5-3平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用學(xué)練案-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)練案（第22期）編寫人：朱振國審查人：呂亮使用日期：2023.1153平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用一、自主復(fù)習(xí)【查】考試要求1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.【必備知識】(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b＝.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影的乘積.設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).(1)a·b＝b·a(交換律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).常用結(jié)論與微點提醒a在向量b方向上的投影與向量b在向量a方向上的投影不是一個概念，要加以區(qū)別.a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b<0且a，b不共線.(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.二、師生研學(xué)【研】【學(xué)習(xí)過程】考點一平面向量的數(shù)量積運算【例1】(1)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝2eq\r(3)，AD＝5，∠A＝30°，點E在線段CB的延長線上，且AE＝BE，則eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝________.(2)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))的最小值為()A.－eq\f(1,2)B.0C.4D.－1【訓(xùn)練1】(1)已知|a|＝|b|＝1，向量a與b的夾角為45°，則(a＋2b)·a＝________.(2)在△ABC中，|BC|＝4，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝()考點二平面向量數(shù)量積的應(yīng)用角度1垂直問題【例2－1】已知△ABC中，∠A＝120°，且AB＝3，AC＝4，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則實數(shù)λ的值為()A.eq\f(22,15) B.eq\f(10,3) C.6 D.eq\f(12,7)角度2長度問題【例2－2】(1)平面向量a，b滿足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a方向上的投影為5，則|a－2b|為()A.2 B.4 C.8 (2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，且λ＋μ＝1，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值為()A.1 B.eq\f(\r(5),2) C.eq\r(2) D.eq\r(3)角度3夾角問題【例2－3】已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3) C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)【訓(xùn)練2】(1)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，則m＝________.(2)已知平面向量a＝(2m－1，2)，b＝(－2，3m－2)，且a⊥b，則|2a－3b|＝______.(3)已知a，b為單位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq\r(5)b，則cos〈a，c〉＝________.考點三平面向量與三角函數(shù)【例3】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若a＝4eq\r(2)，b＝5，求角B的大小及向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影.、【訓(xùn)練3】已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))))，b＝(－sinx，eq\r(3)sinx)，f(x)＝a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)))＝1，a＝2eq\r(3)，求△ABC面積的最大值并說明此時△ABC的形狀.三、訓(xùn)練提升【練】【當(dāng)堂檢測】a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(eq\r(3)，eq\r(2))，則|2a－b|等于()eq\r(2)B.eq\r(17)C.eq\r(15)eq\r(5)a，b滿足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝eq\f(1,2)|b|，則向量a與b的夾角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)3.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且滿足eq\f(BE,BC)＝eq\f(AF,AB)＝λ，則當(dāng)eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0時，λ的值所在的區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,8)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,8)))4.在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D為BC的中點，E在斜邊AC上，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.5.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，D為線段BC的中點，點E為線段BC垂直平分線l上任一異于D的點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝()A.eq\f(7,2)B.eq\f(7,4)C.－eq\f(7,4)a，b，e是平面向量，ea與e的夾角為eq\f(π,3)，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是________.【真題再現(xiàn)】1（2023全國甲卷文科3）已知向量，，則（）A.B.C.D.2（2023新高考I卷3）已知向量，.若，則（）A. B. C. D.3．【2022年全國乙卷】已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．-2 B．-1 C．1 D．24．【2022年新高考2卷】已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．-6 B．-5 C．5 D．65．【2020年新課標(biāo)2卷文科】已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（

）A． B． C． D．6．【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知向量，滿足，，，則（）A． B． C． D．7．【2019年新課標(biāo)1卷理科】已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．8．【2019年新課標(biāo)2卷理科】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．3B．2C．2