2m2e2T0s3m3e3T0skmkekT0sdsm同理求得e0012kKekT0k0deskT0KekT0dss0k0dmes1mkT0mKekT0dsms0k0(8-53)比較式(8-53)與式(8-50),求得cmdmesdsms0(8-54)式(8-53)便是計(jì)算線性數(shù)字控制系統(tǒng)誤差系數(shù)的比較實(shí)用的關(guān)系式.例9.試應(yīng)用誤差系數(shù)法求取圖8-9所示單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng)在參數(shù)k=

32、1,=1及采樣周期T0=1s情況下響應(yīng)輸入信號(hào)r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差.解從例8求得圖8-9所示單位反應(yīng)線性數(shù)字控制系統(tǒng)在給定參數(shù)下的閉環(huán)誤差脈沖傳達(dá)函數(shù)為Ezz21.368z0.368ezz2z0.632Rz將zeT0s及T0=1代入上式,求得Eze2s1.368es0.368eze2ses0.632Rz根據(jù)*e(s)及其導(dǎo)數(shù)d*e(s)/ds,d2*e(s)/ds2,由式(8-54)分別求得誤差系數(shù)c0,c1及c2為c0=0c1=1c2=1最后根據(jù)式(8-49)求得穩(wěn)態(tài)誤差e*ss(t)在各采樣時(shí)刻上的數(shù)值從上式可見,給定系統(tǒng)響應(yīng)r(t)=t2/2的穩(wěn)態(tài)誤差esstn0.5tnn0,1

33、,2,n0為離散時(shí)間nT0(T0=1s)的函數(shù),它說明穩(wěn)態(tài)誤差是隨時(shí)間的推移在增大,當(dāng)t時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差值e*ss().8-6最少拍系統(tǒng)的脈沖傳達(dá)函數(shù)在采樣過程中,平時(shí)稱一個(gè)采樣周期為一拍.在典型控制信號(hào)作用下,在各采樣時(shí)刻上無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差,且能在有限個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過程進(jìn)而完全追蹤控制信號(hào)的離散系統(tǒng)或數(shù)字控制系統(tǒng),稱為最少拍或有限拍系統(tǒng).典型控制信號(hào),如地點(diǎn)階躍,勻速與勻加快信號(hào)的Z變換分別為Z1t11z1ZtT0z121z1t2T02z11z1Z221z13esslim1z1ezRzz1Azlim1z1ez0z1Az1z1Rz1z1ez1z1zz1ezCzzRz其一般形式可寫成(8-55)

34、其中A(z)為不含因子(1-z-1)的以z-1為變量的多項(xiàng)式.從最少拍系統(tǒng)相應(yīng)控制信號(hào),即(5-55)無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差,即(8-56)角度要求閉環(huán)誤差脈沖傳達(dá)函數(shù)e(z)擁有(1-z-1)的因子.設(shè)(8-56)其中(z)是在z=1處既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)的z-1有理分式.對(duì)于單位反應(yīng)系統(tǒng),有(8-57)因此由(8-58)求得線性離散系統(tǒng)輸出c(t)的Z變換為Cz1ezRzCzRzAzz(8-59)將式(8-55)及式(8-56)代入式(8-59),求得(8-60)從式(8-58)或(8-59)看出,為知足線性離散系統(tǒng)響應(yīng)典型控制信號(hào)的響應(yīng)過程在最少ez1z1拍內(nèi)結(jié)束進(jìn)而達(dá)到完全追蹤控制信號(hào)的要求,需使

35、系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)e(z)及(z)所含z-1項(xiàng)數(shù)最少.在式(8-56)中,若取(z)=1,便能知足上述要求.這時(shí),由式(8-56)及(8-57),可得(8-61)(8-62)這便是以無穩(wěn)態(tài)響應(yīng)誤差且在最少拍內(nèi)結(jié)束響應(yīng)過程進(jìn)而完全追蹤控制輸入為標(biāo)志的最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù),其中冪指數(shù)與系統(tǒng)響應(yīng)控制輸入的種類相關(guān),比方相應(yīng)地點(diǎn)階躍,勻速與勻加快輸入時(shí),分別取1，2，3.下面解析最少拍系統(tǒng)相應(yīng)地點(diǎn)階躍,勻速與勻加快等典型輸入時(shí)的情況.z11z1當(dāng)r(t)=1(t),即Rz111z1z2zn1z其中A(z)=1及=1,取(z)=1時(shí),求得最少拍系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳達(dá)函數(shù)為ez1z1zz1(8-63)(8-64)根據(jù)式(8-63)或(8-64),由式(8-58)(8-60)求得最少拍系統(tǒng)響應(yīng)