《常微分方程》課程教學(xué)大綱

1、常微分方程課程教學(xué)大綱一、課程基本信息課程代碼： 12130109課程英文名稱： Ordinary Differential Equation 課程面向?qū)I(yè)：信息與計算科學(xué)專業(yè)課程類型：選修課先修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)學(xué)分： 3總學(xué)時：60 二、課程性質(zhì)與目的常微分方程是一門與微積分一起成長起來的學(xué)科，是自然科學(xué)中表述各種基本規(guī)律的根本工具之一，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)聯(lián)系實際問題的重要手段之一。近些年來，常微分方程的研究與應(yīng)用已經(jīng)深入到自然科學(xué)和社會科學(xué)的眾多領(lǐng)域，并且成功地揭示了許多自然和社會現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。本課程的任務(wù)是要使學(xué)生掌握常微分方程的基本理論和方法，增強(qiáng)運(yùn)用數(shù)學(xué)手段解決實際問題的能力。學(xué)

2、習(xí)本課程，學(xué)生應(yīng)具備微積分和高等代數(shù)的基礎(chǔ)知識。通過本課程的學(xué)習(xí)，還能為其它后繼課程，如微分幾何、數(shù)學(xué)物理方程和泛函分析初步等課程的學(xué)習(xí)做好必要的準(zhǔn)備。三、課程教學(xué)內(nèi)容與要求（一）初等積分法1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解常微分方程與解的概念，掌握方程類型的判別。（2）熟練掌握初等積分法中的變量分離方程解法、常數(shù)變易法和全微分方程解法（含積分因子的解法），掌握參數(shù)法和降階法。（3）會把實際問題抽象為常微分方程的方法。2、教學(xué)重點(diǎn)五種基本方程（變量分離方程，齊次方程，一階線性方程，貝努里方程及恰當(dāng)方程）的解法及參數(shù)法。3、教學(xué)難點(diǎn)方程類型的判斷及其解法。（二）解的存在定理 1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）理

3、解解的存在與唯一性定理的證明，熟練掌握皮卡逼近法。（2）了解解的延拓及解對初值的連續(xù)依賴性定理及其證明。（3）了解奇解定義與奇解的包絡(luò)線求法。2、教學(xué)重點(diǎn)解的存在與唯一性定理，皮卡逼近法。 3、教學(xué)難點(diǎn)解的存在與唯一性定理的證明。（三）線性微分方程 1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，理解n階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、通解基本定理、常數(shù)變易法。（2）熟練掌握n階常系數(shù)線性微分方程的待定指數(shù)函數(shù)解法、待定系數(shù)法。（3）熟練掌握求一般非齊次線性微分方程的特解的常數(shù)變異法。（4）了解二階齊線性方程特解的冪級數(shù)解法。2、教學(xué)重點(diǎn)n階線性微分方程的通解基本定理、n階常系數(shù)線性微分

4、方程的解法。 3、教學(xué)難點(diǎn)線性非齊次微分方程的特解的求法。（四）線性微分方程組 1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）理解線性微分方程組的解的存在唯一性定理及證明，進(jìn)一步熟悉皮卡逼近法。（2）掌握線性微分方程組求解的關(guān)鍵是求基解矩陣，掌握常數(shù)變易法。（3）熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組基解矩陣的求法（單特征根情形），了解重根時基解矩陣的求法。（4）掌握高階線性微分方程與線性微分方程組的關(guān)系，能在統(tǒng)一的觀點(diǎn)下理解這兩部分內(nèi)容。2、教學(xué)重點(diǎn)線性微分方程組解的結(jié)構(gòu)，常系數(shù)線性微分方程組的解法。3、教學(xué)難點(diǎn)常系數(shù)線性微分方程組的重特征根情況。（五）穩(wěn)定性理論簡介1、教學(xué)內(nèi)容與要求（1）理解穩(wěn)定性有關(guān)定義。（2）熟練掌

5、握奇點(diǎn)的分類方法，會判別線性近似系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（3）知道簡單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法，了解周期解和極限環(huán)。2、教學(xué)重點(diǎn)平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)分析。 3、教學(xué)難點(diǎn)穩(wěn)定性有關(guān)定理的證明。四、學(xué)時分配學(xué)時分配表序號教學(xué)內(nèi)容學(xué) 時課堂講授實驗課習(xí)題課討論課其它1初等積分法1222解的存在定理823線性微分方程1224線性微分方程組1025定性理論簡介82小計5010比例83%17%合計60五、教學(xué)環(huán)節(jié)與教學(xué)要求教學(xué)環(huán)節(jié)含四個方面：課堂講授、習(xí)題課、輔導(dǎo)答疑、作業(yè)布置與批改。課堂講授：采用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)、激發(fā)、調(diào)動學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性，部分教師采用多媒體教學(xué)。習(xí)題課：方式靈活多樣，可老師講，可部分學(xué)生講，可師生討論，力爭將所學(xué)單元知識系統(tǒng)化、明朗化，并適當(dāng)加深加寬知識面。輔導(dǎo)答疑：教師安排好答疑時間、地點(diǎn)、方式。作業(yè)布置與批改：題量適中，教師批改作業(yè)量不少于二分之一。六、課程考核辦法1平時成績（作業(yè)、課堂參與）：30%2期末考試：（閉卷）筆試：70%七、教材與主要參考書 1、常微分方程第二版王高雄 高等教育出版社19832、 常微分方程及其應(yīng)用周義倉科學(xué)出版社20033、 常微分方程林武忠科學(xué)出版社20034、 常微分方程東北師大數(shù)學(xué)系高